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2022-05-28T17:42:23Z

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[[Datei:Negative Transitivität.svg|mini|400px|Ein drittes Element z wird in eine bestehende binäre Relation zwischen x und y eingeordnet, sodass negative Transitivität erfüllt ist.]]
Die '''negative Transitivität''' einer zweistelligen [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>R</math> auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] ist gegeben, wenn gilt:

:<math>\forall x, y, z: \neg xRy \land \neg yRz \Rightarrow \neg xRz .</math>

[[Strenge schwache Ordnung]]en erfüllen die negative Transitivität.

== Äquivalenzumformungen ==

Manchmal wird der Zusammenhang der negativen Transitivität auch wie folgt formuliert:<ref name=breyer>Friedrich Breyer: ''Mikroökonomik: Eine Einführung''. Springer; Auflage: 5Aufl. 2011 (25. September 2011). ISBN 978-3642221491. Seite 166.</ref>

:<math>(x>y) \Rightarrow (x>z) \lor (z>y) </math>

Diese Darstellung erhält man durch Negation einer [[Implikation]]. Ersetzt man die Klammerausdrücke durch die allgemeinen Aussagen A, B und C, folgt:

:<math>\neg A \land \neg B \Rightarrow \neg C</math>

Wird dieser Ausdruck nun erneut negiert, dreht sich erstens die Implikationsrichtung um und zweitens werden nach den [[De Morgan’sche Gesetze]]n sowohl die Negationen von A und B aufgehoben, aber auch die Konjunktion in eine Disjunktion verwandelt:

:<math>\neg (\neg A \land \neg B) \Leftarrow C</math>
:<math>A \lor B \Leftarrow C</math>

Das entspricht dann grundsätzlich der Form, von der wir oben ausgegangen sind.

=== Beispiel in Alltagssprache ===

Wenn Milch nicht weniger kostet als Brot, und Brot nicht weniger kostet als Kuchen, dann kostet Milch auch nicht weniger als Kuchen.

== Mikroökonomie ==

In der mikroökonomischen [[Haushaltstheorie]] werden negative Transitivität und Asymmetrie als Annahmen für die strenge [[Präferenzrelation]] benutzt.<ref name=breyer />

== Siehe auch ==
* [[Transitive Relation]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Mikroökonomie]]

Negative Transitivität - Versionsgeschichte

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