imported>Mathze: /* Definition */ Form

2025-09-17T16:00:07Z

Definition: Form

Neue Seite

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist eine '''nilpotente Matrix''' eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], bei der eine ihrer [[Matrixpotenz|Potenzen]] die [[Nullmatrix]] ergibt. Beim '''nilpotenten Endomorphismus''' ist eine Potenz die [[Nullabbildung]].

== Definition ==
Eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] bezeichnet man als ''nilpotent'', wenn eine ihrer [[Matrixpotenz|Potenzen]] die [[Nullmatrix]] ergibt:
:<math>A^k = 0_{nn}</math> für ein <math>k \in \N</math>
Entsprechend bezeichnet man einen [[Endomorphismus#Vektorräume|Vektorraum-Endomorphismus]] <math>f</math> als nilpotent, wenn es eine Zahl <math>k \in \N</math> gibt, sodass <math>f\,^k</math> die [[Nullabbildung]] ist. Die kleinste natürliche Zahl <math>k</math>, welche dieses Kriterium erfüllt, bezeichnet man als ''Nilpotenzgrad'' oder ''Nilpotenzindex''.
Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es folgenden Zusammenhang: Zu jeder nilpotenten Matrix <math>A</math> ist die Linksmultiplikation dieser Matrix an Spaltenvektoren ein nilpotenter Endomorphismus. Umgekehrt ist jede Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus nilpotent.

== Äquivalente Definitionen ==

Für eine quadratische Matrix <math>A</math> mit <math>n</math> Zeilen und Spalten sind folgende Aussagen äquivalent:
* <math>A</math> ist nilpotent.
* Es gibt ein <math>k \in \N</math> mit <math>A^k = 0</math> und <math>A^{k-1} \neq 0</math>. Dann ist <math>A</math> nilpotent mit dem Nilpotenzgrad <math>k</math>.
* Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] von <math>A</math> hat die Form <math>\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n</math>.
* Das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] von <math>A</math> hat die Form <math>m_A(\lambda) = \lambda^k</math> für ein <math>k>0</math>.
*<math> A</math> ist [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu einer [[Dreiecksmatrix#Strikte_obere_und_untere_Dreiecksmatrix|strikten Dreiecksmatrix]], das heißt, es existiert eine [[Reguläre_Matrix|invertierbare Matrix]] <math> P </math>, so dass gilt:

<math>\,\,\,\,\,\,\, A = P^{-1} \begin{pmatrix}0 & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1,n} \\
0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix} P</math>
* Speziell für Matrizen über <math>\mathbb{C}</math> oder anderen algebraisch abgeschlossenen Körpern gilt, dass sie genau dann nilpotent sind, wenn ihr einziger [[Eigenwert]] 0 ist.

== Beispiele ==

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 2 ist die Matrix
:<math>A=\begin{pmatrix}
5 & -3 & 2 \\
15 & -9 & 6 \\
10 & -6 & 4
\end{pmatrix}
</math>
weil
:<math>A^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
= 0</math>.

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 4 ist die Matrix
:<math>A=\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
weil
:<math>A^2
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
, \quad
A^3
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
, \quad
A^4
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
= 0</math>.

Jede <math>n\times n</math>-[[Dreiecksmatrix]], deren [[Hauptdiagonale]] nur Elemente gleich 0 enthält, ist nilpotent.<ref>Algebra Practice Problems: [https://www.algebrapracticeproblems.com/nilpotent-matrix/ Nilpotent matrix]</ref>

== Eigenschaften nilpotenter Matrizen ==
Wenn eine Matrix <math>A</math> nilpotent mit Nilpotenzgrad <math>k</math> ist, dann …
* hat sie nur den [[Eigenwert]] Null. Das folgt direkt aus der Form des charakteristischen Polynoms <math>\chi_A(\lambda) = \lambda^n</math>, dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.
* ist sie nicht [[Reguläre Matrix|invertierbar]], da sie den Eigenwert null besitzt und somit ihr Kern nicht trivial ist.
* ist entweder <math>A=0</math> oder sie ist nicht [[Diagonalmatrix|diagonalisierbar]], da alle Diagonalmatrizen ungleich <math>0</math> nicht nilpotent sind.
* ist die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] Null: <math>\det(A) = 0 </math>.
* ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] Null.
* hat sie keinen vollen Rang, d. h. ihre Spaltenvektoren sind [[Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]]. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
* ist <math>I-A</math> invertierbar (<math>I</math> ist die [[Einheitsmatrix]]), denn es ist <math>(I-A)\left(I+A+A^2+...+A^{k-1}\right) = I-A^k = I</math>.

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel „[[Nilpotentes Element]]“ getroffenen allgemeinen Aussagen auch hier.

== Jordan-Chevalley-Zerlegung ==
Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem [[algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossenen]] Körper lässt sich eindeutig als Summe eines [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbaren]] und eines nilpotenten Endomorphismus schreiben. Diese Zerlegung wird als [[Jordan-Chevalley-Zerlegung]] bezeichnet und ist im Wesentlichen eine Folge der Existenz der [[Jordansche Normalform|Jordanschen Normalform]].

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] | Titel=Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger) | Reihe= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik| Auflage=14., durchgesehene | Verlag=Vieweg | Ort=Wiesbaden | Jahr=2003 | ISBN=3-528-03217-0 | Seiten=384 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Nilpotente Matrix - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Definition */ Form