imported>Petrus3743: /* Normalenform einer Ebenengleichung */

2026-01-25T22:03:17Z

Normalenform einer Ebenengleichung

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Die '''Normalenform'''<ref name=":0">{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Ort=Mannheim / Wien / Zürich |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=149}}</ref>, '''Normalform'''<ref name=":0" /> oder '''Normalengleichung'''<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67811-4 |Seiten=170}}</ref> ist in der [[Mathematik]] eine spezielle Form einer [[Geradengleichung]] oder [[Ebenengleichung]]. In der Normalenform wird eine [[Gerade]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] oder eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] durch einen [[Stützvektor]] und einen [[Normalenvektor]] dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor [[Orthogonalität|senkrecht]] zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle [[Implizite Funktion|implizite Darstellung]] der Gerade oder Ebene.

Einen Spezialfall der Normalenform stellt die [[hessesche Normalform]] dar, bei der der Normalenvektor [[Einheitsvektor|normiert]] und [[Orientierung (Mathematik)|orientiert]] ist und statt des Stützvektors der [[Abstand]] vom [[Koordinatenursprung]] verwendet wird.

== Normalenform einer Geradengleichung ==
=== Darstellung ===
[[Datei:01 Normalenform-Gerade.svg|mini|hochkant=1.1|Bild 1<br />Normalenform einer Geradengleichung]]
In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor <math>\vec p</math> und einen Normalenvektor <math>\vec n</math> beschrieben (siehe Bild 1). Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Vektorgleichung

:<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0 \quad</math>bzw. äquivalent hierzu<math>\quad \vec x \cdot \vec n = \vec p \cdot \vec n</math>

erfüllen. Hierbei bezeichnet <math>\cdot</math> das [[Skalarprodukt]] zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren [[Orthogonalität|senkrecht]] aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der [[Ortsvektor]] eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als ''Stützpunkt'' oder ''Aufpunkt'' bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bildet. In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Ein Punkt, dessen Ortsvektor <math>\vec x</math> die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für <math>\vec x \cdot \vec n > \vec p \cdot \vec n</math> auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Legt man ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde und stellt die Vektoren mithilfe ihrer Komponenten dar, so liest sich die Geradengleichung als

:<math>\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix} = 0 </math>.

Schreibt man diese Gleichung aus, so erhält man die Normalenform als Koordinatengleichung:

:<math>(x_1 - p_1) \cdot n_1 + (x_2 - p_2) \cdot n_2 = 0 \quad </math>bzw. <math>\quad n_1 x_1 + n_2 x_2 = n_1 p_1 + n_2 p_2</math>.

=== Beispiel ===
[[Datei:01 Normalenform-Gerade-Beispiel.svg|mini|hochkant=1.1|Bild 2, Beispiel<br /> Normalenform einer Geradengleichung]]
Sei <math>g</math> eine Gerade in der Ebene mit Stützvektor <math>\vec p = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} </math>und Normalenvektor <math>\vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> (siehe Bild 2). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

:<math>(x_1-3)\cdot 2 + (x_2-3)\cdot 1 = 0 \quad </math> bzw. <math>\quad 2x_1 + x_2 = 9.</math>

Es handelt sich zugleich um eine Koordinatengleichung: Jede Wahl von <math>(x_1|x_2)</math>, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise <math>(2|5)</math> oder <math>(3{,}5|2)</math>, entspricht einem Geradenpunkt.

=== Berechnung ===
==== Aus der Parameterform ====
Aus der [[Parameterform#Parameterform einer Geradengleichung|Parameterform einer Geradengleichung]] lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des [[Richtungsvektor]]s <math>\vec u</math> der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

:<math>\vec n = \begin{pmatrix} -u_2 \\ u_1 \end{pmatrix}</math>.

Der Stützvektor <math>\vec p</math> kann aus der Parameterform übernommen werden.

==== Aus der Zweipunkteform ====
Aus der [[Zweipunkteform]] einer Geradengleichung wird zunächst ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren <math>\vec p</math> und <math>\vec q</math> der beiden Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform verfahren, also

:<math>\vec n = \begin{pmatrix} -(q_2-p_2) \\ q_1-p_1 \end{pmatrix}</math>.

Als Stützvektor <math>\vec p</math> kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

==== Aus der allgemeinen Koordinatenform ====
Aus der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|allgemeinen Koordinatenform einer Geradengleichung]] mit den Parametern <math>a,b</math> und <math>c</math> lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als

:<math>\vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>

ablesen. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob <math>a</math> oder <math>b</math> ungleich null ist, durch Wahl von

:<math>\vec p = \begin{pmatrix} c/a \\ 0 \end{pmatrix}</math>   oder   <math>\vec p = \begin{pmatrix} 0 \\ c/b \end{pmatrix}</math>.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der [[Achsenabschnittsform]] einer Geradengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

== Normalenform einer Ebenengleichung ==
[[Datei:01 Normalenform-Ebenengleichung-1.svg|mini|hochkant=2|Bild 3<br />
Normalenform einer Ebenengleichung]]
=== Darstellung ===
Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor <math>\vec p</math> und einen Normalenvektor <math>\vec n</math> beschrieben (siehe Bild 3). Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0</math>

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum

:<math>\vec x \cdot \vec n = \vec p \cdot \vec n</math>

und ein Punkt, dessen Ortsvektor <math>{\vec x}</math> die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene. Gilt <math>\vec x \cdot \vec n > \vec p \cdot \vec n</math>, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Ausgedrückt in kartesischen Koordinaten lautet die Normalenform einer Ebenengleichung,
:<math>(x_1 - p_1) \cdot n_1 + (x_2 - p_2) \cdot n_2 + (x_3 - p_3) \cdot n_3 = 0 \quad</math>bzw. <math>\quad n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3</math>.

=== Beispiel ===
[[Datei:01 Normalenform-Ebenengleichung.svg|mini|hochkant=2|Bild 4, Beispiel<br /> Normalenform einer Ebenengleichung, für Normalenvektor <math>\vec n</math> ab Punkt <math>P</math> gilt: <math>P+\vec n =(3,3,4)+(1,3,-1)=A(4|6|3)</math>]]Sei <math>E</math> eine Ebene mit Stützvektor <math>\vec p = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math> und Normalenvektor <math>\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\-1 \end{pmatrix}</math>(siehe Bild 4). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

:<math>(x_1-3)\cdot 1 + (x_2-3)\cdot 3 + (x_3-4)\cdot (-1)=0</math>.
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleicher Terme liefert die äquivalente Darstellung
:<math>x_1 + 3x_2 -x_3 = 8.</math>

Es handelt sich zugleich um eine [[Allgemeine Koordinatenform|Koordinatengleichung]]. Jede Wahl von <math>(x_1|x_2|x_3)</math>, die diese Gleichung erfüllt, entspricht dann einem Ebenenpunkt. Beispielsweise liegt <math>X(4|2|2)</math> in der Ebene wegen <math>(4 - 3) \cdot 1 + (2 - 3) \cdot 3 + (2 - 4) \cdot (-1) = 0</math>.

=== Berechnung ===
==== Aus der Parameterform ====
Aus der [[Parameterform#Parameterform einer Ebenengleichung|Parameterform einer Ebenengleichung]] mit den beiden Richtungsvektoren <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des [[Kreuzprodukt]]s <math>\vec n = \vec u \times \vec v</math> bestimmen. Der Stützvektor <math>\vec p</math> kann aus der Parameterform übernommen werden.

==== Aus der Dreipunkteform ====
Aus der [[Dreipunkteform]] einer Ebenengleichung werden zunächst zwei Richtungsvektoren als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren <math>\vec p</math>, <math>\vec q</math> und <math>\vec r</math> jeweils zweier Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform das Kreuzprodukt

:<math>\vec n = (\vec q - \vec p) \times (\vec r - \vec p)</math>

berechnet. Als Stützvektor <math>\vec p</math> kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

==== Aus der allgemeinen Koordinatenform ====
Aus der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|allgemeinen Koordinatenform einer Ebenengleichung]] mit den Parametern <math>a,b,c</math> und <math>d</math> lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als

:<math>\vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>

ablesen. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen <math>a,b,c</math> ungleich null ist, durch Wahl von

:<math>\vec p = \begin{pmatrix} d/a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, ~ \vec p = \begin{pmatrix} 0 \\ d/b \\ 0 \end{pmatrix}</math>   oder   <math>\vec p = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d/c \end{pmatrix}</math>.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der [[Achsenabschnittsform]] einer Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

== Verallgemeinerung ==
Allgemein wird durch eine Normalengleichung eine [[Hyperebene]] im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0 \quad</math>bzw. <math>\quad \vec x \cdot \vec n = \vec p \cdot \vec n</math>

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit <math>n</math>-komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet. Eine solche Gleichung wird in der Literatur auch ''Hessesche Normalform'' genannt, selbst wenn der Normalenvektor <math>\vec n</math> nicht normiert ist.<ref>{{Literatur |Autor=Dörte Haftendorn, Dieter Riebesehl, Hubert Dammer |Titel=Höhere Mathematik sehen und verstehen |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-69291-2 |Seiten=155 f.}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Hessesche Normalform |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=401}}</ref>

Eine Hyperebene teilt den <math>n</math>-dimensionalen Raum in zwei Teile, die [[Halbraum|Halbräume]] genannt werden. Gilt <math>\vec x \cdot \vec n > \vec p \cdot \vec n</math>, dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen. Ein Punkt, dessen Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene.

== Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen ==
Jede Gleichung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] lässt sich als Normalenform einer Hyperebene in einem <math>n</math>-dimensionalen [[Vektorraum]] deuten, wobei <math>n</math> die Anzahl der Variablen bzw. Unbekannten ist. Für <math>n=2</math> sind dies Geraden in der Ebene, für <math>n=3</math> Ebenen im Raum. Damit lässt sich die [[Lineares Gleichungssystem#Lösbarkeit|Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems]] zurückführen auf ein Schnittproblem von Hyperebenen: Gesucht ist die Menge der gemeinsamen Punkte aller Hyperebenen. Aus der Lage der Normalenvektoren und damit der Hyperebenen zueinander kann auf die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems und auf die Anzahl der Lösungen geschlossen werden.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Papula]]
|Titel=Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler
|Verlag=Springer
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-9598-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz
|Titel=Elemente der linearen Algebra und der Analysis
|Verlag=Springer
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8274-2255-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Edmund Weitz]]
|Titel=Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker
|Auflage=2.
|Verlag=Springer Spektrum
|Datum=2021
|ISBN=978-3-662-62617-7
|Seiten=379–383}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |url=https://de.serlo.org/mathe/1893/ebene-von-parameterform-in-normalform-umwandeln |titel=Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln |werk=Serlo |abruf=2014-02-23}}
* {{Internetquelle |url=https://de.serlo.org/mathe/1905/ebene-von-koordinatenform-in-normalform-umwandeln |titel=Ebene von Koordinatenform in Normalform umwandeln |werk=Serlo |abruf=2014-02-23}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Normalenform - Versionsgeschichte

imported>Petrus3743: /* Normalenform einer Ebenengleichung */