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2025-07-23T02:16:16Z

Definition: Lexikonstil anstatt Lehrbuchstil

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[[Datei:Plot contour.png|mini|Niveaumengen (schwarze Linien) um zwei [[Extrempunkt]]e einer Funktion von zwei Variablen]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet eine '''Niveaumenge''' oder '''Levelmenge''' die Menge aller Punkte des [[Definitionsbereich|Definitionsbereichs]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], denen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der '''Subniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der '''Superniveaumenge''', die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.

== Definition ==
Es seien <math>U,V</math> [[Menge (Mathematik)|Mengen]], <math>f\colon U \to V</math> eine Funktion und <math>c \in V</math> ein Wert aus der [[Zielmenge]], dann heißt
: <math>\mathcal N_f(c) := f^{-1}(c) = \{x\in U \mid f(x)=c\} \subseteq U</math>
die ''Niveaumenge'' der Funktion <math>f</math> zum Niveau bzw. Level <math>c</math>.

Trägt <math>V</math> eine [[Ordnungsrelation]] <math>\leq</math> (mit [[Relation (Mathematik)|Umkehrrelation]] <math>\geq</math>), können folgende Begriffe definiert werden:

Als ''Subniveaumenge'' wird die Menge
: <math>\mathcal L^\leq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \leq c\}</math>
bezeichnet, im Falle <math>V=\R</math> ist <math>\mathcal L^\leq_f(c) = f^{-1}(\left(-\infty,c\right])</math>.

Als ''Superniveaumenge'' wird die Menge
: <math>\mathcal L^\geq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \geq c\}</math>
bezeichnet, im Falle <math>V=\R</math> ist <math>\mathcal L^\geq_f(c) = f^{-1}(\left[c, \infty \right))</math>.

== Anwendungen ==

=== Physik ===
Für zweidimensionale [[Skalarfeld]]er ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer ''[[Isolinie]]'' oder ''Niveaulinie.'' Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare [[Potential (Physik)|Potentialfelder]]) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] und man nennt sie ''[[Isofläche]]'' oder ''[[Niveaufläche]]'' (z. B. ''Höhenlinien'').<br/>
Der Begriff ''Niveaufläche'' wird aber auch für Kraftfelder wie das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] oder [[Magnetismus|Magnetfelder]] verwendet.

=== Wirtschaftswissenschaften ===
Für eine [[Produktionsfunktion]] <math>f\colon (0, \infty)^n \to (0, \infty)</math> sowie ein Produktionsniveau <math>c \in (0, \infty)</math> ist <math>\mathcal N_f(c) = f^{- 1}(c)</math> die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge <math>c</math> generieren lässt. Die Menge <math>\mathcal N_f(c)</math> wird als ''Isoquante'' zum Produktionsniveau <math>c</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur | Autor=Klaus D. Schmidt | Titel=Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler | Auflage=2., überarbeitete | Verlag=Springer | Ort=Berlin u. a.| Jahr=2000 | ISBN=3-540-66521-8 | Seiten=369 | Online={{Google Buch| BuchID=LE_RQAbHZbEC}}}}</ref>

== Verallgemeinerung ==
Ist die Funktion [[reell-vektorwertige Funktion|reell-vektorwertig]], hat also als Bildraum den <math> \R^n </math> und ist dieser mit einer [[verallgemeinerte Ungleichung|verallgemeinerten Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math> versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu
: <math>\mathcal L^\leq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \preccurlyeq_K c\}</math>

und die Superniveaumenge zu
: <math>\mathcal L^\geq_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \succcurlyeq_K c\}</math>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Feldtheorie]]

Niveaumenge - Versionsgeschichte

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