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2026-04-02T06:27:03Z

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Das '''No-Cloning-Theorem''' ist ein bedeutsamer [[Theorem|Lehrsatz]] der [[Quantenphysik]]. Das No-Cloning-Theorem besagt, dass man von einem unbekannten Quantenzustand keine Kopie erstellen kann.<ref>
{{Literatur |Autor=Thomas Filk |Titel=Quantenmechanik (nicht nur) für Lehramtsstudierende |Verlag=Springer-Verlag, |Datum=2019|ISBN = 978-3-662-59735-4|Seiten=223-1 |Online=https://books.google.de/books?id=0pK7DwAAQBAJ&pg=PA223}}</ref> Demnach ist es nicht möglich, ein System zu bauen, das jedes beliebige [[Qubit]] (Quantenbit) perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern. Das Theorem kann einerseits als Konsequenz der [[Unitärer Operator|Unitarität]] von quantenmechanischen [[Zeitentwicklungsoperator]]en oder der [[Lineare Abbildung|Linearität]] von [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] gesehen werden.

Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die [[Quanteninformatik]]. Zum einen können klassische [[Fehlerkorrekturcode]]s, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum anderen kann niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören, da er dazu eine Kopie der übertragenen Qubits anlegen müsste. Das Theorem bildet eine der Grundlagen der [[Quantenkryptografie]].

== Zur Geschichte ==
Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war 1982 eine Arbeit von [[Nick Herbert (Physiker)|Nick Herbert]],<ref name="peres">{{Literatur |Autor=[[Asher Peres]]|Titel=How the no-cloning theorem got its name |Sammelwerk=Fortschritte der Physik |Band=51 |Nummer=4–5|Datum=2003|Seiten=458–461 |arXiv=quant-ph/0205076 |DOI=10.1002/prop.200310062}}</ref> nach der es möglich wäre, durch das Kopieren von Qubits eine [[Überlichtgeschwindigkeit|überlichtschnelle]] Informationsübertragung zu realisieren.<ref>{{Literatur |Autor=N. Herbert |Titel=FLASH–A Superluminal Communicator Based upon a New Type of Quantum Measurement |Sammelwerk=Foundations of Physics |Band=12 |Datum=1982 |Seiten=1171 |DOI=10.1007/BF00729622}}</ref> [[William Wootters]] und [[Wojciech Zurek]] und zeitgleich und unabhängig von ihnen [[Dennis Dieks]] veröffentlichten im gleichen Jahr das No-Cloning-Theorem<ref>{{Literatur |Autor=W. Wootters, W. Zurek |Titel=A Single Quantum Cannot be Cloned |Sammelwerk=[[Nature]] |Band=299 |Datum=1982 |Seiten=802–803 |DOI=10.1038/299802a0}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Dennis Dieks |Titel=Communication by EPR devices |Sammelwerk=Phys. Letters A |Band=92 |Datum=1982-11-22 |Seiten=271–272 |DOI=10.1016/0375-9601(82)90084-6}}</ref> und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung erfolgen kann.<ref name="BRUSS">[[Dagmar Bruß]]: ''Quanteninformation.'' Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40.</ref>

Wie [[Asher Peres]] anmerkt,<ref name="peres" /> wurde das No-Cloning-Theorem schon 1980 in einem unveröffentlichten [[Peer Review|Refereereport]] von [[Giancarlo Ghirardi]] bewiesen.<ref>später veröffentlicht in: {{Literatur |Autor=GianCarlo Ghirardi |Hrsg=Paul Bracken |Titel=Entanglement, Nonlocality, Superluminal Signaling and Cloning |Sammelwerk=Advances in Quantum Mechanics |Datum=2013 |arXiv=1305.2305 |DOI=10.5772/56429}}</ref> Auf einen noch früheren Beweis durch James Park im Jahr 1970<ref>{{Literatur |Autor=James Park |Titel=The concept of transition in quantum mechanics |Sammelwerk=Foundations of Physics |Band=1 |Nummer=1 |Datum=1970 |Seiten=23–33 |DOI=10.1007/BF00708652}}</ref> wies später Juan Ortigoso hin.<ref>{{Literatur |Autor=Juan Ortigoso |Titel=Twelve years before the quantum no-cloning theorem |Sammelwerk=American Journal of Physics |Band=Vol. 86 |Nummer=3 |Datum=2018 |Seiten=201–205 |Sprache=en |arXiv=1707.06910 |DOI=10.1119/1.5021356}}</ref>

Das No-Cloning-Theorem besagt, dass ein unbekannter, unverschlüsselter Quantenzustand nicht perfekt kopiert werden kann. 2026 wurde ein Weg gefunden, Qubits zu verschlüsseln, während sie geklont werden. Die One-Time-Pad-Verschlüsselung macht Kopien unlesbar. Das Theorem wird umgangen, weil die Entschlüsselung der Kopien einen "One-Time-Key" verbraucht. Es wird nur jeweils eine Kopie entschlüsselt, was das No-Cloning-Theorem respektiert, aber dennoch Kopien im Quantencloud-Bereich erlaubt.<ref>{{Literatur |Autor=Koji Yamaguchi, Achim Kempf |Titel=Encrypted Qubits can be Cloned |Sammelwerk=Physical Review Letters |Datum=14. Januar 2026 |Sprache=en |arXiv=2501.02757v3}}</ref>

== Beweis ==
Das No-Cloning-Theorem wird durch [[Widerspruchsbeweis]] gezeigt. Es wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das Qubits in einem beliebigen Zustand perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.<ref name="HOMEISTER">{{Literatur |Autor=Matthias Homeister |Titel=Quantum Computing verstehen |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2005 |ISBN=3-528-05921-4 |Fundstelle=S. 81–84}}</ref>

Laut Annahme wirkt eine perfekte Quanten-Kopiermaschine wie folgt: sie erhält als Input ein Quantensystem in einem beliebigen Zustand <math>|\varphi\rangle</math> und liefert als Ausgabe zwei Quantensysteme, jedes davon im Zustand <math>|\varphi\rangle</math> also beide zusammen im [[Produktzustand]] <math>|\varphi\rangle\otimes|\varphi\rangle</math>. Das Theorem wird hier für den Spezialfall, dass die Kopiermaschine durch eine unitäre Abbildung auf der Raum der Input- und Outputsysteme realisiert werden kann, bewiesen, das Theorem gilt aber für beliebige [[Quantenkanal|Quantenkanäle]], die allgemeinste Form von spurerhaltenden Quantenoperationen.<ref name="watrous">{{Literatur |Autor=John Watrous |Titel=The Theory of Quantum Information |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2018 |Sprache=en |Fundstelle=S. 424f; Thm 7.28 |Kommentar=Hier wird kein Widerspruchsbeweis geführt, sondern gezeigt, dass die optimale Quanten-Kopiermaschine höchstens eine [[Fidelität]] von 2/3 erreicht (und nicht eins) |Format=pdf |Online=https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/TQI.pdf}}</ref>

Es seien nun <math>|\phi \rangle</math> und <math>|\psi \rangle</math> zwei beliebige [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]], die auf einen davon unabhängigen Zustand <math>|k \rangle</math> kopiert werden sollen. Da Skalarprodukte (und Wahrscheinlichkeiten) erhalten werden sollen, kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine [[Unitärer Operator|unitäre Abbildung]] <math>U</math> beschrieben werden. Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen:
:<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle</math>
:<math>U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle</math>

Für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle</math> lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben:
:<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle</math>
:<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle</math>
Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen, während sich die zweite Gleichung ergibt, da unitäre Abbildungen das Skalarprodukt nicht verändern. Somit erhält man
:<math>\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,</math>
sowie auf Grund der Verträglichkeit von Skalarprodukt und [[Tensorprodukt]]
:<math>\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.</math>
Da <math>\langle k | k \rangle = 1 </math> folgt also
:<math>\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.</math>

Diese Gleichung hat nur die Lösungen <math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math> und <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>. Das bedeutet, dass entweder <math>\phi = \psi</math> ist (falls <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>) oder <math>\phi</math> und <math>\psi</math> [[orthogonal]] sind (falls <math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math>). Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand <math>\psi</math> zu kopieren, bestenfalls noch zu <math>\psi</math> und auch untereinander orthogonale Zustände kopieren. Von allen anderen Zuständen produziert das Verfahren nur fehlerhafte Kopien (mit [[Fidelität]] <math>F<1</math>).

Ein alternativer Beweis, welcher die Linearität von <math>U</math> ausnutzt, lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="FAYNGOLD">Moses Fayngold, Vadim Fayngold: ''Quantum Mechanics and Quantum Information.'' Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40647-0, S. 609–610.</ref>

Sei <math>| \phi \rangle </math> der Zustand, welcher auf <math>| k \rangle </math> kopiert werden soll. Wir entwickeln <math>| \phi \rangle </math> in eine beliebige [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>|\phi_j\rangle</math> :

:<math>| \phi \rangle = \sum_j a_j | \phi_j \rangle </math>

mit beliebigen Entwicklungskoeffizienten <math>a_j</math>. Mit dieser Entwicklung folgt bei der Anwendung von <math> U </math>

:<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle = \sum_j a_j | \phi_j \rangle \otimes \sum_j a_j | \phi_j \rangle </math>

Da <math> U </math> einen beliebigen Zustand kopieren soll, muss auch für die einzelnen Basisvektoren <math> \phi_j </math> gelten:

:<math>U(|\phi_j \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle </math>

Dies impliziert jedoch für den Kopiervorgang von <math>| \phi \rangle </math>

:<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = U\left(\sum_j a_j | \phi_j \rangle \otimes |k \rangle\right) \stackrel{\text{Lin.}}{=}\sum_j a_j U(| \phi_j \rangle \otimes |k \rangle) = \sum_j a_j |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle</math>

wobei wir die Linearität von <math> U </math> verwendet haben. Es gilt jedoch

:<math>\sum_j a_j | \phi_j \rangle \otimes \sum_j a_j | \phi_j \rangle \neq\sum_j a_j |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle </math>

was die Existenz eines solchen <math> U </math> widerlegt.

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Quanteninformatik]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]
{{SORTIERUNG:Nocloningtheorem}}

No-Cloning-Theorem - Versionsgeschichte

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