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2025-07-28T15:55:03Z

Trennungsaxiome

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Der '''Niemytzki-Raum''' (nach [[Wiktor Wladimirowitsch Nemyzki]]) ist ein im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] untersuchtes konkretes Beispiel eines [[topologischer Raum|topologischen Raumes]].
Auf der oberen [[Halbebene]] wird eine im Vergleich zur [[Euklidische Topologie|euklidischen Topologie]] [[feinere Topologie]], die so genannte Niemytzki-Topologie, eingeführt.
Dadurch entsteht ein topologischer Raum, der in vielen Situationen als Gegenbeispiel dient.

Der Niemytzki-Raum wird von manchen Autoren auch ''Niemytzki-Ebene'' oder ''Moore-Ebene'' (nach [[Robert Lee Moore (Mathematiker)|Robert Lee Moore]]) genannt.

== Definition ==
[[Datei:NiemytzkiRaum1.png|miniatur|300px|Umgebungen im Niemytzki-Raum]]
Auf der oberen Halbebene <math>X:=\{ (x,y)\in{\mathbb R}^2; y\ge 0\}</math> wird die Niemytzki-Topologie wie folgt durch die Angabe einer [[Umgebungsbasis]] der Punkte aus X erklärt: Ist <math>(x_0,y_0)\in X</math> und <math>r>0</math>, so sei für <math>y_0>0</math>

:<math>U_r(x_0,y_0) := \{(x,y)\in X; (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 < r^2\}.</math>

Ist <math>y_0=0</math>, so sei

:<math>U_r(x_0,0) := \{(x_0,0)\}\cup\{(x,y)\in X; (x-x_0)^2+(y-r)^2 < r^2\}.</math>

Im Falle <math>y_0>0</math> handelt es sich also um offene Kreise mit Radius <math>r</math> um <math>(x_0,y_0)\in X</math>, die mit der oberen Halbebene geschnitten sind, <math>U_r(x_0,0)</math> ist ein auf dem Punkt <math>(x_0,0)</math> aufgesetzter offener Kreis mit Radius <math>r</math> zusammen mit diesem Punkt.

Man definiert nun eine Menge <math>V\subset X</math> als offen in der Niemytzki-Topologie, wenn es zu jedem <math>(x_0,y_0)\in V</math> ein <math>r > 0</math> gibt mit <math>U_r(x_0,y_0)\subset V</math>. <math>X</math> mit der Niemytzki-Topologie heißt Niemytzki-Raum.

== Vergleich mit der euklidischen Topologie ==
[[Image:NiemytzkiRaum2.png|thumb|300px|right|<math>(a_n)_n</math> konvergiert gegen <math>(0,0)</math>, <math>(b_n)_n</math> hat keinen Grenzwert.]]
Für einen Punkt <math>(x_0,y_0)\in X</math> mit <math>y_0>0</math> stimmen die Umgebungsbasen bzgl. der [[Euklidische Topologie|euklidischen Topologie]] und der Niemytzki-Topologie überein.

Eine euklidische [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines Punktes <math>(x_0,0)</math> enthält einen hinreichend kleinen Halbkreis um diesen Punkt. In jedem solchen Halbkreis ist eine Niemytzki-Umgebung <math>U_r(x_0,0)</math> enthalten, wenn man <math>r</math> klein genug wählt.
Umgekehrt ist aber keine euklidische Umgebung in einer Niemytzki-Umgebung von <math>(x_0,0)</math> enthalten.
Das zeigt, dass die Niemytzki-Topologie echt feiner als die euklidische Topologie ist.

Die durch <math>a_n := \left(0,\frac{1}{n}\right)</math> definierte Folge <math>(a_n)_n</math> konvergiert in beiden Topologien gegen <math>(0,0)</math>.
Die durch <math>b_n := \left(\frac{1}{n},1-\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)</math> definierte Folge <math>(b_n)_n</math> konvergiert bzgl. der euklidischen Topologie gegen <math>(0,0)</math>, nicht jedoch bzgl. der Niemytzki-Topologie; in dieser hat die Folge <math>(b_n)_n</math> überhaupt keinen Grenzwert.

== Teilräume ==
Der [[Unterraum|Teilraum]] <math>X_0 := \{(x,0); x\in {\mathbb R}\}</math> trägt wegen <math>U_r(x,0)\cap X_0 = \{(x,0)\}</math> als [[Teilraumtopologie]] die [[diskrete Topologie]]. <math>X_0</math> ist eine [[abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Menge bzgl. der Niemytzki-Topologie.
Die Teilraumtopologie auf <math>X\setminus X_0</math> stimmt mit der euklidischen Topologie überein.

== Topologische Eigenschaften ==
Der Niemytzki-Raum hat eine Reihe topologischer Eigenschaften, die in vielen Situationen als Gegenbeispiele dienen.

=== Lokalkompaktheit ===
Man kann zeigen, dass der Niemytzki-Raum nicht [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] ist. Dennoch ist <math>X_0</math> ein abgeschlossener Teilraum derart, dass <math>X_0</math> und <math>X \setminus X_0</math> beide lokalkompakt sind.

=== Trennungsaxiome ===
Der Niemytzki-Raum X ist [[vollständig regulärer Raum|vollständig regulär]]. Zur Trennung einer abgeschlossenen Menge von einem außerhalb gelegenen Punkt benötigt man neben den bzgl. der euklidischen Topologie stetigen Funktionen, die auch bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind, noch Funktionen der Art
:<math>f_{r,x_0}(x,y) = \begin{cases}
\frac{1}{2ry}((x-x_0)^2+y^2) & \text{wenn } (x-x_0)^2+(y-r)^2 \le r^2,\, y>0 \\
0 & \text{wenn } (x,y) = (x_0,0) \\
1 & \text{sonst}
\end{cases}</math>,
mit <math>r>0</math> und <math>x_0\in \R</math>, die ebenfalls bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind.

Man kann zeigen, dass <math>A:=\{(x,0);x\in {\mathbb Q}\}</math> und <math>B:=\{(x,0);x\in {\mathbb R} \setminus {\mathbb Q}\}</math> disjunkte, abgeschlossene Mengen sind, die nicht [[Separierte Mengen|durch offene Mengen getrennt]] werden können, das heißt, <math>X</math> ist nicht [[normaler Raum|normal]].

=== Separabilität ===
Der Niemytzki-Raum <math>X</math> ist [[Separabler Raum|separabel]], in der Tat liegt <math>\{ (x,y)\in X; x,y \in {\mathbb Q}\}</math> [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>X</math>.
Während sich im Falle [[metrischer Raum|metrischer Räume]] Separabilität auf Teilräume vererbt, zeigt der nicht-separable Teilraum <math>X_0\subset X</math>, dass dies im Allgemeinen nicht gilt (die [[Sorgenfrey-Ebene]] ist ein weiteres Beispiel dieser Art).

=== Abzählbarkeitsaxiom ===
Der Niemytzki-Raum genügt dem ersten [[Abzählbarkeitsaxiom]], denn die Mengen <math>U_{\frac{1}{n}}(x_0,y_0), \, n\in {\mathbb N}</math>, bilden eine abzählbare Umgebungsbasis von <math>(x_0,y_0)</math>. Man kann zeigen, dass er nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Während aus der Separabilität und dem ersten Abzählbarkeitsaxiom im Falle metrischer Räume das zweite Abzählbarkeitsaxiom folgt, zeigt der Niemytzki-Raum also, dass dies im Allgemeinen falsch ist.

== Literatur ==
* [[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'' (= ''BI-Hochschultaschenbücher.'' 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.
* Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: ''Counterexamples in Topology.'' Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 82

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Niemytzki-Raum - Versionsgeschichte

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