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2025-02-07T18:08:23Z

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{{Mehrere Bilder|Breite=250|Bild1=EpitrochoidOn2.gif|Untertitel1=Konstruktion einer Nephroide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit doppeltem Radius|Bild2=HypotrochoidBigger2.gif|Untertitel2=Konstruktion derselben Nephroide durch Abrollen eines Kreises um einen Kreis mit 2/3 Radius}}

Eine '''Nephroide''' (aus [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] ὁ νεφρός ''ho nephros'', „die Niere“, nach ihrer Gestalt) ist eine [[Kurve (algebraische Geometrie)|algebraische Kurve]] 6. Grades.
Die Nephroide entsteht durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius <math>a</math> auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius <math>2a</math>. Damit gehört die Nephroide in die Klasse der [[Epizykloide]]n.

== Gleichungen einer Nephroide ==
[[Datei:Nephroide-definition.svg|mini|Nephroide: Definition]]

Ist <math>a</math> der Radius des kleinen (rollenden) Kreises und <math>(0,0),\; 2a</math> der Mittelpunkt und Radius des großen (festen) Kreises, <math>2\varphi</math> der Rollwinkel (des kleinen Kreises) und der Punkt <math>(2a,0)</math> der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die
* Parameterdarstellung:
:<math>x(\varphi) = 3a\cos\varphi- a\cos3\varphi=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,</math>
:<math>y(\varphi) = 3a \sin\varphi - a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi\ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi</math> .

Einsetzen der Parameterdarstellung in die Gleichung
*<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2.</math>
beweist, dass sie die zugehörige implizite Darstellung ist.

; Beweis der Parameterdarstellung:
Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe [[Komplexe Zahl|komplexer Zahlen]] und ihre Darstellung als [[Gaußsche Zahlenebene]] leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes <math>z</math> (komplexe Zahl) um den Nullpunkt <math>0</math> mit dem Winkel <math>\varphi</math> wird durch die Multiplikation mit <math> e^{i\varphi}</math> bewirkt.
: Die Drehung <math>\Phi_3</math> um den Punkt <math>3a</math> um den Winkel <math>2\varphi</math> ist <math>z \mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi}</math> .
: Die Drehung <math>\Phi_0</math> um den Punkt <math>0</math> um den Winkel <math>\varphi</math> ist <math>z \mapsto ze^{i\varphi}</math>.
Ein Nephroidenpunkt <math> p(\varphi)</math> entsteht durch Drehung des Punktes <math>2a</math> mit <math>\Phi_3</math> und anschließende Drehung mit <math>\Phi_0</math>:
:<math>p(\varphi)=\Phi_0(\Phi_3(2a))=\Phi_0(3a-ae^{i2\varphi})=(3a-ae^{i2\varphi})e^{i\varphi}=3ae^{i\varphi}-ae^{i3\varphi}</math>.
Hieraus ergibt sich
:<math>
\begin{array}{cclcccc}
x(\varphi)&=&3a\cos\varphi-a\cos3\varphi &=& 6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,&& \\
y(\varphi)&=&3a\sin\varphi-a\sin3\varphi&=& 4a\sin^3\varphi &.&
\end{array} </math>
(Es wurden die Formeln <math> e^{i\varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi, \ \cos^2\varphi+ \sin^2\varphi=1, \ \cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi,\;\sin 3\varphi=3\sin\varphi -4\sin^3\varphi</math> benutzt. Siehe [[Formelsammlung Trigonometrie]].)
; Beweis der impliziten Darstellung:
Mit
<math>x^2+y^2-4a^2=(3a\cos\varphi-a\cos3\varphi)^2+(3a\sin\varphi-a\sin3\varphi)^2 -4a^2=\cdots=6a^2(1-\cos2\varphi)=12a^2\sin^2\varphi</math>
ergibt sich
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=(12a^2)^3\sin^6\varphi=108a^4(4a\sin^3\varphi)^2=108a^4y^2\ .</math>

; andere Orientierung:
Falls die Spitzen auf der y-Achse liegen:<br />
Parameterdarstellung:
:<math>x=3a\cos \varphi+a\cos3\varphi,\quad y=3a\sin \varphi+a\sin3\varphi).</math>
Gleichung:
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4x^2.</math>

[[Datei:Epitrogoïed.png|mini|hochkant=1.4|Eine [[Zykloide#Trochoide|verkürzte]] Nephroide]]

== Flächeninhalt, Kurvenlänge und Krümmungsradius ==
Für die obige Nephroide ist
* die ''[[Kurvenlänge]]'' <math> L= 24 a </math>, und
* der ''[[Flächeninhalt]]'' <math> A= 12\pi a^2\ .</math>
* der ''[[Krümmungsradius]]'' <math>\rho(\varphi)=|3a\sin \varphi|.</math>

Die Beweise verwenden die Parameterdarstellung
:<math>x(\varphi)=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ , </math>
:<math>y(\varphi)= 4a\sin^3\varphi </math>
der obigen Nephroide und ihre Ableitungen
:<math>\dot x=-6a\sin\varphi(1 - 2\cos^2\varphi)\ ,\quad \ \ddot x= -6 a\cos \varphi(5-6\cos^2\varphi)\ ,</math>
:<math>\dot y=12a\sin^2\varphi\cos\varphi \quad , \quad \quad \quad \quad
\ddot y=12a\sin\varphi(3\cos^2\varphi-1)\ . </math>
Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.<ref>Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 194, 200.</ref>

; Beweis für die Kurvenlänge:
Mit der Formel für die [[Länge (Mathematik)#Wege in der Ebene und im Raum|Länge einer parametrisierten Kurve]] ergibt sich
:<math>L=2\int_0^\pi{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} \; d\varphi=\cdots =12a\int_0^\pi \sin\varphi\; d\varphi= 24a</math> .

; Beweis für den Flächeninhalt (mit der [[Sektorformel von Leibniz|Leibniz-Sektorformel]]):
:<math> A=2\cdot \tfrac{1}{2}|\int_0^\pi[x \dot y-y \dot x]\; d\varphi|=\cdots= 24a^2\int_0^\pi\sin^2\varphi\; d\varphi= 12\pi a^2</math> .

; Beweis für den Krümmungsradius:
:<math>\rho = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|=\cdots= |3a\sin \varphi|.</math>

[[Datei:Nephroide-kreise.svg|mini|Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar]]

== Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar ==
Es gilt:
* Ist <math>k_0</math> ein Kreis und <math>D_1D_2</math> Punkte eines Durchmessers <math>d_{12}</math>, so ist die Einhüllende der Schar von Kreisen, deren Mittelpunkte auf <math>k_0</math> liegen und den Durchmesser <math>d_{12}</math> berühren, eine ''Nephroide'' mit den Spitzen <math>D_1,D_2</math>.

; Beweis:
Es sei <math>k_0</math> der Kreis <math>(2a\cos\varphi,2a\sin\varphi)</math> mit dem Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und dem Radius <math>2a</math>. Der nötige Durchmesser liege auf der x-Achse (s. Bild). Die Kreisschar ist:
:<math> f(x,y,\varphi)=(x-2a\cos\varphi)^2+(y-2a\sin\varphi)^2-(2a\sin\varphi)^2=0 \ .</math>
Die [[Einhüllende]]nbedingung ist
:<math>f_\varphi(x,y,\varphi)=2a(x\sin\varphi -y\cos\varphi-2a\cos\varphi\sin\varphi)=0\ . </math>
Man rechnet nach, dass der Nephroidenpunkt <math>p(\varphi)=(6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi\; ,\; 4a\sin^3\varphi)</math> die beiden Gleichungen <math>f(x,y,\varphi)=0, \; f_\varphi(x,y,\varphi)=0</math> erfüllt und damit ein Punkt der Einhüllenden der Kreisschar ist.

[[Datei:Nephroide-sek-tang-prinzip.svg|mini|Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar: Die Tangenten der Nephroide sind Sehnen eines Kreises. Die Sehnen verlaufen jeweils zwischen Punkt n und Punkt 3n auf der Kreisbahn, die gleichmäßig in einer Anzahl von Schritten unterteilt ist, die einem Vielfachem von 3 entspricht.]]
[[Datei:Nephroide-sek-tang.svg|mini|Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar: Die Tangenten der Nephroide sind Sehnen eines Kreises]]

== Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar ==
Ähnlich der Erzeugung einer [[Kardioide]] als Einhüllende einer Geradenschar gilt hier:
# Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit <math>3N</math> Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
# Zeichne die Sehnen: <math>(1,3), (2,6), ...., (n,3n),...., (N,3N), (N+1,3), (N+2,6), ...., </math>. (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit dreifacher Geschwindigkeit.)
# Die ''Einhüllende'' dieser Strecken ist eine Nephroide.

; Beweis:
Im Folgenden werden die [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Formeln]] für
<math> \cos \alpha+\cos\beta,\ \sin \alpha+\sin\beta, \ \cos (\alpha+\beta), \ \cos2\alpha</math>
verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Nephroide mit den Spitzen auf der y-Achse geführt.
; ''Gleichung der Tangente'': an die Nephroide mit der Parameterdarstellung
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\; y=3\sin\varphi+\sin3\varphi</math>:
Aus der Parameterdarstellung
berechnet man zunächst den Normalenvektoren <math>\vec n=(\dot y , -\dot x)^T </math>.<br />
Die Gleichung der Tangente <math>\dot y(\varphi)\cdot (x -x(\varphi)) - \dot x(\varphi)\cdot (y-y(\varphi))= 0</math> ist dann:
:<math>(\cos2\varphi\cdot x \ + \ \sin 2\varphi\cdot y)\cos \varphi = 4\cos^2 \varphi \ .</math>
Für <math> \varphi=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}</math> hat die Nephroide ihre Spitzen, wo sie keine Tangente besitzt. Für <math> \varphi\ne\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}</math> kann man durch <math>\cos\varphi</math> dividieren und erhält schließlich
*<math>\cos2\varphi \cdot x + \sin2\varphi \cdot y = 4 \cos\varphi \ .</math>

; ''Gleichung der Sekante'': an den Kreis mit Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und Radius <math>4</math>: Für die Gleichung der [[Sekante]] durch die beiden Punkte <math>(4\cos\theta, 4\sin\theta), \ (4\cos{\color{red}3}\theta, 4\sin{\color{red}3}\theta)) </math> ergibt sich:
:<math>(\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y)\sin\theta = 4 \cos\theta\sin\theta \ .</math>
Für <math>\theta =0, \pi</math> artet die Sekante zu einem Punkt aus. Für <math>\theta \ne 0\pi</math> kann man durch <math>\sin\theta</math> dividieren und es ergibt sich die Gleichung der Sekante:
*<math>\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y = 4 \cos\theta \ .</math>
Die beiden Winkel <math>\varphi , \theta</math> haben zwar verschiedene Bedeutungen (<math>\varphi</math> ist der halbe Rollwinkel, <math>\theta</math> ist der Parameter des Kreises, dessen Sekanten berechnet werden), für <math>\varphi=\theta </math> ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Nephroide und
* ''die Nephroide ist die Einhüllende der Kreissehnen.''

[[Datei:Nephroide-kaustik-prinzip.svg|250px|mini|Nephroide als Kaustik eines Kreises: Prinzip]]
[[Datei:Nephroide-kaustik.svg|250px|mini|Nephroide als Kaustik eines Halbkreises]]

== Nephroide als Kaustik eines Halbkreises ==
Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als [[Kaustik (Optik)|Kaustik]] eines Halbkreises eine Nephroide auftritt:

* Fallen in der Ebene parallele Lichtstrahlen in einen spiegelnden Halbkreis gemäß der Abbildung, so sind die reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Nephroide. (s. Abschnitt: Nephroide im täglichen Leben)

; Beweis:
Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Nullpunkt als Mittelpunkt und sein Radius sei <math>4</math>. Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung
:<math>k(\varphi)=4(\cos\varphi,\sin\varphi) \ .</math>
Die Tangente im Kreispunkt <math>K= k(\varphi)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec n_t=(\cos\varphi,\sin\varphi)^T</math>. Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor <math>\vec n_r=(\cos{\color{red}2}\varphi,\sin{\color{red}2}\varphi)^T</math> haben und durch den Kreispunkt <math>K:4(\cos\varphi,\sin\varphi) </math> gehen. Der reflektierte Strahl liegt also auf der Gerade mit der Gleichung
:<math>\cos{\color{red}2}\varphi\cdot x \ + \ \sin {\color{red}2}\varphi\cdot y = 4\cos\varphi \ ,</math>
die wiederum die Tangente an die Nephroide des vorigen Abschnitts im Punkt
:<math>P:(3\cos\varphi + \cos3\varphi,3\sin\varphi+\sin3\varphi)</math>
ist (s. oben).

== Evolute einer Nephroide ==
[[Datei:Nephroide-evol.svg|300px|mini|Nephroide (rot) und ihre Evolute (grün),<br />
magenta: ein Punkt P, sein Krümmungsmittelpunkt M und der zugehörige Krümmungskreis]]

Die [[Evolute]] einer ebenen Kurve ist der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] aller [[Krümmungsmittelpunkt]]e dieser Kurve. Für eine parametrisierte Kurve <math>\vec x(s)=\vec c(s)</math> mit Krümmungsradius <math>\rho(s)</math> hat die Evolute die Parameterdarstellung
:<math>\vec X(s)=\vec c(s) + \rho(s)\vec n(s).</math>
wobei <math>\vec n(s)</math> die geeignet orientierte Einheitsnormale ist. (<math>\vec n(s)</math> zeigt zu dem Krümmungsmittelpunkt hin.)

Für eine Nephroide im Bild gilt:
* Die ''Evolute'' einer Nephroide ist wieder eine Nephroide, halb so groß.

; Beweis:
Die Nephroide im Bild (die Spitzen liegen auf der y-Achse !) hat die Parameterdarstellung
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\quad y=3\sin\varphi+\sin3\varphi \ ,</math>
ist die Einheitsnormale
:<math>\vec n(\varphi)=(-\cos 2\varphi,-\sin 2\varphi)^T</math> (s. oben)
und hat den Krümmungsradius (s. oben)
:<math>\rho(\varphi)=3\cos \varphi</math>.
Also hat die Evolute die Parameterdarstellung
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi -3\cos\varphi\cdot\cos2\varphi=\cdots=3\cos\varphi-2\cos^3\varphi,</math>
:<math>y=3\sin\varphi+\sin3\varphi -3\cos\varphi\cdot\sin2\varphi\ =\cdots=2\sin^3\varphi \ ,</math>
Diese Gleichungen beschreiben eine Nephroide, die halb so groß und um 90 Grad gedreht ist (s. Bild und den Abschnitt ''Gleichungen einer Nephroide'').

[[Datei:Nephroide-inv.svg|mini|Inversion (grün) einer Nephroide (rot) am blauen Kreis]]

== Inversion (Kreisspiegelung) einer Nephroide ==
Die [[Inversion (Geometrie)|Spiegelung]]
:<math> x \mapsto \frac{4a^2x}{x^2+y^2}, \quad y\mapsto \frac{4a^2y}{x^2+y^2} </math>
am Kreis mit Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und Radius <math>2a</math> bildet die Nephroide mit der Gleichung
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2</math>
auf die Kurve 6. Grades mit der Gleichung
: <math>(4a^2-(x^2+y^2))^3=27a^2(x^2+y^2)y^2</math>
ab (siehe Bild).

== Nephroide im täglichen Leben ==
[[Datei:Brennlinie.GIF|gerahmt]]

Fällt Licht einer unendlich weit entfernten Lichtquelle seitlich auf eine [[Konkavspiegel|konkave]], kreisförmige reflektierende Oberfläche, so bildet die [[Einhüllende]] der Lichtstrahlen einen Teil einer Nephroide. Manchmal wird sie daher auch „Kaffeetassenkaustik“ ([[Kaustik (Optik)|Kaustik]] = Brennlinie) genannt. Man kann sie auch auf der Straße beobachten, wenn die blanken Felgen eines Fahrrades das Licht auf den Boden reflektieren: Da das Sonnenlicht den Zylindermantel der Fahrradfelge [[Parallel (Geometrie)|parallel]] trifft, bildet sich eine [[Brennfläche]], deren Profil die Form einer halben Nephroide hat und die, wenn man sich leicht in die Kurve legt, mit dem ebenen Untergrund einen Teil einer Nephroide als Schnittfigur bildet.

== Siehe auch ==
* [[Kardioide]]

== Literatur ==
<references />
* D. Arganbright: ''Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions.'' CRC Press, 1993, ISBN 0-8493-8938-0, S. 54.
* F. Borceux: ''A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III.'' Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, S. 148.
* E. H. Lockwood: ''A Book of Curves.'' Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-05585-7, S. 7.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Nephroid}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Nephroid.html Mathworld nephroid]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/nephroid/nephroid.shtml mathcurve: nephroid]
* [http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Nephroid_dir/nephroid.html Xahlee: nephroid]

[[Kategorie:Algebraische Varietät]]

Nephroide - Versionsgeschichte

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