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2026-03-04T08:58:20Z

Typografie, Kleinigkeiten.

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[[Datei:Neil-parab-3.svg|250px|mini|Neilsche Parabeln für verschiedene Werte von ''a''.]]
Die '''Neil’sche Parabel''' (nach dem englischen Mathematiker [[William Neile]] benannt) oder '''semikubische Parabel'''<ref>Walter Gellert, [[Herbert Kästner]], Siegfried Neuber (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik'', VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 461, '''rationale Kurve'''.</ref> ist eine spezielle [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[algebraische Kurve]], die durch eine Gleichung der Form
* '''(A)'''<math>\quad y^2 - a^2 x^3 \; = \, 0 \; , \; a>0 \; , </math>
beschrieben werden kann. Auflösen nach <math>y</math> ergibt die explizite Form
* '''(E1)''' <math>\quad y = \pm a x^{\frac{3}{2}} \; , \; x\ge 0 \; ,</math>
die Anlass für die Bezeichnung ''semikubische Parabel'' liefert.

(Eine gewöhnliche Parabel kann durch eine Gleichung <math> y=ax^2</math> beschrieben werden.)

Löst man '''(A)''' nach <math>x</math> auf, so erhält man die Gleichung
* '''(E2)''' <math> \quad x = \Big(\frac{y}{a}\Big)^{\color{red}\frac{2}{3}}\; ,\quad y\in \R \; .</math>
Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man, dass
* '''(P)'''<math> \quad x = t^2\; , \quad y = a t^3\; , \quad t \in \R \; , </math>
eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist.

William Neile hatte erstmals die [[Länge (Mathematik)|Bogenlänge]] dieser [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] berechnet, die sog. [[Länge (Mathematik)|Rektifizierung]], und dies 1657 bekannt gemacht<ref>[[Johann August Pein|August Pein]]: ''Die semicubische oder Neil’sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '', S. 2</ref><ref>Clifford A. Pickover: ''The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics'', Sterling Publishing Company, 2009, ISBN 9781402757969, S. 148</ref>. Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von [[Ellipse#Umfang|Ellipsen]] und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit, dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien.

Die Neil’sche Parabel ist [[Rationale Varietät|rational]], es existiert also eine [[rationale Abbildung]] mit einer inversen rationalen Abbildung, die die Neil’sche Parabel auf die [[projektive Gerade]] abbildet.

== Eigenschaften einer Neilschen Parabel ==
=== Ähnlichkeit ===
* Jede Neilsche Parabel <math>(t^2,at^3)</math> ist zur ''Neilschen Einheitsparabel'' <math>(u^2,u^3)</math> '''ähnlich'''.

''Beweis:'' Die [[Ähnlichkeitsabbildung]] <math> (x,y) \rightarrow (a^2x,a^2y) </math> (Streckung am Ursprung) führt die Neilsche Parabel <math>(t^2,at^3)</math> in die Kurve <math>((at)^2,(at)^3)=(u^2,u^3)</math> mit <math>u=at </math> über.

=== Singularität ===
*Die Parameterdarstellung <math>(t^2,at^3)</math> ist ''überall außer'' im Punkt <math>(0,0)</math> ''[[Reguläre Kurve|regulär]]''. Die Kurve besitzt im Nullpunkt eine [[Singularität (Mathematik)|Singularität]] (Spitze).
Der ''Beweis'' folgt aus dem Tangentenvektor <math> (2t,3t^2)^T</math>. Nur für <math>t=0</math> ergibt sich der Nullvektor.
[[Datei:Neil-parab-t.svg|mini|Neilsche Parabel: Tangente]]

=== Tangenten ===
Für die Neilsche ''Einheitsparabel'' <math> \; y = \pm x^{\frac{3}{2}}\; </math> ergibt sich durch Differentiation die Gleichung der Tangente in einem Punkt <math>(x_0,y_0)</math> des ''oberen'' Astes:
*<math> y=\frac{\sqrt{x_0}}{2}\Big(3x-x_0\Big) \; .</math>
Diese Tangente schneidet die Kurve in genau einem weiteren Punkt des ''unteren'' Astes mit den Koordinaten<ref>[[Johann August Pein|August Pein]]: ''Die semicubische oder Neil’sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '', S. 26</ref>
*<math> \Big(\frac{x_0}{4}, -\frac{y_0}{8}\Big)\; .</math>
(Beim Nachrechnen sollte man berücksichtigen, dass <math>(x_0,y_0) </math> ein doppelter Schnittpunkt der Tangente mit der Kurve ist.)

=== Bogenlänge ===
Um die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve <math>(x(t),y(t))</math> zu bestimmen, muss man das unbestimmte Integral <math> \int\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \;dt </math> lösen. Für die Neilsche Parabel <math>(t^2,at^3), \; 0\le t\le b\; , </math> ist
:<math> \int^b_0\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \;dt =\int^b_0 t\sqrt{4+9a^2t^2}\; dt=\cdots=\Big[\frac{1}{27a^2}(4+9a^2t^2)^\frac{3}{2}\Big]^b_0\; .</math>
(Das Integral lässt sich mit Hilfe der [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>u=4+9a^2t^2</math> lösen.)

''Beispiel:'' Für <math>a=1</math> (Neilsche Einheitsparabel) und die obere Grenze <math>b=2</math>, d. h. bis zum Punkt <math> (4,8) </math>, ist die Länge <math> 9{,}073</math>.

=== Evolute der Einheitsparabel ===
*Die [[Evolute#Evolute der Normalparabel|Evolute der Parabel]] <math> (t^2,t)</math> ist eine in x-Richtung um 1/2 verschobene Neilsche Parabel: <math>\left(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{\sqrt{3}^3}t^3\right)\; .</math>

=== Polarkoordinaten ===
Um die Darstellung der Neilschen Parabel <math>(t^2,at^3)</math> in Polarkoordinaten zu finden, schneidet man die Ursprungsgerade <math> y=mx</math> mit der Kurve. Für <math> m\ne 0</math> gibt es einen vom Nullpunkt (Spitze) verschiedenen Punkt: <math> \left(\frac{m^2}{a^2}, \frac{m^3}{a^2}\right)</math>. Der Abstand dieses Punktes zum Nullpunkt ist <math>\frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2}</math>. Mit <math> m=\tan \varphi</math> und <math>\sec^2 \varphi = 1 + \tan^2\varphi </math> ergibt sich<ref>[[Johann August Pein|August Pein]]: ''Die semicubische oder Neil’sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '', S. 10</ref>
* <math> r=\Big(\frac{\tan\varphi}{ a}\Big)^2\cdot \sec \varphi \; ,\quad -\pi/2 < \varphi < \pi/2 \ . </math>

[[Datei:Neil-parab-p.svg|250px|mini|Neilsche Parabel und kubische Parabel (grün)]]
=== Projektive Äquivalenz zur kubischen Parabel ===
Bildet man die Neilsche Einheitsparabel <math>(t^2,t^3)</math> mit der projektiven Abbildung <math> (x,y) \rightarrow (\tfrac{x}{y}, \tfrac{1}{y})</math> (involutorische [[Projektive Perspektivität|Perspektivität]] mit der Achse <math> y=1</math> und Zentrum <math>(0,-1)</math> ) ab, so erhält man die Kurve <math> \left(\frac{1}{t}, \frac{1}{t^3}\right)</math>, also die [[kubische Parabel]] <math>y=x^3</math>. Die Spitze (Nullpunkt) der Neilschen Parabel wird mit dem Fernpunkt der y-Achse vertauscht.

Diese Eigenschaft lässt sich auch an der Darstellung der Neilschen Parabel in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] erkennen: Ersetzt man in '''(A)''' <math> x=\tfrac{x_1}{x_3}, \; y=\tfrac{x_2}{x_3}</math> (die Ferngerade hat die Gleichung <math>x_3=0</math>) und multipliziert mit <math> x_3^3</math>, erhält man die Kurvengleichung
*in homogenen Koordinaten: <math>\quad x_3x_2^2-x_1^3=0 \; .</math>
Wählt man nun die Gerade <math> x_{\color{red}2}=0</math> als Ferngerade und setzt <math> x=\tfrac{x_1}{x_2}, \; y=\tfrac{x_3}{x_2}</math>, erhält man die (affine) Kurve <math> y=x^3 \; .</math>

== Literatur ==
* [[Johann August Pein|August Pein]]: ''Die semicubische oder Neil’sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '', 1875, [https://books.google.de/books?hl=de&lr=&id=wFxaAAAAYAAJ&oi=fnd&pg=PA9&dq=neilsche+parabel&ots=fAht0kQVES&sig=CscgUFFbNiUO-svYa7T0qAeYA6s#v=onepage&q=neilsche%20parabel&f=false Dissertation]
* [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA148 Clifford A. Pickover: ''The Length of Neile's Semicubical Parabola'']

== Siehe auch ==
* [[Parabola nodata]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Neilsche Parabel - Versionsgeschichte

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