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'''Nilideal''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Begriff aus der [[Ringtheorie]].

==Definition==
Sei R ein [[Ring (Algebra)|Ring]]. Ein [[Ideal_(Ringtheorie)|Ideal]] N von R, das nur aus [[nilpotentes Element|nilpotenten]] Elementen besteht, heißt Nilideal.

Allgemeiner nennt man jede Teilmenge eines Ringes nil, wenn diese nur aus nilpotenten Elementen besteht.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Seite 41</ref>

Während man von einem nilpotenten Ideal <math>I\subset R</math> verlangt, dass es ein <math>n</math> gibt mit <math>I^n = \{0\}</math>, das heißt jedes Produkt <math>a_1\cdot\ldots\cdot a_n</math> der Länge <math>n</math> von Elementen <math>a_i\in I</math> ist gleich 0, wird von einem Nilideal lediglich verlangt, dass es zu jedem Element <math>a\in I</math> ein von <math>a</math> abhängiges <math>n</math> gibt mit <math>a^n=0</math>.

==Beispiele und Eigenschaften==

*Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal, das nicht nilpotent ist, ist das Ideal <math>(X_1,X_2,\ldots)</math> im Ring <math>k[X_1,X_2,\ldots]/(X_1,X_2^2,X_3^3,\ldots)</math> mit einem Körper <math>k</math> und je einer Unbestimmten <math>X_i</math> für jede natürliche Zahl <math>i</math>.

*Nach einem Satz von [[Jakob Levitzki|Levitzki]] ist jedes Links- oder Rechts-Nilideal in einem [[Noetherscher Ring|links-noetherschen Ring]] bereits nilpotent.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Satz 2.6.23</ref>

*Das [[Radikal (Mathematik)#Primradikal|Primradikal]] ist ein Nilideal.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Satz 2.6.15</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Nilideal - Versionsgeschichte

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