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2023-07-04T13:10:57Z

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Der '''Neunerrest''' einer [[Ganze Zahl|ganzen Zahl]] <math>n \in \Z</math> ist der Rest <math>\in \N_0</math>, den sie bei [[Division mit Rest|Division]] durch 9 lässt, also eine der neun [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.
:<math>\text{Neunerrest von } n = n \bmod 9 \quad \in \N_0</math>
Dabei ist <math>\operatorname{mod}</math> die [[Modulo-Funktion]], die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von <math>n : 9</math>.

Dass diesem Divisionsrest ein eigener Name zugesprochen wurde, rührt von seiner Bedeutung für die sogenannte [[Neunerprobe]] her.

== Berechnung ==

Um den Neunerrest einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n \in \N_0</math> zu ermitteln, berechnet man zuerst die [[Dezimalsystem|dezimale]] [[Quersumme]] <math>q(n)</math> dieser Zahl, anschließend die Quersumme dieser Quersumme, also <math>q(q(n))</math>, und so weiter, bis die [[Iteration|iterierte]] Quersumme <math>q(\dotso q(q(n)) \dotso)</math> einstellig ist. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt, denn der Neunerrest von 9 ist wegen <math>9=1\cdot 9+0</math> („9 dividiert durch 9 ist gleich 1, Rest 0“) nicht gleich 9, sondern gleich 0.

Dieser Berechnungsweg des Neunerrests lässt sich auch auf [[Negative Zahl|negative Zahlen]] ausdehnen, indem man für die Quersumme die Beziehung
:<math>q(-n) = -q(n)</math>
heranzieht.
Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste in positive Reste überführen, indem man (gegebenenfalls auch mehrmals) 9 addiert.
Somit kann eine Verallgemeinerung der Neunerrest-Berechnung auf die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> erreicht werden.

=== Beispiele ===
* ''n'' = '''5387''': ''q''(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23; ''q''(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.
* ''n'' = '''5643''': ''q''(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18; ''q''(18) = 1 + 8 = 9. Der Neunerrest von 5643 ist 0.
* ''n'' = '''–418''': ''q''(–418) = –''q''(418) = –(4 + 1 + 8) = –13; ''q''(–13) = –''q''(13) = –(1 + 3) = –4; negatives Ergebnis, also 9 hinzuaddieren: –4 + 9 = 5. Der Neunerrest von –418 ist 5.
* ''n'' = '''+418''': ''q''(418) = 4 + 1 + 8 = 13; ''q''(13) = 1 + 3 = 4. Der Neunerrest von +418 ist hingegen 4.

== Eigenschaften ==

=== Satz ===
Es gilt, dass stets eine (ohne Rest) durch 9 teilbare Zahl entsteht, wenn man von einer natürlichen Zahl <math>n</math> deren Quersumme <math>q(n)</math> subtrahiert:

:<math>\forall n \in \N_0 \colon \quad \frac{n-q(n)}{9} \in \N_0</math>

=== Beispiel 1 ===
:<math>\frac{23456789-q(23456789)}{9} = \frac{23456789-(2+3+4+5+6+7+8+9)}{9} = \frac{23456789 - 44}{9} = \frac{23456745}{9} = 2606305</math>

=== Herleitung ===
Mit der dezimalen [[Zifferndarstellung]]
:<math>n=\sum _{k=0}^{m-1} 10^k\cdot z_k=z_0+10\cdot z_1+100\cdot z_2+\dotsb +10^{m-1}\cdot z_{m-1}</math>
und der Quersumme

:<math>q(n)=\sum_{k=0}^{m-1} z_k=z_0+z_1+z_2+\dotsb +z_{m-1}</math>

einer m-stelligen natürlichen Zahl <math>n</math> ergibt sich
:<math>\begin{align}
n - q(n) &= \sum _{k=0}^{m-1} 10^k \cdot z_k - \sum_{k=0}^{m-1} z_k\\
&= \sum _{k=0}^{m-1} \left( 10^k \cdot z_k - z_k \right)\\
&= \sum _{k=0}^{m-1} \left( 10^k - 1 \right) \cdot z_k\\
&= 0 \cdot z_0 + 9 \cdot z_1 + 99 \cdot z_2 + 999 \cdot z_3 + \dotsb + (10^{m-1} - 1) \cdot z_{m-1}.
\end{align}</math>
Hieraus folgt nach Division durch 9
:<math>\frac{n-q(n)}{9}=\sum _{k=1}^{m-1} R_k\cdot z_k=1\cdot z_1+11\cdot z_2+111\cdot z_3+\dotsb+R_{m-1}\cdot z_{m-1}.</math>

Dabei ist
:<math>R_k := \frac{10^k - 1}{9} = \frac{\overbrace{99 \dotso 9}^{k \text{ Ziffern}}}{9} = \overbrace{11 \dotso 1}^{k \text{ Ziffern}}</math>, mit <math>k \in \N</math>,
die <math>k</math>-te [[Repunit]] (im [[Dezimalsystem]]), ihre <math>k</math> Ziffern sind alle gleich 1.

=== Beispiel 2 ===
Bei <math>n=5432</math> ist <math>z_0=2</math>, <math>z_1=3</math>, <math>z_2=4</math> und <math>z_3=5</math>. 5 ist also tausendmal, 4 hundertmal, 3 zehnmal und 2 einmal enthalten. Zieht man die Quersumme ab, bleiben <math>999\cdot5</math>, <math>99\cdot4</math>, <math>9\cdot3</math> und <math>0\cdot2</math> übrig, was offensichtlich sowohl einzeln als auch in Summe ohne Rest durch 9 teilbar ist:

:<math>5432-5-4-3-2=\sum _{k=0}^3 \left(10^k-1\right)\cdot z_k=0\cdot 2+9 \cdot 3+99 \cdot 4+999 \cdot 5=9\cdot(1\cdot 3+11\cdot 4+111\cdot 5)=9\cdot 602</math>

== Andere Stellenwertsysteme ==

Das oben beschriebene Verfahren zur Ermittlung des Neunerrests ist nur im [[Dezimalsystem]] gültig. Für andere [[Stellenwertsystem]]e gibt es aber eine analoge Regel: An die Stelle von 9 tritt dort die größte [[Ziffer]] des Systems, also die um 1 verminderte Basis des Stellenwertsystems. Im [[Hexadezimalsystem]] wird daher mit F<sub>16</sub> (= dezimal 15) gerechnet, im [[Oktalsystem]] mit 7<sub>8</sub>. Man spricht dann vom hexadezimalen „'''F-Rest'''“ oder '''15er-Rest''' bzw. vom oktalen '''7er-Rest'''.

=== Beispiele im Hexadezimalsystem ===
* ''n'' = '''AD37E9''': ''q''(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38; ''q''(38) = 3 + 8 = B. Der hexadezimale „F-Rest“ (auch 15er-Rest genannt) von AD37E9 ist gleich B.
* ''n'' = '''210F84''': ''q''(210F84) = 2 + 1 + 0 + F + 8 + 4 = 1E; ''q''(1E) = 1 + E = F; aus F wird 0. Der hexadezimale „F-Rest“ von 210F84 ist gleich 0.

=== Beispiele im Oktalsystem ===
* ''n'' = '''17365''': ''q''(17365) = 1 + 7 + 3 + 6 + 5 = 26; ''q''(26) = 2 + 6 = 10; ''q''(10) = 1 + 0 = 1. Der oktale 7er-Rest von 17365 ist gleich 1.
* ''n'' = '''52016734''': ''q''(52016734) = 5 + 2 + 0 + 1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 34; ''q''(34) = 3 + 4 = 7; aus 7 wird 0. Der oktale 7er-Rest von 52016734 ist gleich 0.

== Siehe auch ==
*[[Neuner- und Elferprobe]]
*[[Quersumme]]
*[[Division mit Rest]]
*[[Liste von Operatoren für den Rest einer Division]]
*[[Teilbarkeit]]
*[[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]]

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Division (Mathematik)]]

Neunerrest - Versionsgeschichte

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