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2023-11-06T07:49:17Z

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Das '''Neunerlemma''', wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch '''3×3-Lemma''' genannt, ist eine [[Mathematik|mathematische]] Aussage über [[Kommutatives Diagramm|kommutierende Diagramme]] und [[exakte Folge]]n, die sowohl für jede [[abelsche Kategorie]] als auch für die Kategorie der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] gültig ist.

== Aussage ==
Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm

[[Bild:Nine lemma.png]]

kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt.
Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.<ref>[[Saunders Mac Lane]]: ''Homology'', Springer [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] Band 114 (1967), Kapitel II, Lemma 5.1 (The 3x3-Lemma)</ref>

== Beweis ==
Der Beweis erfolgt durch [[Diagrammjagd]], zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft.
Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit <math>h</math>, alle vertikalen mit <math>v</math> bezeichnet.
Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils <math>e</math>.
Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken – erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammenhänge einleuchtend.

Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.
* Ist <math>a_1\in A_1</math> mit <math>h(a_1)=e</math>, so <math>h(v(a_1))=v(h(a_1))=v(e)=e</math>. Hieraus folgt mit der [[Injektivität]] von <math>h\colon A_2\to B_2</math> auch <math>v(a_1)=e</math> und mit der von <math>v\colon A_1\to A_2</math> schließlich <math>a_1=e</math>.
* Ist <math>a_1\in A_1</math>, so ist <math>v(h(h(a_1))) = h(h(v(a_1))) = e</math>, also <math>h(h(a_1))=e</math>.
* Ist <math>b_1\in B_1</math> mit <math>h(b_1)=e</math>, so <math>h(v(b_1))=v(h(b_1))=e</math>, also <math>v(b_1)=h(a_2)</math> für ein <math>a_2\in A_2</math>. Aus <math>h(v(a_2))=v(h(a_2))=v(v(b_1))=e</math> folgt auch <math>v(a_2)=e</math>, also <math>a_2=v(a_1)</math> für ein <math>a_1 \in A_1</math>. Dann ist <math>v(h(a_1))=h(v(a_1))=h(a_2)=v(b_1)</math>, woraus bereits <math>b_1=h(a_1)</math> folgt.
* Ist <math>c_1\in C_1</math>, so gibt es ein <math>b_2\in B_2</math> mit <math>h(b_2)=v(c_1)</math>. Wegen <math>h(v(b_2))=v(h(b_2))=v(v(c_1))=e</math> gibt es ein <math>a_3\in A_3</math> mit <math>h(a_3)=v(b_2)</math>. Weiter gibt es ein <math>a_2\in A_2</math> mit <math>v(a_2)=a_3</math>, also <math>v(h(a_2))=h(v(a_2))=h(a_3)=v(b_2)</math>. Somit unterscheiden sich <math>h(a_2)</math> und <math>b_2</math> um <math>v(b_1)</math> für ein geeignetes <math>b_1\in B_1</math>, d. h. es gilt <math>b_2 = v(b_1)\cdot h(a_2)</math>. Dann ist <math>v(c_1) = h(b_2) = h(v(b_1)\cdot h(a_2))=h(v(b_1))\cdot h(h(a_2)) = h(v(b_1)) = v(h(b_1))</math> und schließlich auch <math>c_1 = h(b_1)</math>.
Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.

Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.
* Ist <math>c_3\in C_3</math>, so <math>c_3=v(c_2)</math> für ein <math>c_2\in C_2</math> und dann <math>c_2=h(b_2)</math> für ein <math>b_2\in B_2</math>, jeweils per [[Surjektivität]] von <math>v\colon C_2\to C_3</math> bzw. <math>h\colon B_2\to C_2</math>. Dann ist <math>h(v(b_2))=v(h(b_2))=c_3</math>.
* Ist <math>a_3\in A_3</math>, so <math>a_3=v(a_2)</math> für ein <math>a_2\in A_2</math>. Dann <math>h(h(a_3))=h(h(v(a_2)))=v(h(h(a_2)))=v(e)=e</math>.
* Ist <math>b_3\in B_3</math> mit <math>h(b_3)=e</math> und wählen wir ein <math>b_2\in B_2</math> mit <math>v(b_2)=b_3</math>, so <math>v(h(b_2))=h(v(b_2))=h(b_3)=e</math>, also <math>h(b_2)=v(c_1)</math> für ein <math>c_1\in C_1</math>. Weiter <math>c_1=h(b_1)</math> für ein <math>b_1\in B_1</math>. Dann ist <math>h(v(b_1))=v(h(b_1))=v(c_1)=h(b_2)</math>, also <math>b_2=v(b_1)\cdot h(a_2)</math> für ein <math>a_2\in A_2</math>. Schließlich ist <math>h(v(a_2))=v(h(a_2)) = v(v(b_1))\cdot v(h(a_2)) = v(v(b_1)\cdot h(a_2)) = v(b_2) = b_3</math>.
* Ist <math>a_3\in A_3</math> mit <math>h(a_3)=e</math> und wählen wir <math>a_2\in A_2</math> mit <math>v(a_2)=a_3</math>, so <math>v(h(a_2))=h(v(a_2))=h(a_3)=e</math>, also <math>h(a_2)=v(b_1)</math> für ein <math>b_1\in B_1</math>. Es ist <math>v(h(b_1))=h(v(b_1))=h(h(a_2))=e</math>, daher bereits <math>h(b_1)=e</math>. Folglich <math>b_1=h(a_1)</math> für ein <math>a_1\in A_1</math>. Aus <math>h(v(a_1)) = v(h(a_1))=v(b_1)=h(a_2)</math> folgt bereits <math>a_2=v(a_1)</math> und somit <math>a_3=v(a_2)=v(v(a_1))=e</math>.
Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.

Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für [[abelsche Gruppe]]n oder auch für [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]].
Durch den [[Einbettungssatz von Mitchell]] ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.

== Siehe auch ==
* [[Fünferlemma]]
* [[Schlangenlemma]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Neunerlemma - Versionsgeschichte

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