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2025-09-20T12:53:45Z

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[[Datei:Matrix diagonals qtl1.svg|miniatur|Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix]]
In der [[Mathematik]] bestehen die '''Nebendiagonalen''' einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] aus den Matrixelementen, die auf einer gedachten diagonalen Linie parallel zur [[Hauptdiagonale]] liegen. Gelegentlich werden allerdings auch die [[Gegendiagonale]]n einer Matrix als „Nebendiagonalen“ bezeichnet.

== Definition ==

Die ''Nebendiagonalen'' einer Matrix

:<math>A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n}
\end{pmatrix}</math>

bestehen aus denjenigen Einträgen <math>a_{i,j}</math>, deren Differenz aus Zeilen- und Spaltenindex einen konstanten Wert ungleich null ergibt, das heißt für die <math>j - i = k</math> mit <math>k \neq 0</math> gilt. Eine Nebendiagonale besteht damit aus Matrixeinträgen, die auf einer von links oben nach rechts unten verlaufenden diagonalen Linie liegen.

Die Zahl <math>|k|</math> gibt die Nummer der Nebendiagonale an. Die Diagonalen mit <math>k = \pm 1</math> heißen ''erste Nebendiagonalen'' der Matrix (oder auch nur Nebendiagonalen), die Diagonalen mit <math>k = \pm 2</math> ''zweite Nebendiagonalen'' der Matrix und so weiter. Die Diagonalen mit <math>k < 0</math> werden untere Nebendiagonalen und die Diagonalen mit <math>k > 0</math> werden ''obere Nebendiagonalen'' genannt. Die Diagonale mit <math>k = 0</math> heißt ''[[Hauptdiagonale]]'' der Matrix und wird nicht zu den Nebendiagonalen gezählt.

== Beispiel ==

Die beiden ersten Nebendiagonalen der reellen Matrix

:<math>A = \begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 1 \\
5 & 4 & 3 & 2 \\
6 & 5 & 4 & 3 \\
7 & 6 & 5 & 4
\end{pmatrix}</math>

bestehen aus den Elementen <math>3,3,3</math> und <math>5,5,5</math> die beiden zweiten Nebendiagonalen aus den Elementen <math>2,2</math> und <math>6,6</math> und die beiden dritten Nebendiagonalen aus den Elementen <math>1</math> und <math>7</math>. Die Nebendiagonalen mit den kleineren Elementen sind jeweils die oberen Nebendiagonalen und die mit den größeren Elementen die unteren Nebendiagonalen.

== Verwendung ==
[[Datei:Sarrus rule 001.svg|miniatur|Diagonalen und Gegendiagonalen bei der [[Regel von Sarrus]]]]

Matrizen mit speziellen Besetzungsmustern bezüglich ihrer Nebendiagonalen sind:

* Bei einer [[Diagonalmatrix]] sind die Einträge auf allen Nebendiagonalen gleich null.
* Bei einer [[Bidiagonalmatrix]] sind alle Einträge außerhalb der Diagonalen und einer der beiden ersten Nebendiagonalen gleich null.
* Bei einer [[Tridiagonalmatrix]] sind alle Einträge außerhalb der Diagonalen und den beiden ersten Nebendiagonalen gleich null.
* Bei einer [[Pentadiagonalmatrix]] sind alle Einträge außerhalb der Diagonalen, den beiden ersten und den beiden zweiten Nebendiagonalen gleich null.
* Allgemein sind bei einer [[Bandmatrix]] alle Einträge außerhalb der Diagonalen und den Nebendiagonalen ab einer bestimmten Nummer gleich null.

Matrizen mit einseitigen Besetzungsmustern bezüglich ihrer Nebendiagonalen sind:

* Bei einer [[Dreiecksmatrix]] sind die Einträge auf allen oberen Nebendiagonalen oder allen unteren Nebendiagonalen gleich null.
* Bei einer [[Hessenbergmatrix]] sind die Einträge auf allen oberen Nebendiagonalen ab der zweiten oder allen unteren Nebendiagonalen ab der zweiten gleich null.

Bei einer [[Symmetrische Matrix|symmetrischen Matrix]] stimmen die Nebendiagonalen gleicher Nummer jeweils überein. Eine Matrix, bei der, wie in obigem Beispiel, die Einträge auf der Hauptdiagonalen und auf allen Nebendiagonalen konstant sind, wird [[Toeplitz-Matrix]] genannt.

Bei der [[Regel von Sarrus]] wird die [[Determinante]] einer <math>(3 \times 3)</math>-Matrix mit Hilfe der Hauptdiagonalen, zweier Nebendiagonalen und dreier Gegendiagonalen der um die ersten beiden Spalten erweiterten Matrix berechnet. Die erste obere Nebendiagonale spielt auch in der [[Jordansche Normalform|jordanschen Normalform]] einer Matrix eine wichtige Rolle.

== Siehe auch ==
* [[Diagonaldominante Matrix]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|ISBN=978-0-52183-940-2}}
* {{Literatur|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler|Titel=Numerische Mathematik|Verlag=Vieweg & Teubner|Auflage=8.|Jahr=2011|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Diagonal|id=Diagonal}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Nebendiagonale - Versionsgeschichte

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