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2025-07-28T13:42:16Z

BKL Fix

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Die '''nichtlineare Stabstatik''' ist eine [[Statische Berechnung|Statik]], die auf [[Stab (Statik)|stab]]förmige Bauteile angewendet werden kann und insbesondere für wirklichkeitsnahe Berechnungen schlanker [[Druckglied]]er, [[Stütze (Bauteil)|Stützen]] und [[Balken (Bauteil)|Balken]] aus [[Stahlbeton]] oder [[Spannbeton]] von Bedeutung ist. Sie berücksichtigt [[nichtlinear]]e [[Schnittreaktion|Schnittgrößen]]-[[Verzerrungstensor|Verzerrungs]]-Beziehungen (physikalische Nichtlinearität); dies schließt auch die Berücksichtigung linearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen als Sonderfall mit ein.

Wenn erforderlich, wird das Gleichgewicht nach [[Theorie II. Ordnung]] unter Berücksichtigung der Auswirkungen von [[Tragwerk (Bauwesen)|Tragwerk]]s[[verformung]]en berechnet (geometrische Nichtlinearität).

== Mathematische Formulierung ==
Die Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden mit nichtlinear oder [[Hookesches Gesetz|linear-elastischen]] [[Stoffgesetz|Spannungs-Dehnungs-Beziehungen]]
<math>\sigma = f(\varepsilon)</math> berechnet. Es gilt das Ebenbleiben des Querschnitts. Zur Dehnungsebene

:<math>\varepsilon(y, z) = \varepsilon_0 + y \cdot \mathrm d\varepsilon / \mathrm dy + z \cdot \mathrm d\varepsilon / \mathrm dz</math>

werden die inneren Schnittgrößen, die Spannungs[[Resultierende Kraft|resultanten]]

:<math>R = [N, M_y, M_z] = \int [1, z, -y] \cdot \sigma(y, z)\ \mathrm dA,</math>

vorzugsweise durch [[numerische Integration]] der [[Mechanische Spannung|Spannung]]en

:<math>\sigma(y, z) = f[\varepsilon(y, z)]</math>

berechnet (Spannungsintegration).

In Verbundquerschnitten, beispielsweise in Stahlbeton- oder Spannbetonquerschnitten, sind anstelle der Dehnungen <math>\varepsilon(y, z)</math>, die durch die Dehnungsebene bestimmt sind, spannungsabhängige Dehnungen <math>\varepsilon_\sigma(y, z)</math> wie folgt zu bilden, um mit ihnen die Spannungen <math>\sigma(\varepsilon_\sigma)</math> aus Spannungs-Dehnungs-Linien zu bestimmen.

Mit den [[thermische Dehnung|thermischen Dehnungen]] <math>\varepsilon_{th}(y, z)</math> ergibt sich:
* für [[Betonstahl]]:
::<math>\varepsilon_{\sigma s}(y, z) = \varepsilon(y, z) - \varepsilon_{th}(y, z)</math>
* für [[Spannstahl]] mit der Vordehnung <math>\varepsilon_p</math>:
::<math>\varepsilon_{\sigma p}(y, z) = \varepsilon(y, z) - \varepsilon_{th}(y, z) + \varepsilon_p</math>.

Zur Berücksichtigung von [[Kriechen (Werkstoffe)|Kriechen]] (Kriechzahl <math>\varphi</math>) und [[Schwinden (Beton)|Schwinden]] (Schwinddehnung <math>\varepsilon_{cs}</math>) dient die spannungsabhängige Betondehnung:

:<math>\varepsilon_{\sigma c}(y, z) = [\varepsilon(y, z) - \varepsilon_{th}(y, z) - \varepsilon_{cs}] / (1 + \varphi)</math>.

Die zu einer äußeren Einwirkung

:<math>S = [N,\ M_y,\ M_z]</math>

gehörende Dehnungsebene muss die Bedingung <math>R = S</math> erfüllen. Hierzu ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die drei Unbekannte iterativ zu lösen, für die Dehnung <math>\varepsilon_0</math> im Nullpunkt des <math>y</math>-<math>z</math>-Koordinatensystems des Querschnitts und für die beiden Verkrümmungen <math>1/r_y = \mathrm d\varepsilon / \mathrm dy</math> und <math>1/r_z = \mathrm d\varepsilon / \mathrm dz</math>. Hierzu ist das [[Broyden]]-Verfahren sehr gut geeignet (s. unten).

Für die linear elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung <math>\sigma(\varepsilon) = E \cdot \varepsilon</math> und das <math>y</math>-<math>z</math>-[[Flächenträgheitsmoment #Hauptträgheitsmomente und verdrehte Trägheitsmomente|Hauptachsensystem]] ergibt die Spannungsintegration:

:<math>R = [N, M_y, M_z] = [\varepsilon_0 \cdot EA, EI_y / r_y, EI_z / r_z]</math>.

Nur für diesen Sonderfall können die einzelnen Elemente des Verzerrungsvektors oder des Dehnungszustandes <math>D</math> unmittelbar ohne Iteration mit den Querschnittswerten <math>A, \ I_y</math> und <math>I_z</math> berechnet werden:

:<math>D = [\varepsilon_0, 1/r_y, 1/r_z] = [N / EA, M_y / EI_y, M_z / EI_z].</math>

== Baupraktische Bedeutung ==
Die Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist zur Berechnung des wirklichkeitsnahen Tragverhaltens (Bauteilverformungen, [[Tragfähigkeit (Technik)|Tragfähigkeit]]en) von Tragwerken insbesondere aus Stahlbeton oder Spannbeton unerlässlich. Risse führen zu größeren Bauteilverformungen und verminderter Bauteil[[steifigkeit]].
* Wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit ist es ein Gebot der Sicherheit, die Tragfähigkeit schlanker Druckglieder und Stützen mit nichtlinearen Verfahren nach Theorie II. Ordnung nachzuweisen.
* Die Auswirkungen behinderter oder eingeprägter Verformungen ([[Zwängung|Zwang]]) werden mit nichtlinearen Verfahren wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit zutreffender ermittelt, was wirtschaftlichere Konstruktionen ermöglicht.
* Für die Schnittgrößenermittlung in [[statisch unbestimmt]] gelagerten [[Balken]] reichen lineare Verfahren aus. Es kommt auf das Verhältnis der Verformungen positiv verkrümmter Feldbereiche gegenüber negativ verkrümmten Stützbereichen an (relative Verformungen). Dieses Verhältnis ändert sich durch die Rissbildung nur unbedeutend.
* Zur Spannungsintegration muss die [[Bewehrung]] bekannt sein. Dies ist ein bedeutender Nachteil für die Anwendung nichtlinearer Verfahren. Zur wirklichkeitsnahen Berechnung vorhandener Tragwerke mit bekannter Bewehrung besteht dieser Nachteil dagegen nicht.
* Wegen des [[Numerische Mathematik|numerischen]] Aufwandes erfordert die Anwendung nichtlinearer Verfahren geeignete [[Matrix (Mathematik)|matrizenorientierte]] Mathematikprogramme oder entsprechende Anwendungs-Programme.

== Stabberechnungen ==
Klassische Verfahren der [[Baustatik]] gelten für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen. Zur Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden Matrizenverfahren mit Computerprogrammen angewendet. Am bekanntesten ist die [[Finite-Elemente-Methode]] (FEM). Bei FEM-Berechnungen mit nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ist das [[Funktionenfolge#Konvergenzbegriffe|Konvergenzverhalten]] der [[Iteration|iterativ]]en Berechnung durch die Größe der finiten Elemente, durch die Größe der Last[[inkrementierung]] und durch die [[Unstetigkeit]] der Spannungs-Dehnungs-Beziehung beeinflusst. Beim Anwender müssen entsprechende Kenntnisse zur geeigneten Tragwerksmodellierung vorausgesetzt werden.

Für Stabtragwerke ist die Kombination des [[Drehwinkelverfahrens]] mit der Einzelstab-Berechnung eine zweckmäßige Alternative zu FEM-Berechnungen. Die stabweise Berechnung der einzelnen Stäbe des Tragwerks kann nach dem Übertragungsverfahren oder durch numerisches Lösen des Systems der Differentialgleichungen erfolgen. Insgesamt verbleiben erhebliche weniger Unbekannte. Dies verbessert die Konvergenz der iterativen Berechnung erheblich.

=== Numerisches Berechnen des Systems der Differentialgleichungen ===
Die klassische [[Gewöhnliche Differentialgleichung|Differentialgleichung]] 4. Ordnung für den linear-elastischen Stab unter einachsiger Biegung und ohne [[Drillung]]

:<math>EI\ w''''(x) + N\ w''(x) = q(x)</math>

wird als System von vier Differentialgleichungen 1. Ordnung formuliert.

Die Matrix mit den vier Zustandsgrößen

:<math>Z = [Q, M, \varphi, w; 0 \ldots x \ldots l]</math>

für alle Stellen <math>x</math> des Stabes wird aus den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] an den Stellen <math>x</math> des Stabes

:<math> \mathrm dZ(x) / \mathrm dx = [q(x) + N(x) \cdot 1/r(M(x)), Q(x), 1/r(M(x)), \varphi(x)]</math>

mit Hilfe von numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung berechnet (Runge, Heun).

Bei zweiachsiger Biegung ergeben sich sinngemäß acht Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Die Verkrümmungen <math>1/r(M(x)) = k(M(x))</math> werden zu den Biegemomenten <math>M(x)</math> mit speziellen Funktionen ermittelt:
* für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist <math>k(M(x)) = M(x) / EI</math>
* für nichtlineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen kann die Verkrümmung <math>k(M(x)) = \mathrm d\varepsilon / \mathrm dx</math> mit dem Verfahren der Spannungsintegration iterativ bestimmt werden.
Für Stäbe mit konstanter Längskraft <math>N</math> und nur einachsiger Biegung ist es effektiver, die Verkrümmungen <math>k(M)</math> vorweg für einzelne Biegemomente <math>M</math> zu berechnen und <math>k(M(x))</math> aus den Wertepaaren <math>M</math> und <math>k(M)</math> zu [[Interpolation (Mathematik)|interpolieren]]. Die Wertepaare <math>M</math> und <math>k(M)</math> können als Moment-Verkrümmungs-Linie dargestellt werden. Der für zunehmende <math>M</math> oder <math>k(M)</math> abnehmende Gradient <math>\mathrm dM / \mathrm dk</math> dieser <math>M</math>-<math>k</math>-Linie gibt die beanspruchungsabhängige Verminderung der Biegesteifigkeit an.

=== Anfangswerte als Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems ===
Zur numerischen Lösung der Differentialgleichungen sind bei einachsiger Biegung zwei unbekannte Anfangswerte <math>ZA</math> in den Zustandsgrößen <math>Z = [Q, M, \varphi, w]</math> iterativ zu bestimmen, bei zweiachsiger Biegung vier. Mit den Anfangswerten darf die numerische Berechnung der Differentialgleichungen keine Differenzen gegenüber den beiden bekannten Endwerten <math>ZE</math> in den Zustandsgrößen am Stabende belassen. Für die iterative Berechnung der Anfangswerte kann das [[Broyden]]-Verfahren verwendet werden.

== Siehe auch ==
* [[Beton#Elastizitätsmodul, Schubmodul und Querdehnungszahl|Elastizitätsmodul von Beton]]
* [[Balkentheorie]]
* [[Biegelinie]]

== Literatur ==
* Olaf Ehrigsen: ''Ein allgemeines Berechnungsverfahren für Stäbe und seine Anwendung auf Stäbe des Massivbaus.'' TU Hamburg-Harburg, Dissertation, 2003. Göttingen: Cuvillier, 2003, ISBN 3-89873-755-1.
* Piotr Noakowski und Horst G. Schäfer: ''Steifigkeitsorientierte Statik im Stahlbetonbau. Stahlbetontragwerke einfach richtig berechnen.'' Berlin, Ernst & Sohn, 2003, ISBN 3433017514.
* Uwe Pfeiffer: ''Die nichtlineare Berechnung ebener Rahmen aus Stahl- oder Spannbeton mit Berücksichtigung der durch das Aufreißen bedingten Achsendehnung.'' TU Hamburg-Harburg, Dissertation, 2004. Göttingen: Cuvillier, 2004, ISBN 3-86537-298-8.
* Ulrich Quast: ''Nichtlineare Statik im Stahlbetonbau.'' Berlin, Bauwerk Verlag, 2006, ISBN 3-89932-158-8.
* Ulrich Quast: ''Nichtlineares Berechnen.'' Avak / Goris (Hrsg.), Stahlbetonbau aktuell, Praxishandbuch 2009. Kapitel C Statik, Berlin, Bauwerk Verlag, 2009, ISBN 978-3-89932-205-7.
* Ulrich Quast: ''Spannungsabhängige und thermische Dehnungen.'' Beton- und Stahlbetonbau 104 (2009), Heft 9, 616–618, {{ISSN|0005-9900}}.
* Fei Chen: ''Numerische Simulation des nichtlinearen Trag- und Schädigungsverhaltens von Stahlbeton-Stabtragwerken bei monotoner und zyklischer Beanspruchung.'' Fortschr.-Ber. VDI Reihe 4 Nr. 171, Düsseldorf, VDI-Verlag, 2001, ISBN 3-18-317104-X, {{ISSN|0178-9511}}.

== Weblinks ==
* Die für die Lehre entwickelten Programme INCA2 zur Querschnittsberechnung und Stab2D-NL zur Berechnung ebener Rahmen werden vom [http://www.tu-harburg.de/mb/ Arbeitsbereich Massivbau der TU Hamburg-Harburg] zur Verfügung gestellt.
* Über FEM im Massivbau stellt {{Webarchiv | url=http://www.uni-leipzig.de/bauinformatik/ | wayback=20070828192857 | text=Dr.-Ing. Casimir Katz}} sehr informative Vorlesungsunterlagen im pdf.Format zur Verfügung.

[[Kategorie:Baustatik]]

Nichtlineare Stabstatik - Versionsgeschichte

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