imported>MArcus Sinus: /* Literatur */ + Link zu Journal of Symbolic Logic

2024-11-14T15:16:03Z

Literatur: + Link zu Journal of Symbolic Logic

Neue Seite

'''New Foundations''' (NF) ist der Name einer [[Axiomatische Mengenlehre|axiomatischen Mengenlehre]] von [[Willard Van Orman Quine]], benannt nach dessen Aufsatz ''New Foundations for Mathematical Logic'' (''Neue Grundlagen der mathematischen Logik'') von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur [[Typentheorie]] und benutzt zur Mengenbildung [[Stratifikation (Logik)|stratifizierte]] oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem [[Extensionalitätsaxiom]] ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] in vielen Punkten: Das [[Fundierungsaxiom]] gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die Element von sich selbst sind, etwa die Allmenge; das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom. Auch das [[Auswahlaxiom]] kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden – [[Ernst Specker ]] bewies 1949 dessen Unverträglichkeit mit den übrigen Axiomen von NF. Außerdem kann man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen nicht beweisen. Der NF-Mengenbegriff weicht also stark vom eingebürgerten Mengenbegriff ab, so dass man NF eher als eine Theorie real existenter [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] auffassen kann.

==Mathematical Logic==
In seinem Buch ''Mathematical Logic'' (''Mathematische Logik'') erweiterte Quine 1940 NF zu ML. Er fügte den Axiomen von NF ein Klassenexistenzaxiom hinzu, ein Schema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht, das Mengen zu Klassen zusammenfasst. Allerdings gestattete er im Mengenbildungsaxiom der 1. Auflage seines Buches die Benutzung von Klassenvariablen als [[Parameter (Mathematik)|Parameter]], die nicht [[Quantor|quantifiziert]] werden durften. 1942 zeigte [[John Barkley Rosser]], dass sich in diesem Axiomensystem das [[Burali-Forti-Paradoxon]] herleiten lässt. [[Hao Wang (Mathematiker)|Hao Wang]] versperrte dieser Antinomie den von Rosser aufgezeigten Weg nach ML, in dem er in seinem Aufsatz von 1950 das Mengenexistenzschema aus NF auch in ML benutzte. Quine setzte es dann in späteren revidierten Auflagen seiner ''Mathematical Logic'' ebenfalls ein. Daher ist das Mengenexistenzaxiom wie in NF endlich axiomatisierbar, während es für das Klassenexistenzaxiom noch eine offene Frage ist.

== Literatur ==
* Hailperin, Theodore: ''A new set of axioms for logic'', in: [[Journal of Symbolic Logic]] Bd. 9 (1944), S. 1–19.
* Quine, Willard Van Orman: ''New Foundations for Mathematical Logic'', in: Am. Math. Monthly 44 (1937), S. 70–80.
* Quine, Willard Van Orman: ''From a logical Point of view''. 9 logico-philosophical essays, Harvard U.P., Cambridge, Mass. 1953, S. 80–101.
* Quine, Willard Van Orman: ''Mathematical Logic''. Harvard University Press, 4. Auflage 1981, 1. Auflage 1940
* Rosser, John Barkley: ''Burali-Forti paradox'', in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 7 (1942), S. 1–17
* Specker, Ernst Paul: ''The axiom of choice in Quine's New Foundations for Mathematical Logic'', in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 14 (1949), S. 145–158
* Wang, Hao: ''A formal system for logic'', in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 15 (1950), S. 25–32

== Weblinks ==
*{{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/|Quine's New Foundations|Thomas Forster}}
* Randall Holmes: [http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html New Foundations Home Page.]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

New Foundations - Versionsgeschichte

imported>MArcus Sinus: /* Literatur */ + Link zu Journal of Symbolic Logic