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2026-03-31T17:03:09Z

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[[Datei:Simpson rule.png|mini|Newton-Cotes-Formel für ''n'' = 2]]
Eine '''Newton-Cotes-Formel''' (nach [[Isaac Newton]] und [[Roger Cotes]]) ist eine Formel für die [[numerische Integration]], also zur näherungsweisen Berechnung von [[Integralrechnung|Integralen]]. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] durch ein [[Polynom]] zu [[Polynominterpolation|interpolieren]] und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die [[Stützstelle]]n der [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] werden dabei [[Äquidistanz (Geometrie)|äquidistant]] gewählt.

== Herleitung ==

Für das zu integrierende [[Interpolationspolynom]] <math>p_n(x)</math> vom Grad <math>n</math> werden die Stützstellen
: <math>a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b</math>
äquidistant mit dem konstanten Abstand <math>h=x_{i+1} - x_i</math> so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte <math>\tfrac{a+b}{2}</math> des Integrationsintervalls <math>[a, b]</math> liegen. Somit gilt <math>x_{n - i} = a + b - x_i</math>.

Mit <math>x_0=a</math> (und somit <math>x_n=b</math>) erhält man <math>n</math> [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]] der Länge <math>h</math> und somit <math>h = \tfrac{b - a}{n}</math> und <math>x_i = a + i \cdot h</math>. Diese Formeln werden ''abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln'' genannt.

Mit <math>x_0\ne a</math> (und somit <math>x_n \ne b</math>) erhält man ''offene Newton-Cotes-Formeln:''
* Wählt man <math>x_0 = a + h</math> (und somit <math>x_n = b - h</math>), erhält man <math>n+2</math> Intervalle der Länge <math>h</math> und somit <math>h = \tfrac{b - a}{n + 2}</math> und <math>x_i = a + (1 + i) \cdot h</math>. Diese Formeln werden ''offene Newton-Cotes-Formeln'' genannt.
* Wählt man <math>x_0 = a + \tfrac{h}{2}</math> (und somit <math>x_n = b - \tfrac{h}{2}</math>), erhält man <math>n+1</math> Intervalle der Länge <math>h</math> und somit <math>h = \tfrac{b - a}{n + 1}</math> und <math>x_i = a + \left(\tfrac{1}{2} + i\right) \cdot h</math>. Diese Formeln werden ''[[Colin Maclaurin|Maclaurin]]-Formeln'' genannt.

Zur [[Numerische Integration|numerischen Integration]] von <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx</math> wird das Interpolationspolynom <math>p_n(x)</math> der Funktion <math>f(x)</math> zu den gegebenen Stützstellen herangezogen. Für dieses gilt:
: <math>p_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) l_i(x)</math>,
wobei <math>l_i</math> die [[Lagrange-Polynom#Lagrange-Basis|Lagrange-Basispolynome]] sind. Daraus folgt:
: <math>\int\limits_a^b p_n(x)\, dx = (b-a) \sum_{i=0}^n f(x_i) \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b l_i(x)\, dx</math>.

== Definition ==

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann:
: <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx \approx \int\limits_a^b p_n(x)\, dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)</math>
mit den Gewichten
: <math>w_i = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b l_{i}(x)\, dx</math>
Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt <math>w_{n-i}=w_i</math>.
: <math>l_{i}(x) = \prod_{\begin{smallmatrix}0\le j\le n\\ j\neq i\end{smallmatrix}} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}</math>

Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren diese Formeln bei ungeradem <math>n</math> Polynome bis zum Grad <math>n</math>, bei geradem <math>n</math> sogar bis zum Grad <math>n+1</math> exakt. Somit sind Newton-Cotes-Formeln mit geradem <math>n</math> (also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem <math>n</math> vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch ''Genauigkeitsgrad''.

Speziell gilt für <math>f(x)=1</math>, dass <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = \int\limits_a^b 1\, dx = b-a = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i \cdot 1 = (b - a) \sum_{i=0}^n w_i</math> und somit <math>\sum_{i=0}^n w_i = 1</math>.

Falls <math>\sum_{i=0}^n |w_i|>\sum_{i=0}^n w_i=1</math>, was bei Gewichten mit verschiedenen [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die [[Rundungsfehler]] aufschaukeln oder [[Auslöschung (numerische Mathematik)|Auslöschung]] eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Formeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes <math>n</math> das [[Interpolationspolynom]] <math>p_n(x)</math> unbrauchbar ist, sind ebenso Formeln mit großem <math>n</math> nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von summierten Formeln.

: <math>E(f) = \int\limits_a^b f(x)\, dx - \int\limits_a^b p_n(x)\, dx</math>
ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Newton-Cotes-Formel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen für <math>(p + 1)</math>-mal auf <math>[a, b]</math> [[stetig differenzierbar]] reellwertige Funktionen <math>f(x)</math> immer die Form
: <math>E(f) = K \cdot f^{(p + 1)}(\xi)</math>,
wobei <math>K</math> eine von <math>f(x)</math> unabhängige Konstante und <math>\xi \in [a, b]</math> ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man <math>E(f)</math> und somit auch das [[Integralrechnung|Integral]] exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass es unendlich viele Integrale gibt, die man nicht exakt berechnen kann. Der Fehler ist Null für alle Funktionen, deren <math>(p + 1)</math>-te Ableitung Null ist, also für alle Polynome vom Grad kleiner oder gleich <math>p</math>. Somit ist <math>p</math> der Genauigkeitsgrad. Der Wert <math>p+1</math> wird auch als ''(polynomiale) Ordnung'' der Newton-Cotes-Formel bezeichnet.

Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält man die Fehlerabschätzung:
: <math>|E(f)| \le |K| \cdot \max_{a \le \xi \le b} \left|f^{(p + 1)}(\xi)\right|</math>.

Der exakte Fehler ist immer kleiner oder gleich dieser Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.

=== Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln ===

Die angegebenen Stützstellen <math>t_i</math> gelten für das Integrationsintervall <math>[0,1]</math>: <math>t_0=0,t_i=\frac{i}{n},t_n=1</math>. Für ein allgemeines Intervall <math>[a, b]</math> sind die Stützstellen <math>x_i=a+t_i\cdot(b-a)</math>.

{| class="wikitable"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>n</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Name
! class="hintergrundfarbe6" | Stützstellen <math>t_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Gewichte <math>w_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | <math>E(f)</math>
|-
| 1 || [[Trapezregel]] Sehnentrapezregel
|| <math>0 \quad 1</math>
|| <math>\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}</math>
|| <math>- \frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi)</math>
|-
| 2 || [[Simpsonregel|Simpson-Regel]] [[Keplersche Fassregel]]
|| <math>0 \quad \frac{1}{2} \quad 1</math>
|| <math>\frac{1}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{1}{6}</math>
|| <math>- \frac{\left(\frac{b-a}{2}\right)^5}{90} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3 || 3/8-Regel Pulcherrima
|| <math>0 \quad \frac{1}{3} \quad \frac{2}{3} \quad 1</math>
|| <math>\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8}</math>
|| <math>- \frac{3\left(\frac{b-a}{3}\right)^5}{80} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 4 || [[Edward Arthur Milne|Milne]]-Regel [[George Boole|Boole]]-Regel
|| <math>0 \quad \frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4} \quad 1</math>
|| <math>\frac{7}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{12}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{7}{90}</math>
|| <math>- \frac{8\left(\frac{b-a}{4}\right)^7}{945} f^{(6)}(\xi)</math>
|-
| 5 || 6-Punkt-Regel
|| <math>0 \quad \frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5} \quad 1</math>
|| <math>\frac{19}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{19}{288}</math>
|| <math>- \frac{275\left(\frac{b-a}{5}\right)^7}{12\,096} f^{(6)}(\xi)</math>
|-
| 6 || Weddle-Regel (nach [[Thomas Weddle]], 1817–1853)<ref>{{Literatur | Autor=Thomas Weddle ([[Newcastle-upon-Tyne]]) | Titel=A new simple and general method of solving numerical equations of all orders | Verlag=Hamilton, Adams & Co. and J. Philipson | Ort=London | Jahr=1842 | Kommentar=52 S. | Online=[https://archive.org/details/newsimplegeneral00weddrich Internet Archive]}}</ref>
|| <math>0 \quad \frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6} \quad 1</math>
|| <math>\frac{41}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{272}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{41}{840}</math>
|| <math>- \frac{9\left(\frac{b-a}{6}\right)^9}{1400} f^{(8)}(\xi)</math>
|}

Die gekürzten Werte aller Gewichte bis <math>n=10</math> betragen:<ref>{{cite web | url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5BTable%5BIntegrate%5BProduct%5B(x-(j-1)%2F(m-1))%2F((i-j)%2F(m-1)),%7Bj,1,i-1%7D%5D*Product%5B(x-(j-1)%2F(m-1))%2F((i-j)%2F(m-1)),%7Bj,i%2B1,m%7D%5D,%7Bx,0,1%7D%5D+,%7Bi,1,m%7D%5D,%7Bm,2,9%7D%5D | title=WolframAlpha | publisher=wolframalpha.com | accessdate=2019-09-14}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:right"
!n
!Gewichte
|-
!1
|<math>\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \}</math>
|-
!2
|<math>\{ \tfrac{1}{6}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{6} \}</math>
|-
!3
|<math>\{ \tfrac{1}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{1}{8} \}</math>
|-
!4
|<math>\{ \tfrac{7}{90}, \tfrac{16}{45}, \tfrac{2}{15}, \tfrac{16}{45}, \tfrac{7}{90} \}</math>
|-
!5
|<math>\{ \tfrac{19}{288}, \tfrac{25}{96}, \tfrac{25}{144}, \tfrac{25}{144}, \tfrac{25}{96}, \tfrac{19}{288} \}</math>
|-
!6
|<math>\{ \tfrac{41}{840}, \tfrac{9}{35}, \tfrac{9}{280}, \tfrac{34}{105}, \tfrac{9}{280}, \tfrac{9}{35}, \tfrac{41}{840} \}</math>
|-
!7
|<math>\{ \tfrac{751}{17280}, \tfrac{3577}{17280}, \tfrac{49}{640}, \tfrac{2989}{17280}, \tfrac{2989}{17280}, \tfrac{49}{640}, \tfrac{3577}{17280}, \tfrac{751}{17280} \}</math>
|-
!8
|<math>\{ \tfrac{989}{28350}, \tfrac{2944}{14175}, -\tfrac{464}{14175}, \tfrac{5248}{14175}, -\tfrac{454}{2835}, \tfrac{5248}{14175}, -\tfrac{464}{14175}, \tfrac{2944}{14175}, \tfrac{989}{28350} \}</math>
|-
!9
|<math>\{ \tfrac{2857}{89600}, \tfrac{15741}{89600}, \tfrac{27}{2240}, \tfrac{1209}{5600}, \tfrac{2889}{44800}, \tfrac{2889}{44800}, \tfrac{1209}{5600}, \tfrac{27}{2240}, \tfrac{15741}{89600}, \tfrac{2857}{89600} \}</math>
|-
!10
|<math>\{ \tfrac{16067}{598752}, \tfrac{26575}{149688}, -\tfrac{16175}{199584}, \tfrac{5675}{12474}, -\tfrac{4825}{11088}, \tfrac{17807}{24948}, -\tfrac{4825}{11088}, \tfrac{5675}{12474}, -\tfrac{16175}{199584}, \tfrac{26575}{149688}, \tfrac{16067}{598752} \}</math>
|}
Für <math>n = 8</math> gilt <math>w_i<0</math> für <math>i = 2,4,6</math> und <math>\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=1{,}45 \dots</math> Für <math>n = 10</math> gilt <math>\sum_{i=0}^n |w_i| = 3{,}064794 \dots</math>

'''Beispiel''': <math>\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) = 1{,}098612 \dots</math>

Näherung mit Simpson-Regel (<math>n=2</math>). Es gilt <math>h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{2}=1</math> und <math>x_0 = a = 1</math>.
: <math>\int\limits_1^3 p_2(x)\, dx = 2 \cdot \left(\frac{1}{6} f(1) + \frac{4}{6} f(2) + \frac{1}{6} f(3)\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{4}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{9} = 1{,}\overline{1}</math>

'''Verfahrensfehler''': Mit <math>f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}</math> erhält man <math>E(f) = - \frac{1}{90} \cdot \left(\frac{2}{2}\right)^5 \cdot \frac{4!}{\xi^5} = - \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{\xi^5}</math> mit <math>\xi \in [1,3]</math>

'''Fehlerabschätzung''': <math>|E(f)| \le \frac{4}{15}\cdot\max_{1 \le \xi \le 3}\left|\frac{1}{\xi^5}\right| = \frac{4}{15}\cdot\frac{1}{1} = 0{,}2\overline{6}</math>

'''Exakter Fehler''': <math>\breve{a}|E(f)| = \left|\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx - \int\limits_1^3 p_2(x)\, dx\right| = \left|1{,}098612 \ldots - 1{,}\overline {1}\right| = 0{,}012498 \ldots < 0{,}2\overline{6}</math>

=== Offene Newton-Cotes-Formeln ===

Die Stützstellen <math>t_i</math> gelten für das Integrationsintervall <math>[0,1]</math>: <math>t_0=\tfrac{1}{n+2},t_i=\tfrac{i+1}{n+2},t_n=\tfrac{n+1}{n+2}</math>. Für ein allgemeines [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a, b]</math> sind die Stützstellen <math>x_i = a + t_i \cdot (b - a)</math>.

{| class="wikitable"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>n</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Name
! class="hintergrundfarbe6" | Stützstellen <math>t_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Gewichte <math>w_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | <math>E(f)</math>
|-
| 0 || [[Rechteckregel]] [[Mittelpunktsregel]] [[Tangententrapezregel]] || <math>\frac{1}{2}</math>||<math>1 \quad</math>||<math>\frac{(b-a)^3}{24} f''(\xi)</math>
|-
| 1 || || <math>\frac{1}{3} \quad \frac{2}{3}</math>
|| <math>\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}</math>
||<math>\frac{3\left(\frac{b-a}{3}\right)^3}{4} f''(\xi)</math>
|-
| 2 || || <math>\frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4}</math>
|| <math>\frac{2}{3} \quad -\frac{1}{3} \quad \frac{2}{3}</math>
||<math>\frac{14\left(\frac{b-a}{4}\right)^5}{45} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3 || || <math>\frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5}</math>
|| <math>\frac{11}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{11}{24}</math>
||<math>\frac{95\left(\frac{b-a}{5}\right)^5}{144} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 4 || || <math>\frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6}</math>
|| <math>\frac{11}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{26}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{11}{20}</math>
||<math>\frac{41\left(\frac{b-a}{6}\right)^7}{140} f^{(6)}(\xi)</math>
|-
| 5 || ||<math>\frac{1}{7} \quad \frac{2}{7} \quad \frac{3}{7} \quad \frac{4}{7} \quad \frac{5}{7} \quad \frac{6}{7}</math>
|| <math>\frac{611}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad\frac{611}{1440}</math>
||<math>\frac{5257\left(\frac{b-a}{7}\right)^7}{8640} f^{(6)}(\xi)</math>
|-
| 6 || ||<math>\frac{1}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{4}{8} \quad \frac{5}{8} \quad \frac{6}{8} \quad \frac{7}{8}</math>
|| <math>\frac{460}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{2459}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{460}{945}</math>
||<math>\frac{3956\left(\frac{b-a}{8}\right)^9}{14\,175} f^{(8)}(\xi)</math>
|}
Für <math>n = 5</math> gilt <math>\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{3252}{1440}=2{,}258333 \dots</math> Für <math>n = 6</math> gilt <math>\textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{9679}{945}=10{,}24 \dots</math>

Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für <math>n = 1</math> hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.

'''Beispiel''': <math>\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx = \ln(3)-\ln(1) = \ln(3) = 1{,}098612 \dots</math>

Näherung mit der Formel für <math>n = 2</math>. Es gilt <math>h = \frac{b - a}{n + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math> und <math>x_0 = a + h = \frac{3}{2}</math>.
:<math>\int\limits_1^3 p_2(x)\, dx = 2 \cdot \left(\frac{2}{3} f\!\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{1}{3} f\!\left(\frac{4}{2}\right) + \frac{2}{3} f\!\left(\frac{5}{2}\right)\right) = 2 \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{49}{45} = 1{,}0\overline{8}</math>.

'''Verfahrensfehler''': Mit <math>f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}</math> erhält man <math>E(f) = \frac{14}{45} \cdot \left(\frac{2}{4}\right)^5 \cdot \frac{4!}{\xi^5} = \frac{7}{30} \cdot \frac{1}{\xi^5}</math> mit <math>\xi \in [1,3]</math>.

'''Fehlerabschätzung''': <math>|E(f)| \le \frac{7}{30} \cdot \max_{1 \le \xi \le 3} \left|\frac{1}{\xi^5}\right| = \frac{7}{30} \cdot \frac{1}{1} = 0{,}2\overline{3}</math>

'''Exakter Fehler''': <math>|E(f)| = \left|\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx - \int\limits_1^3 p_2(x)\, dx\right| = \left|1{,}098612 \ldots - 1{,}0\overline{8}\right| = 0{,}009723 \ldots < 0{,}2\overline{3}</math>

=== Maclaurin-Formeln ===

Diese Formeln sind nach [[Colin Maclaurin]] benannt. Die Stützstellen <math>t_i</math> gelten für das Integrationsintervall <math>[0,1]</math>: <math>t_0=\tfrac{1}{2n+2},t_i=\tfrac{2i+1}{2n+2},t_n=\tfrac{2n+1}{2n+2}</math>. Für ein allgemeines [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a, b]</math> sind die Stützstellen <math>x_i=a+t_i\cdot(b-a)</math>.

{| class="wikitable"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>n</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Name
! class="hintergrundfarbe6" | Stützstellen <math>t_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | Gewichte <math>w_i</math>
! class="hintergrundfarbe6" | <math>E(f)</math>
|-
| 0 || [[Rechteckregel]] [[Mittelpunktsregel]] [[Tangententrapezregel]] || <math>\frac{1}{2}</math>||<math>1 \quad</math>||<math>\frac{(b-a)^{3}}{24} f''(\xi)</math>
|-
| 1 || || <math>\frac{1}{4} \quad \frac{3}{4}</math>
|| <math>\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}</math>
||<math>\frac{\left(\frac{b-a}{2}\right)^3}{12} f''(\xi)</math>
|-
| 2 || || <math>\frac{1}{6} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{5}{6}</math>
|| <math>\frac{3}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8}</math>
||<math>\frac{21\left(\frac{b-a}{3}\right)^5}{640} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3 || || <math>\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{5}{8} \quad \frac{7}{8}</math>
|| <math>\frac{13}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{13}{48}</math>
||<math>\frac{103\left(\frac{b-a}{4}\right)^5}{1440} f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 4 || || <math>\frac{1}{10} \quad \frac{3}{10} \quad \frac{5}{10} \quad \frac{7}{10} \quad \frac{9}{10}</math>
|| <math>\frac{275}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{402}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{275}{1152}</math>
||<math>\frac{5575\left(\frac{b-a}{5}\right)^7}{193\,536} f^{(6)}(\xi)</math>
|}
Für <math>n = 6</math> gilt <math>\sum_{i=0}^n |w_i|=1{,}363 \dots</math> Für <math>n = 8</math> gilt <math>\sum_{i=0}^n |w_i|=3{,}433 \dots</math>

'''Beispiel''': <math>\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx = \ln(3)-\ln(1) = \ln(3) = 1{,}098612 \dots</math>

Näherung mit der Formel für <math>n = 2</math>. Es gilt <math>h=\frac{b-a}{n+1}=\frac{2}{3}</math> und <math>x_0=a+\frac{h}{2}=\frac{4}{3}</math>.
: <math>\int\limits_1^3 p_2(x)\, dx = 2 \cdot \left(\frac{3}{8} f\!\left(\frac{4}{3}\right) + \frac{2}{8} f\!\left(\frac{6}{3}\right) + \frac{3}{8} f\!\left(\frac{8}{3}\right)\right) = 2 \cdot \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4} + \frac{2}{8} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{105}{96} = 1{,}09375</math>

'''Verfahrensfehler''': Mit <math>f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5}</math> erhält man <math>E(f) = \frac{21}{640} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \frac{4!}{\xi^5} = \frac{14}{135} \cdot \frac{1}{\xi^5}</math> mit <math>\xi \in [1,3]</math>.

'''Fehlerabschätzung''': <math>|E(f)| \le \frac{14}{135} \cdot \max_{1 \le \xi \le 3} \left|\frac{1}{\xi^5}\right| = \frac{14}{135} \cdot \frac{1}{1} = 0{,}1\overline{037}</math>

'''Exakter Fehler''': <math>|E(f)| = \left|\int\limits_1^3 \frac{1}{x}\, dx - \int\limits_1^3 p_2(x)\, dx\right| = |1{,}098612 \ldots - 1{,}09375| = 0{,}000486 \ldots < 0{,}1\overline{037}</math>

== Summierte Newton-Cotes-Formeln ==

Ab Grad 8 treten bei vielen Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf, was die Gefahr der [[Auslöschung (numerische Mathematik)|Auslöschung]] mit sich bringt. Außerdem kann man im Allgemeinen keine Konvergenz erwarten, da die [[Polynominterpolation]] schlecht konditioniert ist. Bei größeren Integrationsbereichen <math>[a, b]</math> unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an.

== Literatur ==
* Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 6. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311–316.
* Roland W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: ''Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1.'' 10. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, S. 164–169.
* Michael R. Schäferkotter, Prem K. Kythe: ''Handbook of Computational Methods for Integration.'' Chapman & Hall, Boca Raton 2005, ISBN 1-58488-428-2, S. 54–62, 503–505.
* Günter Bärwolf: ''Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker.'' Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1689-6, S. 128.
* [[Gisela Engeln-Müllges]], Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: ''Numerik-Algorithmen : Verfahren, Beispiele, Anwendungen.'' Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13472-2.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Isaac Newton als Namensgeber]]

Newton-Cotes-Formeln - Versionsgeschichte

imported>BrunoBoehmler: /* Literatur */ ISBN verschoben, Kleinkram