imported>Daniel5Ko: Die 2 letzten Textänderungen von 176.5.147.67 wurden verworfen und die Version 242020064 von Sokonbud wiederhergestellt. In den Elementen des Beispiel-R, um das es geht, sind unten rechts 0en.

2024-10-13T22:10:19Z

Die 2 letzten Textänderungen von 176.5.147.67 wurden verworfen und die Version 242020064 von Sokonbud wiederhergestellt. In den Elementen des Beispiel-R, um das es geht, sind unten rechts 0en.

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Ein '''neutrales Element''' (auch '''Einheitselement''') ist ein spezielles Element einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]]. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem neutralen Element auf sich selbst abgebildet wird.

== Definition ==
Sei <math>(S,*)</math> ein [[Magma (Mathematik)|Magma]] (eine Menge mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]]). Dann heißt ein Element <math>e \in S</math>
* '''linksneutral''', falls <math>e*a = a</math> für alle <math>a \in S</math> ist,
* '''rechtsneutral''', falls <math>a*e = a</math> für alle <math>a \in S</math> ist,
* '''neutral''', falls <math>e</math> linksneutral und rechtsneutral ist.

Ist die Verknüpfung [[kommutativ]], dann stimmen die drei Begriffe überein. Falls sie aber nicht kommutativ ist, dann kann es ein rechtsneutrales Element geben, das nicht linksneutral ist, oder ein linksneutrales Element, das nicht rechtsneutral ist.<ref>[[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 2.</ref>

Eine [[Halbgruppe]] <math>S</math> mit neutralem Element heißt [[Monoid]]. Hat zusätzlich jedes Element in <math>S</math> ein [[inverses Element]] in <math>S</math>, so ist <math>S</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]].

Häufig wird für die Verknüpfung <math>*</math> das Symbol <math>\cdot</math> benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Ein neutrales Element heißt dann ''Einselement'' und wird durch <math>1</math> symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen [[Multiplikation]] üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt <math>\cdot</math> weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung <math>*</math> das Symbol <math>+</math> benutzt wird. Ein neutrales Element heißt dann ''Nullelement'' und wird durch <math>0</math> symbolisiert.

== Beispiele ==
* In den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] ist <math>0</math> (''[[Null]]'') das neutrale Element der [[Addition]] und <math>1</math> (''[[Eins]]'') das neutrale Element der [[Multiplikation]], denn <math>0+x = x+0 = x</math> und <math>1\cdot x = x\cdot1 = x</math> für jede reelle Zahl <math>x</math>.
* Im Ring der <math>n \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ist die [[Nullmatrix]] das neutrale Element der [[Matrizenaddition]] und die [[Einheitsmatrix]] das neutrale Element der [[Matrizenmultiplikation]].
* In einem [[Funktionenraum]] ist die [[Nullfunktion]] das neutrale Element der Addition und die [[Einsfunktion]] das neutrale Element der Multiplikation.
* Bei [[Vektor]]en ist der [[Nullvektor]] das neutrale Element der [[Vektoraddition]].
* Bei [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] ist die [[Identische Abbildung|Identität]] das neutrale Element der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] (Hintereinanderausführung).
* In einer [[Formale Sprache|formalen Sprache]] ist das [[Leeres Wort|leere Wort]] das neutrale Element der Konkatenation von Wörtern.

== Eigenschaften ==
* Wenn eine Halbgruppe <math>S</math> sowohl rechtsneutrale als auch linksneutrale Elemente hat, dann stimmen alle diese Elemente überein und <math>S</math> hat genau ein neutrales Element. Denn ist <math>a*e = a</math> und <math>f*a = a</math> für alle <math>a \in S</math>, dann ist <math>f = f*e = e</math>.
* Das neutrale Element eines Monoids ist also eindeutig bestimmt.
* Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales Element, dann kann sie mehrere linksneutrale haben. Einfachstes Beispiel ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge mit der Verknüpfung <math>a*b := b</math>. Darin ist jedes Element linksneutral, aber keins rechtsneutral. Analog gibt es auch Halbgruppen mit rechtsneutralen, aber ohne linksneutrale Elemente.
* Dies kann auch bei der Multiplikation in Ringen auftreten. Ein Beispiel ist der Teilring
::<math>R = \left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right| a,b \in K \right\}</math>
:der 2-mal-2-Matrizen über einem beliebigen Körper <math>K</math>. Man rechnet leicht nach, dass <math>R</math> ein nichtkommutativer Ring ist. Linksneutral bzgl. der Multiplikation sind genau die Elemente
::<math>\begin{pmatrix}1 & x \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>
:mit <math>x \in K</math>. Nach dem oben gesagten kann die Multiplikation in <math>R</math> dann keine rechtsneutralen Elemente haben.

== Siehe auch ==
* [[Absorbierendes Element]]
* [[Einheit (Mathematik)]]
* [[Identische Abbildung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

[[fa:عمل دوتایی#عضو خنثی]]

Neutrales Element - Versionsgeschichte

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