62.167.161.181: /* Eigenschaften */ Tippfehler: es stand ein Punkt anstatt dem \cdot für die Norm im normierten Raum

2024-04-15T21:50:46Z

Eigenschaften: Tippfehler: es stand ein Punkt anstatt dem \cdot für die Norm im normierten Raum

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In der [[Mathematik]] ist eine '''Neumann-Reihe''' (oder '''neumannsche Reihe''') eine [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] der Form <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty T^n</math>,
wobei <math>T:X \rightarrow X</math> ein [[stetiger linearer Operator]] auf einem [[normierter Raum|normierten Raum]] <math>\left.X\right.</math> ist und <math>\left.T\right.^0 := \mathrm{Id}_X</math>.

Die Reihe entspricht formal einer [[geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] und ist nach dem Mathematiker [[Carl Gottfried Neumann]] benannt, der sie [[1877]] in der [[Potentialtheorie]] verwendete. Sie findet u. a. Anwendung in der [[Funktionalanalysis]] zum Lösen von [[Operatorgleichung]]en und ist wichtig bei der Untersuchung stetiger Operatoren, vgl. [[Spektrum (Operatortheorie)]].

== Eigenschaften ==

Sei <math>\left(X,\left\|\cdot\right\|\right)</math> ein normierter Raum und <math>T \colon X \rightarrow X</math> ein stetiger Operator, <math>T\in L(X)</math>. Dabei ist <math>L(X)</math> der Raum der linearen, beschränkten – und somit stetigen – Operatoren auf <math>X</math>.

* Falls die ''Neumann-Reihe'' <math>\sum_{n=0}^\infty T^n</math> im Raum <math>\left.L(X)\right.</math> bezüglich der [[Operatornorm]] konvergiert, dann ist <math>A=\left(\mathrm{Id} - T\right)</math> invertierbar und es gilt
:::<math>A^{-1}=\left(\mathrm{Id} - T\right)^{-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty T^k</math>.

* Die ''Neumann-Reihe'' konvergiert, falls <math>\left(X,\left\|\cdot\right\|\right)</math> ein [[Banachraum]] ist und für die Operatornorm <math>\left\| T \right\| < 1</math> gilt. Dann gilt auch:
:::<math>\left\| (\mathrm{Id}-T)^{-1}\right\| \leq\left(1-\| T\| \right)^{-1}</math>.

* Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann, z. B. ist es ausreichend, wenn nur für eine Potenz des Operators <math>T</math> die Bedingung <math>\;\| T^n \| < 1\;</math> gilt. Dann ist
:::<math>\begin{align}
(I-T)^{-1}
=&\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^n\right)^{-1}\\
=&\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty T^{kn}.
\end{align}
</math>

== Invertierbarkeit linearer Operatoren ==

Ist <math>V</math> ein Banachraum, z. B. <math>V=\R^n</math>, und <math>A \colon V\to V</math> ein beschränkter Operator, z. B. eine quadratische Matrix <math>A\in\R^{n\times n}</math>, so kann <math>A</math> für jeden Skalierungsfaktor <math>\gamma>0</math> als
:<math>A=\tfrac1\gamma(I-T_\gamma)\;</math> mit <math>\;T_\gamma=I-\gamma\,A</math>
dargestellt werden.

Gibt es nun einen Skalierungsfaktor, mit welchem <math>\|T_\gamma\|_{{}_{V\to V}}<1</math> in der induzierten Operatornorm gilt, so ist <math>A</math> invertierbar und die Inverse ist, unter Benutzung der Neumann-Reihe,
:<math>
A^{-1}=\gamma\left(I+\sum_{k=1}^\infty T_\gamma{}^k\right)
=\gamma\left(I+\sum_{k=1}^\infty (I-\gamma\,A)^k\right)
</math>.

== Offenheit der Menge der invertierbaren Operatoren ==

Seien <math>B,B'</math> zwei Banachräume und <math>S \colon B\to B'</math> ein invertierbarer Operator. Dann gilt für jeden weiteren Operator <math>T \colon B\to B'</math>:
:Gilt für den Abstand in der Operatornorm von <math>S</math> zu <math>T</math> die Abschätzung <math>\|T-S\| \le q\,\|S^{-1}\|^{-1}</math> mit <math>0 < q < 1</math>, so ist <math>T</math> ebenfalls invertierbar und die Inverse hat die Operatornorm
::<math>\|T^{-1}\|\le\tfrac1{1-q}\|S^{-1}\|</math>.

:Zum Beweis: Es wird <math>T=S(I-(I-S^{-1}T))</math> zerlegt und auf den zweiten Faktor die Neumann-Reihe angewandt. Die Konvergenz ist gesichert, denn nach Voraussetzung gilt:
::<math>\|I-S^{-1}T\|\le\|S^{-1}\|\,\|S-T\|\le q<1</math>.

Als Folge ergibt sich, dass die Menge der invertierbaren Operatoren [[Offene Menge|offen]] ist bzgl. der [[Topologischer Raum|Topologie]] der Operatornorm.

== Literatur ==

* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Neumann-Reihe - Versionsgeschichte

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