imported>FerdiBf: /* Herleitung der negativen Binomialverteilung */ Erläuterung

2026-01-01T11:02:03Z

Herleitung der negativen Binomialverteilung: Erläuterung

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{{Infobox Verteilung
| intro = Different texts adopt slightly different definitions for the negative binomial distribution. They can be distinguished by whether the support starts at ''k'' = 0 or at ''k = r'', and whether ''p'' denotes the probability of a success or of a failure.
| type = mass
| pdf_image = [[Datei:Negbinomial.gif]]<br /><small>Wahrscheinlichkeitsverteilung der '''Variante B'''. In diesem Beispiel ist Parameter <math>p</math> von <math>r</math> abhängig, sodass <math>E[X] = 10</math> gilt (das erfordert <math>p = r / (r + 10)</math>). Der Erwartungswert ist als orange Linie dargestellt; die Standardabweichung als grüne.</small>
| cdf_image =
| notation = <math>\mathrm{NB}(r,\,p)</math>
| parameters = ''r'' > 0 – Anzahl Erfolge bis zum Abbruch<br />''p'' ∈ (0,1) – Einzel-Erfolgs-Wahrscheinlichkeit
| support = ''k'' ∈ { 0, 1, 2, 3, … } – Anzahl Misserfolge
| pdf = <math>{k+r-1 \choose k}\cdot p^r (1-p)^k</math>
| cdf = <math>1-I_{1-p}(k+1,\,r)</math> [[Eulersche Betafunktion]]
| mean = <math>\frac{r(1-p)}{p}</math>
| median =
| mode = <math>\left\lfloor\frac{(1-p)(r-1)}{p}\right\rfloor</math>
| variance = <math>\frac{r(1-p)}{p^2}</math>
| skewness = <math>\frac{2-p}{\sqrt{r(1-p)}}</math>
| kurtosis = <math>\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r(1-p)}</math>
| entropy =
| mgf = <math>\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{s}}\right)^{r}\!\!\!, s<|\ln(1-p)|</math>
| char = <math>\left(\frac{pe^{\mathrm{i}s}}{1-(1-p)e^{\mathrm{i}s}}\right)^{r} </math>
| fisher = <math>\biggl(\frac{1-p}{1 - pz}\biggr)^{\!r} \text{ für alle }|z|<\frac1p</math>
}}
Die '''negative Binomialverteilung''' (auch '''Pascal-Verteilung''') ist eine [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariate]] [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Sie zählt zu den [[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] und ist eine der drei [[Panjer-Verteilung]]en.

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem [[Bernoulli-Prozess]] nach <math>k</math> Misserfolgen genau <math>r</math> Erfolge eingetreten sind.

Neben der [[Poisson-Verteilung]] ist die negative [[Binomialverteilung]] die wichtigste Schadenzahlverteilung in der [[Versicherungsmathematik]]. Dort wird sie insbesondere als Schadenzahlverteilung in der Krankenversicherung benutzt, seltener im Bereich Kraftfahrzeug-Haftpflicht oder Kasko.

== Herleitung der negativen Binomialverteilung ==
[[Datei:Negativ Binomial Distribution.PNG|mini|325px|Wahrscheinlichkeitsfunktion der negativen Binomialverteilung (Variante A) für <math>r=10</math>; <math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)]]

Man kann diese Verteilung mit Hilfe des [[Urnenmodell]]s mit Zurücklegen beschreiben: In einer Urne befinden sich zwei Sorten Kugeln ([[Dichotomie|dichotome]] Grundgesamtheit). Der Anteil der Kugeln erster Sorte beträgt <math>p</math>. Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass eine Kugel erster Sorte gezogen wird, beträgt also <math>p</math>.

Es wird nun so lange eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt, bis erstmals genau <math>r</math> Kugeln erster Sorte resultieren. Man kann eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math>: „Zahl der Versuche, bis erstmals <math>r</math> Erfolge resultieren“ definieren. Die Zahl der Versuche liegt in der Menge <math>\{n\in\N|n\geq r\}</math>. <math>X</math> hat abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>n</math> Versuche nötig waren, um <math>r</math> Erfolge zu erzielen, also <math>P(X = n)</math>, berechnet man nach folgender Überlegung:

Es sollen zum jetzigen Zeitpunkt bereits <math>n - 1</math> Versuche stattgefunden haben. Es wurden insgesamt <math>r - 1</math> Kugeln erster Sorte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch die Binomialverteilung der Zufallsvariablen <math>Y</math>: „Zahl der Kugeln erster Sorte bei <math>n - 1</math> Versuchen“ angegeben:

:<math>\operatorname{P}(Y = r-1) = {{n-1} \choose {r-1}} p^{r-1}(1-p)^{n-1-(r-1)} .</math>

Die Wahrscheinlichkeit, dass nun eine weitere Kugel erster Sorte gezogen wird, ist wieder <math>p</math> und wegen der Unabhängigkeit der Züge folgt daher

:<math>\operatorname{P}(X = n)=\operatorname{P}(Y = r-1) \cdot p = {{n-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{n-r} .</math>

Eine Zufallsvariable <math>X</math> heißt damit '''negativ binomialverteilt''' <math>\operatorname{NB}(r,p)</math> mit den Parametern <math>r</math> (Anzahl der erfolgreichen Versuche) und <math>p</math> (Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Erfolges im Einzelversuch), wenn sich für sie die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]
:<math>\operatorname{P}(X = n)={{n-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{n-r} </math>
angeben lässt.

Diese Variante wird hier '''Variante A''' genannt, um Verwechslungen vorzubeugen.

=== Alternative Definition ===
Eine diskrete Zufallsgröße <math>X</math> unterliegt der negativen Binomialverteilung <math>\operatorname{NB}(r,p)</math> mit den Parametern <math>r</math> und <math>p</math>, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
:<math>\operatorname{P}(X=k)={k+r-1\choose k}p^{r}(1-p)^{k}={{k+r-1}\choose k}p^{r}q^{k} = {{-r}\choose k}p^{r}(-q)^{k}</math>
für <math>k = 0,1,2\dotsc</math> besitzt, wobei <math>q=1-p</math>.
Das Auftreten des negativen <math>-r</math> im Binomialkoeffizienten motiviert den Namen dieser Verteilung.

Beide Definitionen stehen über <math>X_A=X+r</math> in Beziehung (wobei <math>X_A</math> die Variante A bezeichne); während die erste Definition also nach der Anzahl der Versuche <math>n</math> (erfolgreiche ''und'' erfolglose) bis zum Eintreten des <math>r</math>-ten Erfolgs fragt, interessiert sich die alternative Darstellung für die Anzahl <math>k</math> der Misserfolge bis zum Eintreten des <math>r</math>-ten Erfolgs. Dabei werden die <math>r</math> Erfolge nicht mitgezählt. Die Zufallsvariable <math>X</math> bezeichnet dann nur die Anzahl der misslungenen Versuche.

Diese Variante wird hier''' Variante B '''genannt.

== Eigenschaften der negativen Binomialverteilung ==

=== Erwartungswert ===
;Variante A
Der [[Erwartungswert]] bestimmt sich zu
:<math> \operatorname{E}(X) = \frac{r}{p}\,</math>.

;Variante B
Bei der alternativen Definition ist der Erwartungswert um <math>r</math> kleiner, also
:<math>\operatorname{E}(X) = \frac{r}{p} - r = \frac{r(1-p)}{p}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der negativen Binomialverteilung ist für beide Definitionen gegeben durch
:<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}</math>.

Die Varianz ist bei der alternativen Definition immer größer als der Erwartungswert ([[Überdispersion]]).

=== Variationskoeffizient ===
;Variante A
Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich sofort der [[Variationskoeffizient]] zu
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{1-p}{r}}</math>

;Variante B
In der alternativen Darstellung ergibt sich
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \frac{1}{\sqrt{r(1-p)}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich für beide Varianten zu:
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{2-p}{\sqrt{r(1-p)}}</math>.
=== Wölbung ===
Der Exzess ist für beide Varianten
:<math> \gamma=\frac{6}{r}+\frac{p^2}{r(1-p)} </math>.

Damit ist dann die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]]
:<math> \beta_2=\frac{6}{r}+\frac{p^2}{r(1-p)}+3 </math>.
=== Charakteristische Funktion ===
;Variante A
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\varphi_{X}(s) = \left(\frac{pe^{\mathrm{i}s}}{1-(1-p)e^{\mathrm{i}s}}\right)^{r}</math>.

;Variante B
Alternativ ergibt sich
:<math> \varphi_X(s)=\left( \frac{p}{1-(1-p)e^{is}}\right)^r</math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
;Variante A
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
:<math>m_{X}(s) = \left(\frac{ps}{1-(1-p)s}\right)^{r}</math> mit <math>0<s<\frac{1}{1-p}</math>.

;Variante B
Analog ist dann
:<math> m_X(s)=\left( \frac{p}{1-(1-p)s}\right)^r</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
;Variante A
Die [[momenterzeugende Funktion]] der negativen Binomialverteilung ist
:<math>M_{X}(s) = \left(\frac{p e^{s}}{1-(1-p) e^s}\right)^{r}</math> mit <math>s<|\ln(1-p)|</math>.

;Variante B
Dann ist die Alternativdarstellung
:<math> M_X(s)=\left( \frac{p}{1-(1-p)e^s}\right)^r</math>

=== Summen von negativ binomialverteilten Zufallsvariablen ===
Sind <math> X_1,X_2 </math> zwei unabhängige negativ binomialverteilte Zufallsvariablen zu den Parametern <math> r_1, r_2 </math> und <math> p </math>. Dann ist <math> X_1+X_2 </math> wieder negativ binomialverteilt zum Parameter <math> r_1+r_2 </math> und <math> p </math>. Die negative Binomialverteilung ist also [[Reproduktivität|reproduktiv]], für die [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] gilt
<math>\operatorname{NB}(r_1,p)*\operatorname{NB}(r_2,p)=\operatorname{NB}(r_1+r_2,p)</math>,

sie bildet eine [[Faltungshalbgruppe]].

== Verallgemeinerung auf reelle Parameter ==
Die obige Herleitung und Interpretation der negativen Binomialverteilung über das Urnenmodell ist nur für <math> r \in \mathbb{N} </math> möglich. Es existiert jedoch auch eine Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung für <math> r \in \mathbb{R}^+ </math>. Dazu wird eine [[Poisson-Verteilung]] <math> P(k|\lambda) </math> betrachtet, deren Intensität <math> \lambda </math> zufällig gemäß einer [[Gamma-Verteilung]] mit den Parametern <math> r </math> und <math>\frac{p}{1-p} </math> verteilt ist. Wird nun die [[Mischverteilung]] dieser beiden Verteilungen gebildet, ergibt sich die sogenannte '''Poisson-Gamma-Verteilung'''. Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Verteilung gilt dann

: <math>\begin{align}
f(k| r, p) & = \int_0^\infty f_{\text{Poi}}(k|\lambda) \cdot f_{\text{Gamma}}(\lambda|r,\frac{p}{1-p}) \; \mathrm{d}\lambda \\[8pt]
& = \int_0^\infty \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \cdot \lambda^{r-1}\frac{e^{-\lambda p/(1-p)}}{\big(\frac{1-p}{p}\big)^r\,\Gamma(r)} \; \mathrm{d}\lambda \\[8pt]
& = \frac{p^r (1-p)^{-r}}{k!\,\Gamma(r)} \int_0^\infty \lambda^{r+k-1} e^{-\lambda/(1-p)} \;\mathrm{d}\lambda \\[8pt]
& = \frac{(p)^r (1-p)^{-r}}{k!\,\Gamma(r)} \ (1-p)^{r+k} \, \Gamma(r+k) \\[8pt]
& = \frac{\Gamma(r+k)}{k!\;\Gamma(r)} \; (1-p)^k p^r.
\end{align}</math>

Für <math> r \in \mathbb{N} </math> ergibt sich gerade die Wahrscheinlichkeitsfunktion der negativen Binomialverteilung. Somit lässt sich die negative Binomialverteilung auch für <math> r \in \mathbb{R}^+ </math> sinnvoll interpretieren. Die Wahrscheinlichkeit, <math>k</math> Erfolge zu erreichen, ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit, bei einer Binomialverteilung mit zufälligem, gammaverteilten Parameter <math>k</math> Erfolge zu erreichen. Die Gamma-Funktionen in der Wahrscheinlichkeitsfunktion können auch durch verallgemeinerte Binomialkoeffizienten ersetzt werden.

Diese Konstruktion entspricht der oben definierten Variante B. Alle Charakteristika, wie Erwartungswert, Varianz und so weiter, bleiben unverändert gültig. Zudem ist die Variante für reelles <math>r>0</math> [[Unendliche Teilbarkeit|unendlich teilbar]].

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Binomialverteilung ===
In der Tabelle wird die Beziehung zur [[Binomialverteilung]] veranschaulicht:

{| class="wikitable"
|
!Deterministisch
!Zufällig
!Fragestellung
|-
!Binomialverteilung
|<math>n</math> Versuche
|<math>X</math> Erfolge
|Wie viele Erfolge <math>X</math> haben wir in <math>n</math> Versuchen?
|-
!Negative Binomialverteilung
|<math>x</math> Erfolge
|<math>N</math> Versuche
|Wie viele Versuche <math>N</math> sind erforderlich, um <math>x</math> Erfolge zu haben?
|}

=== Beziehung zur geometrischen Verteilung ===
Die negative Binomialverteilung geht für <math>r=1</math> in die [[geometrische Verteilung]] über, wobei hier die Variante A zur Variante A der geometrischen Verteilung führt und analog für die Variante B. Andererseits ist Summe <math>X=\sum_{i=1}^{r} X_{i}</math> voneinander unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsgrößen <math>X_{1}, \dots, X_{r}</math> mit demselben Parameter <math>p</math> negativ-binomialverteilt <math>\operatorname{NB}(r,p)</math> mit den Parametern <math>p</math> und <math>r</math>. Auch hier ist zu beachten, welche Parametrisierungsvariante gewählt wurde. Als Summe unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen ist <math>X</math> für große <math>r</math> annähernd normalverteilt.

=== Beziehung zur zusammengesetzten Poisson-Verteilung ===
Die negative Binomialverteilung in der Variante B entsteht aus der [[Zusammengesetzte Poisson-Verteilung|zusammengesetzten Poisson-Verteilung]], wenn man diese mit der [[Logarithmische Verteilung|logarithmischen Verteilung]] kombiniert. Als Parameter wählt man <math> p_\text{log}=1-p_\text{neg} </math> und <math>\textstyle r=\frac{-\lambda}{ \ln(1-p_\text{log})} </math>.

== Beispiel ==

[[Datei:NegBV.png|mini|[[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der negativen Binomialverteilung]]
[[Datei:NegBVFx.png|mini|[[Verteilungsfunktion]] der negativen Binomialverteilung]]

Die Studentin Paula spielt heute Abend Skat. Aus langer Erfahrung weiß sie, dass sie bei jedem 5. Spiel gewinnt. Gewinnen ist folgendermaßen definiert: Sie muss zunächst ein Spiel durch Reizen bekommen, dann muss sie dieses Spiel gewinnen.

Da sie morgen um acht Uhr Statistik-Vorlesung hat, soll der Abend nicht zu lang werden. Deshalb hat sie beschlossen, nach dem 10. gewonnenen Spiel nach Hause zu gehen. Nehmen wir an, dass ein Spiel etwa 4 Minuten dauert (großzügig gerechnet). Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie nach zwei Stunden nach Hause gehen, also nach 30 Spielen?

Wir gehen mit unseren Überlegungen analog zu oben vor:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie in 29 Spielen 9-mal gewonnen? Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung, in Begriffen des Urnenmodells bei 29 Versuchen und 9 Kugeln erster Sorte:

:<math>P(Y=9)={29 \choose 9}0{,}2^9 \cdot 0{,}8^{20}=0{,}0591.</math>

Die Wahrscheinlichkeit, den 10. Gewinn beim 30. Spiel zu machen, ist nun

:<math>P(X=30)=0{,}0591 \cdot 0{,}2=0{,}0118.</math>

Diese Wahrscheinlichkeit scheint nun sehr klein zu sein. Die Grafik der negativ binomialverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> zeigt, dass insgesamt die Wahrscheinlichkeiten sehr klein bleiben. Wie soll da die arme Paula jemals ins Bett kommen? Wir können sie beruhigen: Es genügt ja, danach zu fragen, wie viele Versuche Paula ''höchstens'' braucht, es müssen ja nicht genau 30 sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ''höchstens'' 30 Versuche nötig sind, ist die Verteilungsfunktion <math>F(x)</math> der negativen Binomialverteilung an der Stelle <math>x=30</math>, was hier die Summe der Wahrscheinlichkeiten <math>P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=30)</math> ergibt. Ein Blick auf die Grafik der Verteilungsfunktion zeigt: Wenn Paula mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit zufrieden ist, müsste sie höchstens ca. 50 Spiele absolvieren, das wären 50·4 min = 200 min = 3h 20 min. Um mit einer 80%igen Wahrscheinlichkeit ihre 10 Gewinne zu bekommen, müsste sie höchstens ca. 70 Spiele spielen, also knapp 5 Stunden. Vielleicht sollte Paula doch ihre Strategie der Spielezahl ändern.

== Weblinks ==
* {{EoM
| Autor = A.V. Prokhorov
| Titel = Negative binomial distribution
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Negative_binomial_distribution
| id =
}}
* {{MathWorld
| id = NegativeBinomialDistribution
| title = Negative Binomial Distribution
| author =
}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]] |Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=1. |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Negative Binomialverteilung - Versionsgeschichte

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