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In der [[Algebra]] werden bestimmte Strukturen ([[Ring (Algebra)|Ringe]] und [[Modul (Mathematik)|Moduln]]) '''noethersch''' genannt, wenn sie ''keine'' unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin [[Emmy Noether]] benannt.

== Noethersche Moduln ==
Es sei <math>R</math> ein [[unitärer Ring]] (d. h. ein Ring mit Einselement). Ein <math>R</math>-[[Linksmodul]] <math>M</math> heißt ''noethersch'', wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* Jeder [[Untermodul]] ist endlich erzeugt.
* (Aufsteigende Kettenbedingung) Jede unendliche aufsteigende Kette
::<math> N_1 \subseteq N_2 \subseteq N_3 \subseteq\dotsb </math>
: von Untermoduln wird stationär, d. h., es gibt einen Index <math>n</math>, so dass
::<math> N_n = N_{n+1} = N_{n+2} = \dotsb </math>
* (Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von <math>M</math> hat ein [[maximales Element]] bezüglich Inklusion.

=== Beispiele ===
* Jeder endliche Modul ist noethersch.
* Jeder endlich erzeugte Modul über einem noetherschen Ring ist noethersch.
* Jede endliche direkte Summe noetherscher Moduln ist noethersch.
* <math> \mathbb{Z}\left[\tfrac1p\right] </math> ist '''nicht''' noethersch als <math> \mathbb{Z} </math>-Modul.

=== Eigenschaften ===
* Jeder [[Surjektivität|surjektive]] [[Endomorphismus]] ist ein [[Automorphismus]].
* Für eine [[kurze exakte Sequenz]] <math>\quad 0\rightarrow M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3\rightarrow0 </math> sind äquivalent:
*# <math> M_2 </math> ist noethersch.
*# <math> M_1, M_3 </math> sind noethersch.
* Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]], so ist <math>V</math> genau dann noethersch, wenn er endlich-dimensional ist. In diesem Fall ist der Modul auch [[artinsch]].
* Ist <math>R</math> linksnoethersch, das [[Jacobson-Radikal]] <math>J=\operatorname{Rad}(R)</math> [[Nilpotenz|nilpotent]] und <math>R/J</math> halbeinfach, dann ist <math>R</math> auch [[Artinsch|linksartinsch]].
* Über einem noetherschen Ring ist jeder endlich erzeugte Modul auch [[Endliche Präsentierbarkeit (Modul)|endlich präsentiert]] (die Umkehrung gilt immer).
* Die endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring bilden eine [[abelsche Kategorie]]; die Voraussetzung, dass der Ring noethersch ist, ist dabei essentiell.
* Jeder echte Untermodul eines noetherschen Moduls besitzt eine [[Primärzerlegung]].

== Noethersche Ringe ==
Ein Ring <math>R</math> heißt
* ''linksnoethersch'', wenn er als <math>R</math>-Linksmodul noethersch ist;
* ''rechtsnoethersch'', wenn er als <math>R</math>-Rechtsmodul noethersch ist;
* ''noethersch'', wenn er links- und rechtsnoethersch ist.

Bei [[kommutativ]]en Ringen sind alle drei Begriffe identisch und äquivalent dazu, dass alle [[Ideal (Ringtheorie)|Ideale]] in <math>R</math> endlich erzeugt sind.

=== Beispiele ===
* [[Artinscher Ring|Artinsche Ringe]] sind noethersch.
* <math> \mathbb{Z} </math> ist noethersch, aber nicht artinsch.
* [[Faktorring|Quotienten]] und [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierungen]] noetherscher Ringe sind noethersch.
* [[Hauptidealring]]e oder allgemeiner [[Dedekindring]]e sind noethersch.
* Ist <math>R</math> ein noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring <math>R[X]</math> noethersch ([[Hilbertscher Basissatz]]).
* Daraus folgt, dass allgemein endlich erzeugte Algebren über einem noetherschen Ring wieder noethersch sind. Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über Körpern noethersch.
* Der Polynomring <math>\mathbb C[X_1, X_2, \ldots]</math> in unendlich vielen Unbestimmten ist nicht noethersch, da das Ideal, das von allen Unbestimmten erzeugt wird, nicht endlich erzeugt ist.
* Der [[Matrizenring]] <math> \begin{pmatrix}
\Z & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q}
\end{pmatrix}
</math> ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.

=== Eigenschaften ===
* Jedes [[irreduzibles Ideal|irreduzible Ideal]] in einem noetherschen Ring ist ein [[primäres Ideal]].
* In einem noetherschen Ring kann jedes echte Ideal als Schnitt endlich vieler irreduzibler Ideale dargestellt werden. Insbesondere existiert in noetherschen Ringen eine [[Primärzerlegung]].
* In einem noetherschen Ring gibt es nur endlich viele minimale Primideale.
* Jede von Null verschiedene Nichteinheit in einem noetherschen Ring lässt sich als endliches Produkt irreduzibler Elemente schreiben. Insbesondere ist ein noetherscher Ring, in welchem alle irreduziblen Element Primelemente sind, ein [[faktorieller Ring]].
* Ist in einem Ring das [[Nullideal]] Produkt [[Maximales Ideal|maximaler Ideale]], so ist der Ring genau dann noethersch, wenn er [[artinsch]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Noetherscher Raum]]

== Literatur ==
* [[Emmy Noether]]: ''Idealtheorie in Ringbereichen.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' 83, 1921, S. 24–66, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0083 GDZ]
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Algèbre commutative.'' Band 8/9: ''Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets.'' Masson, Paris 1983, ISBN 2-225-78716-6 (''Éléments de mathématique'').
* David Eisenbud: ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry.'' Corrected 3rd printing. Springer-Verlag, New York NY 1999, ISBN 0-387-94268-8 (''Graduate Texts in Mathematics'' 150), (engl.).

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Emmy Noether als Namensgeber]]

Noetherscher Ring - Versionsgeschichte

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