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2022-11-05T22:44:53Z

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Der '''noethersche topologische Raum''', benannt nach [[Emmy Noether]], ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Er ist durch den [[Algebra|algebraischen]] Begriff des [[Noetherscher Ring|noetherschen Rings]] motiviert und findet hauptsächlich in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] Anwendung.

== Definition ==
Betrachtet man [[offene Menge]]n eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] in Analogie zu den [[Ideal (Ringtheorie)|Idealen]] eines [[Ring (Algebra)|Ringes]], so ist folgende Definition mit Blick auf den Begriff des noetherschen Ringes naheliegend:

* Ein topologischer Raum heißt noethersch, wenn jede aufsteigende Kette offener Mengen stationär wird, das heißt: Ist <math>U_1\subset U_2\subset \ldots</math> eine Familie offener Mengen, so gibt es ein <math>n_0\in\N</math> mit <math>U_n = U_{n_0}</math> für alle <math>n\ge n_0</math>.

Wie in der Algebra zeigt ein einfaches Argument:

* Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine ''Maximalbedingung für offene Mengen'' gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie offener Mengen enthält ein [[Maximales und minimales Element|maximales Element]].

Da die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] genau die [[Komplement (Mengenlehre)|Komplemente]] offener Mengen sind, hat man:<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition I.2.13</ref>

* Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird, das heißt: Ist <math>A_1\supset A_2\supset \ldots</math> eine Familie abgeschlossener Mengen, so gibt es ein <math>n_0\in\N</math> mit <math>A_n = A_{n_0}</math> für alle <math>n\ge n_0</math>.

* Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine ''Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen'' gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie abgeschlossener Mengen enthält ein [[minimales Element]].

== Beispiele ==
* Räume mit endlichen Topologien, insbesondere also topologische Räume mit endlicher Grundmenge sind noethersch.
* Der [[Affiner Raum|affine Raum]] <math>k^n</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>k</math> ist mit der [[Zariski-Topologie]] ein noetherscher Raum.
* <math>\R</math> mit der [[Euklidische Topologie|euklidischen Topologie]] ist nicht noethersch, denn die [[Offenes Intervall|offenen Intervalle]] <math>\textstyle (0,n)</math> bilden eine aufsteigende Folge offener Mengen, die nicht stationär wird.
* Es gibt auch nicht noethersche Ringe, deren Spektrum ein noetherscher Raum ist: Ist <math>k</math> ein Körper, so ist der Ring <math>R=k[x_i \mid i \in \mathbb N]/(x_i^2 \mid i \in \mathbb N)</math> nicht noethersch. Sein Nilradikal wird von den Unbestimmten erzeugt, also ist die Reduktion von <math>R</math> gleich <math>k</math> und folglich <math>\mathrm{Spec}(R)</math> ein Raum mit einem Punkt, insbesondere noethersch.

== Bedeutung ==
Auf dem [[Spektrum eines Ringes]] betrachtet man üblicherweise die [[Zariski-Topologie]]. Leicht zeigt man, dass das Spektrum eines noetherschen kommutativen Ringes ein noetherscher topologischer Raum ist. Da [[Algebraische Varietät|affine Varietät]]en den [[Radikal (Mathematik)|Radikalidealen]] im Ring der Polynome in endlich vielen Variablen über dem Koordinatenkörper entsprechen ([[Hilbertscher Nullstellensatz]]), und dieser Ring noethersch ist ([[Hilbertscher Basissatz]]), erhält man, dass affine Varietäten mit der Zariski-Topologie noethersch sind. Daher spielt dieser Begriff eine Rolle in der algebraischen Geometrie, in der solche Varietäten untersucht werden.

== Anwendung ==
* Ein noetherscher topologischer Raum besitzt nur endlich viele [[irreduzible Komponente]]n.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz I.2.14</ref>
Insbesondere besteht eine affine Varietät aus endlich vielen irreduziblen Komponenten.

Da der einfache Beweis die typische ''noethersche'' Schlussweise verdeutlicht, soll er hier kurz wiedergegeben werden: Sei <math>\mathcal A</math> die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen, die nicht endliche Vereinigung irreduzibler Mengen sind. Wird angenommen, dass diese Menge nicht leer ist, so enthält sie wegen der Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen ein minimales Element <math>A_0</math>. Dieses kann als Element aus <math>\mathcal A</math> nicht irreduzibel sein, ist also Vereinigung zweier echter abgeschlossener Mengen <math>A_1</math> und <math>A_2</math>. Da <math>A_0</math> minimal ist, sind <math>A_1</math> und <math>A_2</math> nicht aus <math>\mathcal A</math> und daher endliche Vereinigung irreduzibler Mengen. Dann ist aber auch <math>A_0 = A_1\cup A_2</math> endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was ein Widerspruch zu <math>A_0\in {\mathcal A}</math> ist. Daher ist <math>\mathcal A</math> leer, insbesondere ist der Raum selbst endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was zu zeigen war.

== Kompaktheit ==
Definiert man [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] durch die Überdeckungseigenschaft und verzichtet auf die [[Hausdorffraum|Hausdorffeigenschaft]], manche Autoren sprechen dann auch von [[quasi-kompakt]]en Räumen, so gilt:<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 2: Noetherian Spaces</ref>
* Jeder noethersche Raum ist quasi-kompakt.
* Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede Teilmenge mit der [[Relativtopologie]] quasi-kompakt ist.

== Weitere Eigenschaften ==
* Jeder Unterraum eines noetherschen Raums ist wieder noethersch.<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (ii)</ref>
* Ist der topologische Raum <math>X</math> Vereinigung der Unterräume <math>X_1,\ldots,X_n</math> und ist jedes <math>X_i</math> noethersch, so ist auch <math>X</math> noethersch.<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (iii)</ref>
==Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Emmy Noether als Namensgeber]]

Noetherscher Raum - Versionsgeschichte

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