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2026-02-18T21:41:53Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die geometrische Figur Neuneck. Für andere Bedeutungen des Wortes siehe [[Neuneck (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:nonagon annotated.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Regelmäßiges Neuneck]]

Ein '''Neuneck''' oder '''Nonagon''' (seltener: '''Enneagon'''; von {{grcS|ἐννέα|ennéa|de=neun}} und {{lang|grc|γωνία|gōnía|de=Winkel, Ecke}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://www.zeno.org/Pape-1880/A/%E1%BC%90%CE%BD%CE%BD%CE%AD%CE%B1 |Abruf=2024-07-02 }}</ref> ist eine [[geometrische Figur]]. Es gehört zur Gruppe der '''Vielecke''' ([[Polygon]]e). Es ist definiert durch [[neun]] [[Punkt (Geometrie)|Punkte]]. Ein Polygon heißt ''regelmäßig'', wenn es [[Polygon#Weitere Typen|konvex]] ist, alle Seiten gleich lang sind und seine Eckpunkte auf einem gemeinsamen [[Umkreis]] liegen. Dieser Artikel beschäftigt sich im Weiteren ausschließlich mit regelmäßigen Neunecken (siehe Bild) und regelmäßigen ''überschlagenen'' Neunecken.

== Mathematische Zusammenhänge ==
=== Formel für Winkelberechnungen ===
Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Neuneck miteinander einschließen, beträgt nach einer allgemeinen Formel für [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygone]], in der für die Variable n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall: n = 9):
: <math> \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{7}{9} \cdot 180^\circ = 140^\circ</math>

Der spitze Winkel eines der neun Teildreiecke beträgt 360°/ 9 = 40°. Die Summe der Winkel beträgt 140° · 9 = 1260°.

=== Formel für die Fläche A ===
Ein Neuneck besitzt einen eindeutig bestimmbaren [[Flächeninhalt]], welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche des regelmäßigen Neunecks beträgt das Neunfache der Fläche eines jener Dreiecke, die von seinem Mittelpunkt und je zwei benachbarten Eckpunkten aufgespannt werden.

: <math> A = \frac{9}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}</math>

oder mit dem Umkreisradius:

: <math> A = \frac{9}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin 40^\circ </math>

=== Formel für die Seitenlänge a ===

:<math>a = 2 \cdot r_u \cdot \sin{20^\circ}</math>
:<math>a \approx r_u \cdot 0{,}684\,040\,286\,651\,337\,466\,088\,199\,229\,364\,52</math>

=== Diagonalen ===
Es gibt drei Typen von Diagonalen, die zwei, drei bzw. vier Seiten einschließen. Ihre Längen betragen:
: <math>d_2=2r_u\sin 40^\circ</math>
: <math>d_3=2r_u\sin 60^\circ</math>
: <math>d_4=2r_u\sin 80^\circ</math>
Die Differenz <math>d_4-d_2</math> zwischen den Längen der längsten und der kürzesten Diagonalen ist gleich der Seitenlänge <math>s</math>.
{{Absatz}}

== Näherungskonstruktionen ==
Nur mit Zirkel und Lineal (Euklidische Werkzeuge) kann ein regelmäßiges Neuneck [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|nicht konstruiert]] werden.<ref>[[Emil Artin]]: ''Galoissche Theorie.'' Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.</ref> Es gibt jedoch einige für die Praxis ausreichend genaue, mit euklidischen Werkzeugen mögliche Näherungskonstruktionen.

=== Dürer-Konstruktion ===
[[Datei:Nonagon Duerer.svg|rechts|miniatur|hochkant=1.2|Näherungskonstruktion für regelmäßiges Neuneck nach Dürer]]

Eine elegante, aber auch ungenaue Näherungskonstruktion hat bereits [[Albrecht Dürer]] (1471–1528) verwendet:

# Auf dem Umkreis des Neunecks mit Mittelpunkt M und Radius r markiert man den Eckpunkt A.
# Dann schlägt man einen Kreis mit demselben Radius r um den gegenüberliegenden Kreispunkt N und erhält die beiden Eckpunkte D und G. (Anmerkung: Diese beiden Eckpunkte sind exakt, da die Diagonalen des Neunecks zwischen A, D und G ein [[gleichseitiges Dreieck]] ergeben.)
# Nun schlägt man wiederum mit dem Radius r zwei Kreise um die Punkte D und G.
# Als Nächstes wird die Strecke MN in drei Teile geteilt. Durch den Teilungspunkt, der näher beim Mittelpunkt des Neunecks liegt, wird ein Lot auf die Gerade MN gezeichnet.
# Die Schnittpunkte dieses Lotes mit den Kreislinien um D und G ergeben die Punkte P und Q.
# Schließlich verlängert man die Geraden MP und MQ, bis sie den Umkreis schneiden. Diese Schnittpunkte sind eine gute Näherung für die Eckpunkte E und F. Die Strecke EF ist eine gute Näherung für die Seitenlänge des Neunecks.
# Die Eckpunkte B, C, H und I erhält man durch Abschlagen der so gewonnenen Seitenlänge auf der Kreislinie.

'''Berechnung'''

Stellt man sich für die Dürer-Konstruktion ein Koordinatensystem mit M als Nullpunkt vor, so ergeben sich zunächst folgende Koordinaten:
{| class="wikitable"
| <math>M = (0 , 0)</math>
| <math>A = (0 , -r)</math>
| <math>N = (0 , r )</math>
| <math>G = (-r \tfrac{\sqrt 3}{2} , \tfrac{r}{2})</math>
| <math>D = (+r \tfrac{\sqrt 3}{2} , \tfrac{r}{2})</math>
|}
Gesucht wird jetzt Punkt Q. Der Kreis um D durch M und N wird durch die Gleichung
:<math>\left(x - r \cdot \tfrac{1}{2} \sqrt{3}\right)^2 + \left(y - r \cdot \tfrac{1}{2} \right)^2 = r^2</math>
beschrieben. Die Koordinaten von Schnittpunkt Q mit der Geraden <math>y = r/3</math> erfüllt also beide Gleichungen. Durch Einsetzen der Geraden- in die Kreisgleichung erhält man:
:<math>\left(x - r \cdot \tfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2 + \left(r \cdot \tfrac{1}{3} - r \cdot \tfrac{1}{2} \right)^2 = r^2</math>    oder    <math> \left(\tfrac{x}{r} - \tfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} \right)^2 = 1</math>
Die Lösungen dieser Gleichung ergibt die X-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden, von denen die mit <math>x < 0</math> zum Punkt Q gehört (der andere liegt außerhalb der Darstellung).
:<math>\left(x - r \cdot \frac{\sqrt 3}{2}\right)^2 + \frac{r^2}{36} = r^2</math>    b.z.w.    <math>\left(x - r \cdot \frac{\sqrt 3}{2}\right)^2 = r^2 \cdot \frac{35}{36}</math>
Diese hat die Lösungen
:<math>\left| x - r \cdot \frac{\sqrt 3}{2}\right| = \frac{\sqrt{35}}{6} </math>
Mit <math>x < 0</math> also
:<math> x = r \cdot \left(\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{\sqrt{35}}{6}\right)</math>
Damit gilt für Punkt Q
:<math>Q = \left( r \cdot \left(\frac{\sqrt 3}{2} - \frac{\sqrt{35}}{6}\right) , \frac{r}{3} \right)</math>

Der Mittelpunktswinkel <math>\varphi = FME</math> ergibt sich damit zu
:<math>\varphi = 2 \cdot \arctan \left( \frac{\sqrt{35}- 3 \cdot \sqrt 3}{2}\right)</math>
:<math>\varphi \approx 39{,}594\,068\,226\,860\,461\,444\,438\,527\,840\,699^\circ</math>

Hieraus ergibt sich eine um ca. 0,974 % kürzere Strecke als der wahre Wert der Seitenlänge.
Bei einem Radius von 150 mm ist die Seite 1 mm zu kurz.

=== Zweite Konstruktion ===
[[Datei:neuneck naeherungskonstruktion.jpg|miniatur|Näherungskonstruktion für ein regelmäßiges Neuneck (Zweite Konstruktion)]]
Bei der einfachsten Näherungskonstruktion wird ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit den [[Kathete]]n 6 und 5 verwendet.
:<math> \arctan\frac{5}{6} \approx 39{,}80557 ^\circ</math>
Mit diesem Dreieck erhält man einen Winkel von ca. 39,80557°. Der relative Fehler F ist:
:<math>f = \frac{\sin\left(\tfrac{1}{2} \cdot \arctan\left(\tfrac{5}{6}\right)\right)}{\sin(20^\circ)} - 1</math>
:<math>f = -0{,}004\,663\,115\,912\,245\,544\,144\,182\,963\,833\,76</math>
Bei einem Umkreisradius von ca. 313,5 mm ist die Seite 1 mm zu kurz.

=== Dritte Konstruktion ===
[[Datei:Konstruktion-Neuneck.svg|rechts|miniatur|hochkant=1.8|Näherungskonstruktion für ein Neuneck (Dritte Konstruktion)]]
Eine wesentlich praktikablere Konstruktion wird wie folgt durchgeführt:

# Zeichne um einen Punkt '''M''' den Umkreis des Neunecks ('''k1''').
# Zeichne einen Durchmesser '''{{Overline|AN}}''' und verlängere die Strecke auf das Dreifache.
# Trage auf dieser Geraden vier weitere Radien ab. Von Punkt '''A''' also insgesamt 6 Radien bis Punkt '''S'''.
# Zeichne über '''{{Overline|AS}}''' einen Thaleskreis ('''k2''')
# Trage mit einem Bogen ('''k3''') um Punkt '''A''' einen Abstand von 5 Radien am Thaleskreis ab (Punkt '''T''').
# Trage mit einem Bogen ('''k4''') um Punkt '''S''' den Abstand '''{{Overline|TS}}''' auf der Geraden ab (Punkt '''U''').
# Die '''{{Overline|NU}} = s''' ist eine gute Näherung für die Seite des Neunecks.

Die Strecke '''s''' hat eine Länge von
:<math>r \cdot \left(4 -\sqrt{11} \right) \approx r \cdot 0{,}68337521 </math>
Bei dieser Konstruktion beträgt der relative Fehler also
:<math>\frac{0{,}68337521 - 0{,}68404029} {0{,}68404029} \approx -0{,}000972 = -0{,}097</math>%
Das entspricht bei einem Radius von 150,3 cm einer Abweichung von −1 mm. Die Seite ist also etwas zu kurz.

=== Konstruktion des Zentriwinkels 40° ===
{{Hauptartikel|Dreiteilung des Winkels}}
[[Datei:01 Neuneck-Methode Alberts.svg|mini|hochkant=2|Neuneck, Konstruktion des Zentriwinkels <math>\beta</math> nahezu 40°]]
Mit der folgenden Näherung – eine [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] – wird eine außergewöhnliche Genauigkeit des [[Zentriwinkel]]s 40° erreicht. Die Originalversion zur Dreiteilung der Winkel größer 0° bis 90° stammt von Chris Alberts aus dem Jahr 2011.<ref>{{Internetquelle |autor=Chris Alberts |url=https://archief.vakbladeuclides.nl/bestanden/087_2011-12_03.pdf#page=4&zoom=auto,-278,4 |hrsg= EUKLIDES, vakblad voor de wiskundeleraar [Fachzeitschrift für Mathematiklehrer] |titel=Een andere kijk op het trisectieprobleem |datum=2011-12 |abruf=2023-10-14}}</ref> Rouben Rostamian ([[University of Maryland, Baltimore County]]) hat diese Konstruktion umformuliert und neu geordnet. Die Unterschiede zum Original sind, so sagt er, „nur kosmetisch“.<ref name="Rostamian">{{Internetquelle |autor=Rouben Rostamian |url=https://userpages.umbc.edu/~rostamia/Geometry/trisect-alberts.html |titel=An angle trisection |hrsg=University of Maryland, Baltimore County |datum=2011-03-23 |abruf=2023-10-14}}</ref>

==== Konstruktion ====
Die Beschreibung ist für das Neuneck angepasst.
# Ziehe den Umkreises <math>c</math> mit frei wählbarem Radius <math>|\overline{OB}|</math> um den Mittelpunkt <math>O</math>, wobei <math>B</math> der erste Eckpunkt des werdenden Neunecks ist.
# Konstruiere den Ausgangswinkels mit Winkelweite <math>60^\circ</math> mittels eines kleinen Kreisbogens um <math>B</math> mit Radius <math>|\overline{OB}|</math> in <math>A</math>.
# Ziehe den Kreis <math>c'</math> um <math>O</math> mit Radius <math>\tfrac{1}{3}|\overline{OB}|</math>; die Schnittpunkte sind <math>A'</math> und <math>B'</math> auf den Winkelschenkeln.
# Verlängere den Radius <math>|\overline{OB}|</math> ab <math>O</math> bis zum Schnittpunkt <math>D</math> auf Kreis <math>c'</math>.
# Ziehe den Kreis <math>c''</math> mit Radius gleich dem vom Kreis <math>c'</math>.
# Halbiere den Radius <math>|\overline{OB'}|</math> in <math>E</math>.
# Zeichne eine Parallele zu <math>|\overline{OA}|</math> ab <math>E</math>, bis sie den Kreis <math>c'</math> in <math>R</math> schneidet; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>P</math> auf Kreis <math>c''</math>.
# Halbiere die Strecke <math>\overline{PR}</math> in <math>M</math> und ziehe eine Linie ab <math>B'</math> durch <math>M</math> bis zum Kreis <math>c'</math>; Schnittpunkt ist <math>N</math>.
# Zeichne eine Parallele zum Radius <math>|\overline{OA}|</math> ab <math>B'</math>; sie wird begrenzt in <math>F</math>, wegen <math>\overline{NF}=\overline{NB'}</math>.
# Verlängere die Strecke <math>\overline{NF}</math> bis auf den Kreis <math>c</math>, Schnittpunkt ist <math>G</math>.
# Ziehe ab <math>G</math> eine Linie durch <math>O</math>, sie schneidet den Kreis <math>c'</math> in <math>H</math>.
# Zeichne eine Parallele zum Radius <math>|\overline{OA}|</math> ab <math>D</math>, sie wird in <math>J</math> begrenzt, wegen <math>\overline{HJ}=\overline{HD}</math>.
# Ziehe eine Linie ab <math>H</math> durch <math>J</math>, bis sie den Kreis <math>c</math> in <math>K</math> – den dritten Eckpunkt des Neunecks – schneidet.
# Abschließend bedarf es nur noch einer Verdoppelung des Abstandes <math>|\overline{KA}|</math> um den zweiten Eckpunkt <math>T</math> des Neunecks zu erhalten.

Der Winkel <math>{TOA}</math> ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels <math>{BOA}</math>. Somit ist auch der Winkel <math>{BOT} = \beta</math> nahezu gleich dem gesuchten Zentriwinkel <math>{40^\circ}</math> und die Länge <math>|\overline{BT}|</math> nahezu gleich der gesuchten Seitenlänge des Neunecks.

==== Verdeutlichung des absoluten Fehlers ====
Zwischen den Winkeln <math>0^\circ</math> und <math>90^\circ</math> ist nahe <math>70^\circ</math>, mit einem Differenzwert max. <math>\left(1{,}33 \cdot 10^{-16}\right)^\circ</math>, der Fehler am größten.<ref name="Rostamian" /> Dies entspricht dem absoluten Fehler <math>F_a</math> einer [[Sehne (Geometrie)|Sehnenlänge]]:
:<math>F_a = 2\cdot \sin \left(\frac{\left(1{,}33 \cdot 10^{-16}\right)^\circ}{2} \right) = 0{,}00000000000000000232\ldots = 2{,}32\ldots\cdot 10^{-18}\;[LE]</math><ref name="LE">[LE] = Längeneinheit</ref>

Anschaulich: Bei einem Umkreis <math>c</math> mit Radius gleich <math>1</math> [[Billion]] km (das [[Lichtjahr#Definition|Licht]] bräuchte für diese Strecke fast 39 Tage), wäre der absolute Fehler der Seitenlänge des Neunecks <math>|\overline{BT}|</math>, wegen des gedrittelten Winkels <math>60^\circ</math>, etwas kleiner als 2,32 mm.

== Exakte Konstruktionen ==
Erweitert man die Werkzeuge so, dass eine allgemeine [[Dreiteilung des Winkels]] möglich wird, z. B. um einen sogen. [[Tomahawk (Zeichengerät)|Tomahawk]] oder mit der [[Dreiteilung des Winkels#Die Methode des Archimedes|Methode des Archimedes]], so kann man durch Dreiteilung des mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Winkels von 120° den benötigten Winkel von 40° erhalten.

=== Bei gegebenem Umkreis ===
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01-Neuneck Tomahawk Animation.gif|mini|hochkant=1.5|Umkreis gegeben, Dreiteilung des Winkels 120° mithilfe des [[Tomahawk (Zeichengerät)|Tomahawks]], Animation am Ende 10 s Pause]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Neuneck-Archimedes.gif|mini|hochkant=2.5|Umkreis gegeben, Basis ist ein Sechseck mit Dreiteilung des Winkels 120° nach Archimedes,<ref>{{Internetquelle |autor=[[Ernst Bindel]], Helmut von Kügelgen |url=https://www.erziehungskunst.de/fileadmin/archiv_alt/1960-1967/1965_07_08_Jg_29.pdf#page=46&zoom=auto,-18,592 |titel=KLASSISCHE PROBLEME DES GRIECHISCHEN ALTERTUMS IM MATHEMATIKUNTERRICHT DER OBERSTUFE |titelerg= |werk=ERZIEHUNGSKUNST |hrsg=Bund der Freien Waldorfschulen Deutschlands |datum=1965-08 |seiten=234–237 |format=PDF |archiv-url=https://web.archive.org/web/20221205170547/https://www.erziehungskunst.de/fileadmin/archiv_alt/1960-1967/1965_07_08_Jg_29.pdf#page=46&zoom=auto,-18,592 |archiv-datum=2022-12-05 |abruf=2023-10-14}}</ref> Animation am Ende 10 s Pause]]</div>
{{Absatz}}

=== Bei gegebener Seitenlänge ===
[[Datei:01 Neuneck-Seite gegeben.svg|mini|hochkant=1.8|Neuneck bei gegebener Seitenlänge, Methode ''Rechtwinkelhaken'' nach Ludwig Bieberbach]]
Ist die Seitenlänge eines regelmäßigen Neunecks gegeben, kann für die erforderliche Dreiteilung der [[Winkel]]weite <math>60^\circ</math> z. B. die Methode ''[[Dreiteilung des Winkels#Teilung mit einem rechtwinkligen dreieckigen Lineal|Rechtwinkelhaken]]''<ref name="Ludwig Bieberbach">Ludwig Bieberbach: ''Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167, Walter de Gruyter, Berlin 1932, S. 142–146, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0167 Göttinger Digitalisierungszentrum ], [https://images.sub.uni-goettingen.de/iiif/image/gdz:PPN243919689_0167:00000149/full/full/0/default.jpg Bild auf S. 144] abgerufen am 12. Oktober 2023.</ref> nach [[Ludwig Bieberbach]] genutzt werden.

Im Folgenden sind die Schritte der nebenstehenden Konstruktion beschrieben.
# Trage auf der Geraden '''g1''' die gegebene Seitenlänge '''a''' ab und bezeichne deren Enden mit '''E1''' bzw. '''E2'''.
# Errichte eine Senkrechte auf '''g1''' in '''E1'''
# Wähle nach eigenem Belieben den Punkt '''A''' auf '''g1''' für den folgenden Dreiviertelkreis um '''E1''' mit Radius '''r = {{Overline|E1A}}'''; ergibt die Schnittpunkte '''B''' und '''C'''.
# Ziehe einen Halbkreis um '''B''' mit dem Radius '''r'''; ergibt die Schnittpunkte '''D''' und '''F'''.
# Ziehe den [[Kreisbogen]] um '''B''' ab '''A'''.
# Zeichne eine Linie ab '''B''' durch '''F''', bis sie den Kreisbogen in '''G''' schneidet. Dabei ergibt sich der Winkel '''GBA''' mit Winkelweite '''60°'''.
# Um nun die Winkelweite '''60°''' zu Dritteln lege z. B. ein [[Geodreieck]] folgendermaßen auf die Zeichnung:
::Der Scheitel vom Winkel '''90°''' des Dreiecks bestimmt auf dem Winkelschenkel '''{{Overline|BG}}''' den Punkt '''H''', eine [[Kathete]] des [[Dreieck]]s verläuft durch den Punkt '''D''' und die andere tangiert den Dreiviertelkreis um '''E1'''. Nach dem Verbinden des Punktes '''D''' mit '''H''' und dem Einzeichnen der Tangente ab '''H''' auf den Dreiviertelkreis um '''E1''', zeigt sich der oben genannte ''Rechtwinkelhaken''.
#<li value="8"> Zeichne ab '''B''' eine Parallele zu '''{{Overline|DH}}''', bis sie den Halbkreis um '''B''' in '''I''' schneidet. Der Winkel '''FBI''' ist mit seinen '''20°''' der gedrittelte Teil des Winkels '''GBA'''.
# Halbiere '''a''' in '''J''' und errichte in '''J''' eine Senkrechte.
# Übertrage die [[Sehne (Geometrie)|Sehne]] '''{{Overline|FI}}''' auf den Dreiviertelkreis ab '''C''' mit Schnittpunkt '''K'''.
# Ziehe eine Linie ab '''E1''' durch '''K''', bis sie die Senkrechte auf '''a''' in '''M''' schneidet; somit ist der Umkreisradius '''ru = {{Overline|ME1}}''' gefunden.
# Verbinde '''M''' mit '''E2'''; damit ergibt sich der [[Mittelpunktswinkel]] '''E1ME2 = μ = 40°''' des entstehenden Neunecks.
# Ziehe den Umkreis um '''M''' mit '''ru = {{Overline|ME1}}'''.
# Trage die Seitenlänge '''a''' siebenmal gegen den [[Uhrzeigersinn]] auf den Umkreis ab und verbinde die Eckpunkte zu einem regelmäßigen Neuneck.

=== Zentriwinkel mithilfe der Sinuskurve ===
[[Sinus und Kosinus#Sektrix|→ ''Hauptartikel: Sinus und Kosinus'']]
[[Datei:01 Neuneck-Sinuslinie-2.svg|mini|hochkant=2.8|Neuneck mithilfe der Sinuskurve]]

Hung Tao Sheng veröffentlichte im Jahr 1969 eine Methode, die zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels die Sinuskurve verwendet.<ref>{{Literatur | Autor=Hung Tao Sheng | Titel=A Method of Trisection of an Angle and X-Section of an Angle | TitelErg=4. Xsection of an angle, X = 7 | Sammelwerk=Mathematics Magazine | Band=42 No. 2 | Verlag=Taylor & Francis | Datum=März 1969 | Sprache=en | JSTOR=2689193 | Seiten=79}}</ref>

Konstruktionsbeschreibung für nebenstehende Darstellung

# Zeichne um den Mittelpunkt O den Umkreis mit Radius 1 [LE]<ref name="LE" /> und bestimme die beiden Halbachsen {{Oberstrich|OA}} bzw. {{Oberstrich|OB}}.
# Verlängere die Strecke {{Oberstrich|OA}} über A hinaus.
# Trage die Sinuskurve mittels [[Schablone]] oder mit einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|Dynamische-Geometrie-Software (DGS)]] ein, der Schnittpunkt mit der Verlängerung ist die [[Kreiszahl]] π.
# Konstruiere den Winkel 60° ({{Oberstrich|AC}} = {{Oberstrich|OA}}) und zeichne den Winkelschenkel {{Oberstrich|OC}} ein.
# Ziehe eine Parallele zur Halbachse {{Oberstrich|OA}} ab C, bis sie die Sinuskurve in C1 schneidet.
# Fälle das Lot ab C1 mit dem [[Fußpunkt]] C2.
# Teile die Strecke {{Oberstrich|C2π}} unter Verwendung des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|ersten Strahlensatzes]] so, dass {{Oberstrich|C2D}} ein Drittel von {{Oberstrich|C2π}} beträgt.
# Übertrage den Punkt D auf die Sinuskurve, dabei ergibt sich der Schnittpunkt E.
# Ziehe eine Parallele zu {{Oberstrich|C C1}} ab E mit dem Schnittpunkt F auf dem Umkreis; der Winkel AOF ist der gesuchte [[Mittelpunktswinkel]] 40° des werdenden Neunecks.
# Verbinde F mit A, es ergibt mit |{{Oberstrich|FA}}| die erste Seitenlänge des Neunecks.
# Trage die Seitenlänge |{{Oberstrich|FA}}| siebenmal gegen den [[Uhrzeigersinn]] auf den Umkreis ab und verbinde die Eckpunkte zu einem regelmäßigen Neuneck.

== Regelmäßige überschlagene Neunecke ==
Ein regelmäßiges [[Polygon#Weitere Typen|überschlagenes]] Neuneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der neun Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]] gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen [[Stern (Geometrie)|Sterne]] mit [[Schläfli-Symbol]]en <math>\left\{n/k\right\}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur zwei regelmäßige Neunstrahlsterne, auch ''Enneagramme'' genannt.

Die „Sterne“ mit den Symbolen {9/3} und {9/6} sind [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]].

<gallery heights="200" widths="200" perrow="2" caption="Regelmäßige Neunstrahlsterne">
01 Neuneck-Stern-9-2-7.svg|<math>\left\{9/2\right\}{,}\ \left\{9/7\right\}</math>
01 Neuneck-Stern-9-4-5.svg|<math>\left\{9/4\right\}{,}\ \left\{9/5\right\}</math>
</gallery>

== Verwendung des Neunecks in der Praxis ==
Die Festungsstadt [[Palmanova]] ist auf einem Neuneck aufgebaut. Die jährlich erscheinenden [[Österreichische Euromünzen#5 Euro|5-Euro-Silbermünzen aus Österreich]] haben die Form eines Neunecks.<ref>[[Oesterreichische Nationalbank]]: {{Webarchiv | url=http://www.oenb.at/de/img/muenzbroschuere_ausgabe2006__tcm14-40608.pdf | wayback=20070305230708 | text=Münzbroschüre Ausgabe 2006}} (pdf, 1,0 MB)</ref> Außerdem basiert die Architektur der [[Haus der Andacht|Häuser der Andacht]] (die Sakralbauten der [[Bahai]]) auf einem Neuneck.
[[Sternmotor]]en wurden meistens 5-, 7- oder 9-zylindrig gebaut. Der [[Grundriss]] der Hauptform der [[Befreiungshalle]] in Kelheim ist ein Achtzehneck, das wegen der Nichtkonstruierbarkeit des Neunecks ebenfalls nicht konstruierbar ist.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Neuneck}}
{{Commonscat|Regular nonagons|Neuneck|audio=0|video=0}}
{{Wikibooks|Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Neuneck|Neuneck}}
* [https://www.mathematische-basteleien.de/neuneck.htm Weitere mathematische Details zum Neuneck]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polygon]]

Neuneck - Versionsgeschichte

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