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2026-04-12T08:54:39Z

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In der [[Funktionalanalysis]] verallgemeinert der '''normale Operator''' den Begriff der [[Normale Matrix|normalen Matrix]] aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]].

== Definition ==
Ist <math>X</math> ein [[Hilbertraum]] und bezeichnet <math>\mathcal{L}(X)</math> die Menge aller [[Beschränkter Operator|stetigen]] [[Endomorphismus|Endomorphismen]] von <math>X</math> (d. h. beschränkte lineare Operatoren), so heißt ein Operator <math>A \in \mathcal{L}(X)</math> normal, falls er mit seinem [[Adjungierter Operator|adjungierten Operator]] <math>A^{\ast}</math> kommutiert, also wenn
:<math> A A^{\ast} = A^{\ast} A</math>
gilt.

== Beispiele ==
* [[Selbstadjungierter Operator|Selbstadjungierte]] und [[Unitärer Operator|unitäre]] Operatoren sind offenbar normal.
* Der [[Shift-Operator|unilaterale Shift]] ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

== Eigenschaften ==
Sei <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> ein normaler Operator. Dann gilt:
* <math> \|Ax\| = \|A^{\ast}x\| </math> für alle <math>x\in X</math>
* er ist ''paranormal'':
::<math> \|Ax\|^2 \le \|A^2 x\| \|x\| </math> für alle <math>x\in X</math>
* Für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> ist auch <math>A^n</math> normal.
* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \|A\| = \sup\{|\lambda| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] von <math>A</math>.
* Die von <math>A</math> erzeugte [[C*-Algebra|C<sup>*</sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz]]es.
* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

== Verwandte Begriffe ==
Ein Operator <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> heißt
* ''quasinormal'', falls <math>A\,\!</math> mit <math>A^{\ast}A</math> vertauscht, das heißt <math>AA^{\ast}A=A^{\ast}AA</math>.
* ''subnormal'', falls es einen Hilbertraum <math>Y</math> gibt, so dass <math>X</math> Unterraum von <math>Y</math> ist, und einen normalen Operator <math>B\in\mathcal{L}(Y)</math>, so dass <math>B(X)\subset X</math> und <math>A=B|_X</math>.
* ''hyponormal'', falls <math>\|A^{\ast}x\| \le \|Ax\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
* ''Class A'', falls <math>|A^2| \ge |A|^2</math>, wobei <math>|A| := (A^{\ast}A)^{1/2}</math> der Betrag von <math>A</math> ist, also ausgeschrieben <math>A^{\ast}A \le \big((A^{\ast})^{2}A^{2}\big)^{1/2}</math>.<ref>{{Literatur | Autor = Jung, Sungeun; Ko, Eungil; Lee, Mee-Jung | Titel = On class A operators | Sammelwerk = Studia Mathematica | Band = 198 | Jahr = 2010 | Seiten = 249–260 | DOI = 10.4064/sm198-3-4 | ISSN = 0039-3223 | Sprache = en}}</ref>
* ''paranormal'', falls <math> \|Ax\|^2 \le \|A^2x\| \|x\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
* ''normaloid'', falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: <math> \|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.

Es gelten folgende Implikationen:

normal <math>\Rightarrow</math> quasinormal <math>\Rightarrow</math> subnormal <math>\Rightarrow</math> hyponormal <math>\Rightarrow</math> Class A <math>\Rightarrow</math> paranormal <math>\Rightarrow</math> normaloid.

=== Aussagen ===
Der [[Satz von Ando]] von [[Tsuyoshi Ando]] sagt, gibt es für einen paranormalen Operator <math>T</math> ein <math>n \in \mathbb{N}</math>, so dass <math>T^n</math> normal ist, dann ist <math>T</math> normal.<ref>{{Literatur |Autor=Tsuyoshi Ando |Titel=Operators with a norm condition |Sammelwerk=Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged) |Band=33 |Jahr=1972 |Seiten=169–172}}</ref> Der Satz verallgemeinert ein Resultat von Joseph Gail Stampfli, der die Aussage für hyponormale Operatoren gezeigt hat.<ref>{{Literatur | Autor = Stampfli, Joseph Gail | Titel = Hyponormal operators | Sammelwerk = Pacific Journal of Mathematics | Band = 12 | Jahr = 1962 | Seiten = 1453–1458 | Verlag = New York University | Ort = New York}}</ref>

== Unbeschränkte Operatoren ==
Ein unbeschränkter Operator <math>A: D(A) \subseteq X \to X</math> mit [[Definitionsbereich]] <math>D(A)</math> heißt normal falls

:<math> \| A x\| = \|A^\ast x\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)</math>

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt <math>A^\ast = A</math>.

== Literatur ==
* [[Harro Heuser]]: ''Funktionalanalysis''. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
* [[Gerald Teschl]]: ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics'', American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. ([https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ freie Online-Version])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Normaler Operator - Versionsgeschichte

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