imported>Rigormath: Den Spektralsatz präzisiert und "unitär diagonalisierbar" besser verlinkt.

2025-11-14T14:16:12Z

Den Spektralsatz präzisiert und "unitär diagonalisierbar" besser verlinkt.

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Eine '''normale Matrix''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in \mathbb{C}^{n\times n}</math> mit der Eigenschaft

:<math>A^{*} \cdot A = A\cdot A^{*}</math>,

also eine Matrix, die mit ihrer [[adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] kommutiert. Entsprechend ist eine reelle Matrix <math>B \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> normal, wenn

:<math>B^\mathsf{T} \cdot B = B\cdot B^\mathsf{T}</math>

gilt.

Der [[Spektralsatz]] besagt, dass eine Matrix <math>A \in \C^{n\times n}</math> genau dann normal ist, wenn sie [[unitär diagonalisierbar]] ist, d. h. wenn es eine [[Diagonalmatrix]] <math>D \in \C^{n\times n}</math> und eine [[unitäre Matrix]] <math>U \in \C^{n\times n}</math> gibt, so dass <math>A = UDU^*</math> ist. Es existiert dann also eine [[Orthonormalbasis]] des <math>\C^n</math> aus [[Eigenvektor]]en von <math>A</math>. Die [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonalelemente]] von <math>D</math> sind genau die [[Eigenwert]]e von <math>A</math>. Insbesondere sind jede reelle [[symmetrische Matrix]] und jede komplexe [[hermitesche Matrix]] normal. Zudem ist jede unitäre Matrix normal.

== Beispiele ==
Die Eigenwerte können komplex sein, selbst wenn die Matrix <math>A</math> reell ist, <math>U</math> und <math>D</math> sind also im Allgemeinen komplex, wie das Beispiel zeigt:

:<math>
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\implies U = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
i & -i \\
\end{pmatrix}, \quad
D = \begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \\
\end{pmatrix}
</math>.
Lediglich für den Spezialfall einer reellen symmetrischen Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> sind die Matrix <math>U</math> und die Eigenwerte (also <math>D</math>) stets reell.

Zu beachten ist, dass es Matrizen gibt, die zwar diagonalisierbar, aber nicht normal sind. In diesem Fall liegt keine unitäre [[Diagonalisierbare Matrix|Diagonalisierbarkeit]] vor, das heißt, es gilt lediglich <math>A = TDT^{-1}</math>, wobei <math>T</math> nicht unitär ist, also <math>T^{-1} \neq T^{*}</math>. Ein Beispiel für eine nicht normale, aber diagonalisierbare Matrix ist

:<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
4 & 0 \\
\end{pmatrix}</math>.

== Normalität und Abweichungen von der Normalität ==

Die Zerlegung der Matrix <math>A</math> in <math>UDU^{*}</math> wird auch die [[Schur-Zerlegung]] oder die Schursche Normalform genannt. Grundsätzlich gilt:
: <math>UDU^{*} = \operatorname{diag}\{\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\} + N</math>,
wobei <math>N</math> eine strikte obere [[Dreiecksmatrix]] ist (auf der Diagonalen stehen also nur Nullen) und <math>\lambda_1>\lambda_2>\dotsb >\lambda_n</math> die Eigenwerte von <math>A</math> sind. Für normale Matrizen gilt:

:<math>\|N\|_F=0</math>.

Ist <math>A</math> nicht normal, so bezeichnet man <math>\|N\|_F =:\delta(A)</math> als die Abweichung von der Normalität. Dabei bezeichnet die Norm <math>\| \cdot \|_F</math> die [[Frobeniusnorm]].

== Normale Matrizen und normale Operatoren ==
{{Hauptartikel|Normaler Operator}}

Ein normaler Operator ist in zweierlei Hinsicht eine Verallgemeinerung der normalen Matrix:
# Eine normale Matrix beschreibt einen normalen Operator ''bezüglich einer geeigneten Basis'' (nämlich bezüglich einer [[Orthonormalbasis]]), während der Begriff "normaler Operator" basisunabhängig definiert ist,
# Normale Matrizen beschreiben normale Operatoren auf ''endlichdimensionalen Skalarprodukträumen'', während normale Operatoren auch (und sogar meistens) auf unendlichdimensionalen Räumen verwendet werden.

Die Basisabhängigkeit des Begriffs "normal" für eine Matrix kommt durch die Definition von "adjungiert" ins Spiel:
Die zu <math>A</math> adjungierte Matrix <math>A^*</math> ist durch folgende Eigenschaft definiert:
:<math> \langle Av, w\rangle = \langle v, A^*\,w\rangle</math> für alle <math>v, w \in\mathbb K^n</math>.
Diese Definition lässt sich auch basisunabhängig lesen, aber nur, wenn die Vektoren in dieser Definition Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis sind, lässt sich das [[Skalarprodukt]] als Matrixprodukt schreiben (siehe dazu auch [[Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen]]), so dass für ''beliebige Matrizen'' <math>A</math> folgt:
:<math> \langle A\cdot v, w\rangle = \overline{(A\cdot v)}^\mathsf{T} \cdot w = (\overline{v}^\mathsf{T}\cdot \overline{A}^\mathsf{T})\cdot w=
\overline{v}^\mathsf{T}\cdot (\overline{A}^\mathsf{T}\cdot w)=\langle v, \overline{A}^\mathsf{T} \cdot w\rangle.</math>
Nur dann kann die zu <math>A</math> adjungierte ''Matrix'' immer durch Konjugation und Transposition berechnet werden.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger).'' 13., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.

[[Kategorie:Matrix]]

[[he:העתקה נורמלית]]
[[ja:正規作用素]]

Normale Matrix - Versionsgeschichte

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