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2026-04-20T12:17:41Z

Definition: Formelsatz

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Der '''Nebenklassengraph''' ist ein [[Graphentheorie|graphentheoretisches]] Hilfsmittel der [[Gruppentheorie]]. Durch ihn können einige gruppentheoretische Sachverhalte anschaulich und einfach formuliert werden. In der Vergangenheit konnten einige Beweise durch ihn vereinfacht und stark verkürzt werden.

== Definition ==
Sei <math>G</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], <math>n\in \N</math> und seien <math>P_1,...,P_n</math> [[Untergruppe]]n von <math>G</math>. Sei <math> \Gamma</math> der [[Graph (Graphentheorie)|Graph]] mit Eckenmenge <math>X(\Gamma):=\{ P_ix\mid 1 \leq i \leq n, x\in G\}</math>, aller [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] nach den <math> P_i</math>, und der Kantenmenge <math>K(\Gamma):=\{\{\alpha, \beta\}\mid \alpha\neq\beta\in X(\Gamma), \alpha\cap\beta\neq\emptyset\}</math>. Dann heißt <math>\Gamma</math> der Nebenklassengraph nach den <math>P_i</math>.

== Eigenschaften von Γ ==
<math>G</math> [[Gruppenoperation|operiert]] vermöge Rechtsmultiplikation auf <math>X(\Gamma)</math> und <math>K(\Gamma)</math>. Man spricht dabei häufig von der Operation von <math>G</math> auf <math>\Gamma</math>, wobei aus dem Zusammenhang zu erkennen ist, welche der beiden Operationen gemeint ist. In den meisten Fällen ist von der Operation auf der Eckenmenge die Rede.

Die Operation von <math>G</math> auf <math>\Gamma</math> zerfällt in <math>n</math> Bahnen, wobei <math>P_1,...,P_n</math> jeweils einen Repräsentanten dieser Bahnen darstellen (Insbesondere ist <math>\Gamma</math> [[K-partiter Graph|n-partit]] mit Partitionen <math>\{P_ix|x\in G\}</math>).

=== Bezeichnungen ===
Sei <math>\alpha\in\Gamma</math>. Dann bezeichne <math>\alpha^G</math> die Bahn von <math>\alpha</math> unter <math>G</math> und <math>G_\alpha</math> den Stabilisator von <math> \alpha</math> in <math>G</math>.
Mit <math>\Delta(\alpha)</math> sei die Menge der Nachbarn von <math>\alpha</math> bezeichnet.

=== Einfache Eigenschaften ===
Sei <math>\alpha\in\Gamma</math>. Dann gilt:
* <math>G_\alpha</math> ist zu einem der <math>P_i</math> konjugiert. Genauer: Ist <math>\alpha=P_ix</math>, so ist <math>G_\alpha=P_i^x</math>.
* Die Operation von <math> G </math> auf den Kanten ist transitiv.
* <math>G_\alpha</math> operiert transitiv auf <math>\Delta(\alpha)</math>.
* Der größte Normalteiler von <math>G</math>, der in <math>\bigcap P_i</math> liegt, ist der Kern der Operation von <math> G </math> auf <math>\Gamma</math>.

=== Satz ===
Der folgende Satz zeigt, wie die oft etwas unhandliche Erzeugniseigenschaft in Gruppen mit Hilfe des Nebenklassengraphen in eine einfache graphentheoretische Eigenschaft umformuliert werden kann.

<math>\Gamma</math> ist genau dann [[Zusammenhang von Graphen|zusammenhängend]], wenn <math> G=\langle P_1 \cup \cdots \cup P_n\rangle</math> ist.

== Anwendung ==
Eine wesentliche Anwendung erfährt der Nebenklassengraph in der so genannten [[Amalgam-Methode]], bei der die Untersuchung der Gruppe <math>G</math> reduziert wird auf die Untersuchung von Untergruppen <math>P_i</math>.
Diese Reduktion schafft insofern Vorteile, als dass die Gruppe <math>G</math> unendlich sein darf. Solange nur die <math>P_i</math> endlich sind, stehen sämtliche Sätze und Methoden der endlichen Gruppentheorie zur Verfügung.

== Literatur ==
* A. Delgado, [[David M. Goldschmidt|D. Goldschmidt]], [[Bernd Stellmacher|B. Stellmacher]]: ''Groups and Graphs. New results and Methods.'' Birkhäuser, Basel u. a. 1985, ISBN 3-7643-1736-1 (''Deutsche Mathematiker-Vereinigung.'' DMV-Seminar 6).
* Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: ''Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung.'' Springer-Verlag, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X (''Springer-Lehrbuch'').

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Graph]]

Nebenklassengraph - Versionsgeschichte

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