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2025-06-07T14:19:12Z

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'''Nichtlineare Systeme''' ('''NL-Systeme''') sind Systeme der [[Systemtheorie]], deren Ausgangssignal ''nicht immer'' [[Proportionalität|proportional]] zum Eingangssignal (Systemreiz) ist. Sie können wesentlich [[Komplexes System|komplexere Systeme]] sein als [[Lineares System (Systemtheorie)|lineare Systeme]].

== Allgemeine Grundlagen ==
Für nichtlineare Systeme gilt, im Gegensatz zu linearen Systemen, das [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzip]] nicht. Das heißt, man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet man die Nichtlinearität eines Systems in ''statische'', ''dynamische'', ''einwertige'' und ''mehrwertige'' Nichtlinearität. Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt, gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme.<ref>Holk Cruse: ''Biologische Kybernetik.'' Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2.</ref>

Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines nichtlinearen Systems mit innerem Zustand <math>x(t)</math>, äußeren Einflüssen <math>u(t)</math> und Beobachtungen <math>y(t)</math> darstellen als
:<math>\begin{align}
\dot x(t) &=A\bigl(t,x(t),u(t)\bigr)\\
y(t) &=C\bigl(t,x(t),u(t)\bigr),
\end{align}</math>
wobei <math>A</math> und <math>C</math> die das System beschreibenden, nichtlinearen Funktionen sind.

== Statische nichtlineare Systeme ==
[[Bild:lin-vs-nonlin.png|mini|Veranschaulichung einer linearen (linkes Diagramm) gegenüber einer nichtlinearen (rechtes Diagramm) [[Kennlinie]]. Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw. nichtlineare [[Transformation (Mathematik)|Transformation]], die schwarze Kurve ist das Eingangs-, die blaue das Ausgangssignal.]]
Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die ohne Zeitverzögerung auf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel wird die [[Diode]] im Allgemeinen (Ausnahme etwa bei schnellen Schaltvorgängen) als statisches Bauteil angesehen. Ihre Spannung-Strom-[[Kennlinie]] folgt einer [[Exponentialfunktion]]; sie wird in verschiedenen Anwendungen idealisiert als stückweise linear behandelt, bleibt aber im systemtheoretischen Sinne nichtlinear. Statische Systeme können durch eine statische Kennlinie beschrieben werden, wie sie in den Abbildungen gezeigt werden.
[[Datei:Übertragung nichtlinear.svg|miniatur|Kennlinie eines [[Feldeffekttransistor]]s 
Oben (so etwa bei > 3 mA) fast linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung Δ''U''GS erzeugt eine Änderung Δ''I''D ohne sichtbare Abweichung vom Sinusverlauf. 
Unten (so etwa bei < 3 mA) nicht linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung Δ''U''GS erzeugt eine Änderung Δ''I''D mit erkennbar nicht sinusförmigem Verlauf.]]

== Dynamische nichtlineare Systeme ==
{{Hauptartikel|Dynamisches System}}
Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die auch Speicherelemente und damit ein „Gedächtnis“ besitzen. Dadurch wird die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes allein bestimmt. Sie hängt auch von der Vorgeschichte, also von der Stärke der vorangehenden Erregung ab.<ref>Dezsö Varjú: ''Systemtheorie.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4.</ref>

== Charakterisierung bezüglich des Frequenzverhaltens ==
Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und [[Amplitude]].
Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf. Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind ([[Verzerrung (Elektrotechnik)|Verzerrung]]).

Beispiele aus der Elektrotechnik sind:
* Wenn ein nichtlinearer [[Verstärker (Elektrotechnik)|Verstärker]] mit einer einzigen Sinusspannung als Eingangsspannung gespeist wird, erzeugt er am Ausgang neben einer Sinusspannung zusätzlich [[Harmonische]]. Deren Anteile werden mit zunehmender [[Übersteuern (Signalverarbeitung)|Übersteuerung]] größer.
* Wenn der Verstärker mit einer Überlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird, tritt zusätzlich [[Intermodulation]] auf, und es entstehen Kombinationsfrequenzen.
* Sollen mehrere [[Modulation (Technik)|modulierte]] Wechselspannungen gleichzeitig verstärkt werden, kann es zu [[Kreuzmodulation]] kommen. Dann übernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen ([[Luxemburgeffekt]]).

== Siehe auch ==

* [[Nichtlineare Dynamik]]

== Literatur ==
* Mathukumalli Vidyasagar: ''Nonlinear systems analysis'' SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2.
* Muthuswamy Lakshmanan et al.: ''Nonlinear dynamics - integrability, chaos, and patterns.'' Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|4042110-7|TYP=Literatur über}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4042110-7|LCCN=|NDL=|VIAF=}}
[[Kategorie:Systemtheorie]]

Nichtlineares System - Versionsgeschichte

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