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2021-02-04T05:19:48Z

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{{Weiterleitungshinweis|Nilpotenz|Weitere Bedeutungen sind unter [[Nilpotenz (Begriffsklärung)]] aufgeführt.}}

Ein '''nilpotentes Element''' ist ein Begriff aus der [[Ringtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Ein Element eines [[Ring (Algebra)|Rings]] heißt nilpotent, wenn es genügend oft mit sich selbst multipliziert das [[Nullelement]] ergibt.

== Definition ==
Ein Element <math>x</math> eines [[Ring (Algebra)|Ringes]] <math>R</math> heißt nilpotent, wenn eine positive [[natürliche Zahl]] <math>n</math> existiert, sodass <math>x^n = 0</math> gilt. Ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] <math>I \subseteq R</math> wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl <math>n</math> existiert, sodass <math>I^n = (0)</math> gilt.

== Beispiele ==
:Beispielsweise ist die Matrix
::<math>A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
</math>
:nilpotent, denn es gilt
::<math>A^3 = 0</math>.

:(Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel [[nilpotente Matrix]].)

*Im [[Restklassenring]] <math>\mathbb{Z} / 8\mathbb{Z}</math> sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz [[Kongruenz (Zahlentheorie)|kongruent]] zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]].

*Im Restklassenring <math>\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z}</math> sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.

*Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da <math>0^1 = 0</math> ist.

== Eigenschaften ==
Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte [[Radikal (Mathematik)#Kommutativer Fall: Radikal eines Ideals und Nilradikal|Nilradikal]].

Der Durchschnitt aller [[Primideal]]e in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.<ref>[[Serge Lang]]: ''Algebra'', 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854, S. 417.</ref>

Sei im Folgenden <math>R</math> ein Ring, <math>a</math> ein nilpotentes Element von <math>R</math> und <math>n</math> die kleinste natürliche Zahl mit <math>a^n=0</math>.
* Ist <math>a \neq 0</math>, dann ist <math>n>1</math> und <math>a</math> ist [[Nullteiler]], denn <math>a a^{n-1} = 0</math> und <math>a^{n-1} \neq 0</math>.

Ist zusätzlich <math>R</math> ein Ring mit 1 und nicht der [[Nullring]], dann gilt:
* <math>a</math> ist nicht [[Einheit (Mathematik)|invertierbar]] (bzgl. der Multiplikation), denn aus <math>a b = 1</math> für ein Ringelement <math>b</math> folgt der Widerspruch <math>0 = a^n b = a^{n-1}</math> (<math>n</math> war minimal gewählt!).
* <math>1-a</math> ist invertierbar, denn es gilt <math>(1-a)\left(1+a+a^2+\dotsb+a^{n-1}\right) = 1 - a^n = 1 = \left(1+a+a^2+\dotsb+a^{n-1}\right)(1-a)</math>.
* Ist <math>b</math> eine Einheit von <math>R</math>, die mit <math>a</math> kommutiert, dann ist auch <math>b+a</math> invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als <math>b+a = b\cdot\left(1-\left(-b^{-1}a\right)\right)</math> sieht.

Sei <math>R</math> ein Restklassenring <math>\mathbb{Z} / m\mathbb{Z}</math> und <math>p</math> das Produkt aller Primteiler von <math>m</math>, d. h. aller [[Primzahl]]en die in der [[Primfaktorzerlegung]] von <math>m</math> auftreten. Z. B. für <math>m=12=2^2\cdot 3</math> ist <math>p=6 = 2\cdot 3</math>.
Dann sind die nilpotenten Elemente von <math>R</math> genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von <math>p</math> sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist <math>k</math> der größte Exponent, der in der Primfaktorzerlegung von <math>m</math> auftritt, dann ist <math>p^k</math> ein Vielfaches von <math>m</math>; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom <math>m</math> ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von <math>m</math> besitzen.

Ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elemente enthält, wird [[reduzierter Ring|reduziert]] genannt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Nilpotentes Element - Versionsgeschichte

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