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2025-01-13T06:13:07Z

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Eine '''natürliche Matrixnorm''', '''induzierte Matrixnorm''' oder '''Grenzennorm''' ist in der [[Mathematik]] eine von einer [[Vektornorm]] als [[Operatornorm]] abgeleitete [[Matrixnorm]]. Eine natürliche Matrixnorm entspricht anschaulich dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor entsteht. Natürliche Matrixnormen sind immer [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurden, [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]]. Sie sind sogar unter allen mit dieser Vektornorm verträglichen Matrixnormen die kleinsten. Wichtige natürliche Matrixnormen sind die [[Zeilensummennorm]], die [[Spektralnorm]] und die [[Spaltensummennorm]]. Natürliche Matrixnormen werden insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] verwendet.

== Definition ==

Eine [[Matrixnorm]] <math>\| \cdot \|</math> heißt von einer [[Vektornorm]] <math>\| \cdot \|_V</math> induziert oder natürliche Matrixnorm, wenn sie von ihr als [[Operatornorm]] abgeleitet ist. Die natürliche Matrixnorm einer [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> ist damit definiert als

: <math>\| A \| := \max_{x \neq 0} \frac{\| Ax \|_V}{\| x \|_V}</math>,

wobei die Norm im Zähler als Argument einen [[Vektor]] <math>Ax \in {\mathbb K}^m</math> und die Norm im Nenner als Argument einen Vektor <math>x \in {\mathbb K}^{n}</math> besitzt. Da es zu jedem Vektor <math>x \neq 0</math> mit <math>\bar{x} := x / \| x \|_V </math> einen auf [[Eins]] normierten Vektor gibt, hat jede natürliche Matrixnorm auch die Darstellung

: <math>\| A \| = \max_{\| x \|_V =1} \| A x \|_V</math>,

es reicht also aus, das Maximum über alle [[Einheitsvektor]]en zu betrachten. Anschaulich entspricht damit die natürliche Matrixnorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Einheitsvektor entsteht. Eine äquivalente Definition der natürlichen Matrixnorm ist

: <math> \| A \| = \min \left\{ r \ge 0 \mid \| Ax \|_V\le r \, \| x \|_V \; , \forall \; x \neq 0 \right\}</math>

oder analog dazu

: <math> \| A \| = \min \left\{ r \ge 0 \mid \| Ax \|_V \le r \; ,\forall \; \| x \|_{{\mathbb K}^n}= 1 \right\}</math>,

also der [[Radius]] <math>r</math> der kleinsten [[Norm (Mathematik)#Normkugeln|Normkugel]], die die Menge <math>\{ Ax \mid \| x \|_V =1 \}</math> umfasst.

== Beispiel ==
[[Datei:Matrix-2-norm qtl1.svg|mini|Illustration der von der euklidischen Norm induzierten Matrixnorm]]

Gesucht ist die von der [[Euklidische Norm|euklidischen Vektornorm]] <math>\| \cdot \|_2</math> induzierte Matrixnorm der (2 × 2)-Matrix

: <math>A = \left(\begin{matrix} \frac12 & \frac32 \\ -\frac12 & \frac32 \end{matrix}\right)</math>.

Diese Matrix beschreibt als [[lineare Abbildung]] eine gleichzeitige [[Zentrische Streckung|Streckung]] in <math>x</math>-Richtung, [[Stauchung]] in <math>y</math>-Richtung und [[Drehung]] um 45°. In nebenstehendem Bild entspricht der rote Kreis dem [[Einheitskreis]] in der euklidischen Norm, also der Menge der Vektoren mit [[Länge (Mathematik)|Länge]] Eins. Die grüne Ellipse ist dann der Einheitskreis nach Transformation ([[Drehstreckung]]) durch die Matrix <math>A</math>. Die natürliche Matrixnorm von <math>A</math> entspricht dann der Länge desjenigen Vektors auf der grünen Ellipse, dessen Länge maximal ist. Im Beispiel sind dies die beiden Vektoren

: <math>\left( \, \tfrac32, \, \tfrac32 \, \right)</math>   und   <math>\left( \, {-}\tfrac32, \, {-}\tfrac32 \, \right)</math>.

Die natürliche Matrixnorm von <math>A</math> bezüglich der euklidischen Norm ist dann die Länge eines dieser Vektoren und somit

: <math>\| A \| = \max_{\| x \|_2 =1} \| A x \|_2 = \sqrt{ \left( \tfrac32 \right)^2 + \left( \tfrac32 \right)^2 } = 3 \tfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12</math>.

Der blaue Kreis ist der Kreis mit dem kleinsten Radius, der die grüne Menge umfasst; sein Radius entspricht gerade der natürlichen Matrixnorm.

== Eigenschaften ==

Im Weiteren wird der Zusatz <math>V</math> bei der Vektornorm weggelassen, da durch das Argument der Norm implizit klar ist, ob es sich um eine Matrix- oder um eine Vektornorm handelt.

=== Normaxiome ===

Jede natürliche Matrixnorm erfüllt die drei [[Norm (Mathematik)#Definition|Normaxiome]]. Die [[Definitheit]] folgt für <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> aus

: <math>\| A \| = 0 \; \Leftrightarrow \; \max_{x \neq 0} \frac{\| Ax \|}{\| x \|} = 0 \; \Rightarrow \; \| A x \| = 0 \; \forall \; x \neq 0 \; \Rightarrow \; A = 0</math>.

Die [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] folgt für <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>\alpha \in \mathbb K</math> aus der Homogenität der Vektornorm durch

: <math>\| \alpha \cdot A \| = \max_{\| x \| = 1} \| \alpha \cdot Ax \| = \max_{\| x \| = 1} | \alpha | \cdot \| Ax \| = | \alpha | \cdot \max_{\| x \| = 1} \| Ax \| = | \alpha | \cdot \| A \|</math>.

Die [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] folgt <math>A, B \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> ebenfalls aus der Subadditivität der Vektornorm durch

: <math>\| A + B \| = \max_{\| x \| = 1} \| Ax + Bx \| \leq \max_{\| x \| = 1} \| Ax \| + \| Bx \| \leq \max_{\| x \| = 1} \| Ax \| + \max_{\| x \| = 1} \| Bx \| = \| A \| + \| B \|</math>,

wobei hier zudem das Maximum der Summe durch die Summe der Maxima nach oben abgeschätzt wurde.

=== Verträglichkeit ===

Jede natürliche Matrixnorm ist mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurde, [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], das heißt für <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>x \in {\mathbb K}^{n}</math> gilt

: <math>\| Ax \| \leq \| A \| \cdot \| x \|</math>,

was direkt aus der Definition von <math>\| A \|</math> als minimale Zahl <math>r</math> mit

: <math>\| Ax \| \le r \cdot \| x \|</math>

folgt. Damit ist die natürliche Matrixnorm sogar die kleinste Matrixnorm, die mit der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich ist. Sie wird daher Grenzennorm oder auch lub-Norm (nach [[Englische Sprache|engl.]] ''lowest upper bound'') genannt.<ref>{{Literatur |Autor=Schwarz, Köckler |Titel=Numerische Mathematik |Datum= |Seiten=50}}</ref> Weiterhin folgt aus der Verträglichkeit, dass jede natürliche Matrixnorm einer quadratischen Matrix [[Matrixnorm#Abschätzung der Eigenwerte|mindestens so groß]] wie ihr [[Spektralradius]] ist.

=== Submultiplikativität ===

Jede natürliche Matrixnorm ist zudem [[Submultiplikativität|submultiplikativ]], das heißt für <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math> gilt

: <math>\| A \cdot B \| \leq \| A \| \cdot \| B \|</math>,

was direkt aus der Verträglichkeit folgt:

: <math>\| A \, \cdot \, B \| = \max_{\| x \| = 1} \| A \cdot B \cdot x \| \leq \max_{\| x \| = 1} \| A \| \cdot \| B \cdot x \| = \| A \| \cdot \max_{\| x \| = 1} \| B \cdot x \| = \| A \| \cdot \| B \|</math>.

== Spezialfälle ==

=== Einheitsmatrix ===

Für die [[Einheitsmatrix]] <math>I</math> ergibt jede natürliche Matrixnorm den Wert Eins, denn es gilt

: <math>\| I \| = \max_{\| x \| = 1} \| I x \| = \max_{\| x \| = 1} \| x \| = 1</math>.

=== Inverse ===

Ist eine quadratische Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> [[Reguläre Matrix|regulär]], dann gilt für die natürliche Matrixnorm ihrer [[Inverse Matrix|Inversen]]

: <math>\| A^{-1} \| = \max_{\| x \| = 1} \| A^{-1} x \| = \max_{\| Ay \| = 1} \| y \| = \left( \min_{\| Ay \| = 1} \| y \|^{-1} \right)^{-1} = \left( \min_{\| x \| = 1} \| A x \| \right)^{-1}</math>,

wobei sich die letzte Gleichung durch die Substitution <math>y = x \cdot \| Ax \|^{-1}</math> ergibt. Die natürliche Matrixnorm der Inversen ist damit der [[Kehrwert]] des kleinsten Streckungsfaktors, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Einheitsvektor entsteht. Damit lässt sich die [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] einer regulären Matrix

: <math>\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \|</math>

bezüglich einer natürlichen Matrixnorm als das Verhältnis aus größtem und kleinstem Streckungsfaktor, den die Matrix generiert, ansehen.

== Beispiele natürlicher Matrixnormen ==

Die wichtigsten natürlichen Matrixnormen sind von den [[P-Norm|''p''-Normen]] induziert. Drei dieser natürlichen Matrixnormen haben eigene Namen und besondere Bedeutung.

* Die [[Spaltensummennorm]] ist die durch die [[Norm (Mathematik)#Summennorm|Summennorm]] [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]]: <math>\| A \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1 = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | a_{ij} |</math>. Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Spalten der Matrix.
* Die [[Spektralnorm]] ist die durch die [[euklidische Norm]] induzierte Norm: <math>\| A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Ax \|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^H A)}</math>. Sie entspricht der Quadratwurzel des größten Eigenwerts von <math>A^{H} A</math>, wobei <math>A^{H}</math> die [[adjungierte Matrix]] (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) zu <math>A</math> ist.
* Die [[Zeilensummennorm]] ist die durch die [[Maximumsnorm]] induzierte Norm: <math>\| A \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | a_{ij} |}</math>. Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Zeilen der Matrix.

== Verallgemeinerung ==
[[Datei:Matrix-2-infinity-norm qtl1.svg|mini|Illustration der natürlichen Matrixnorm <math>\| A \|_{\infty,2}</math> in zwei Dimensionen]]

Allgemeiner kann eine natürliche Matrixnorm <math>\| \cdot \| \colon {\mathbb K}^{m \times n} \rightarrow \R_{+}</math> auch über zwei verschiedene Vektornormen abgeleitet werden, wobei die eine Norm <math>\| \cdot \|_a \colon {\mathbb K}^n \rightarrow \R_{+}</math> die Größe eines Vektors im Ausgangsraum misst und die andere Norm <math>\| \cdot \|_b \colon {\mathbb K}^m \rightarrow \R_{+}</math> die Größe eines Vektors im Zielraum. Damit ist die von diesen beiden Normen induzierte Matrixnorm definiert als

: <math>\| A \|_{b,a} := \max_{x \neq 0} \frac{\| Ax \|_b}{\| x \|_a} = \min \left\{ r \ge 0 \mid \| Ax \|_b \le r \, \| x \|_a \; \forall \; x \neq 0 \right\}</math>.

Sie ist aufgrund ihrer Definition als Minimum mit den beiden Vektornormen verträglich im Sinne von

: <math>\| A x \|_b \leq \| A \|_{b,a} \cdot \| x \|_a</math>

und für <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math> submultiplikativ mit <math>\| \cdot \|_c \colon {\mathbb K}^l \rightarrow \R_{+}</math> als dritter Vektornorm im Sinne von

: <math>\| A B \|_{b,c} \leq \| A \|_{b,a} \cdot \| B \|_{a,c}</math>,

da aufgrund der Verträglichkeit analog zu oben

:<math>\| A B \|_{b,c} = \max_{\| x \|_c = 1} \| A B x \|_b \leq \max_{\| x \|_c = 1} \| A \|_{b,a} \| B x \|_a = \| A \|_{b,a} \max_{\| x \|_c = 1} \| B x \|_a = \| A \|_{b,a} \| B \|_{a,c}</math>

gilt. Meist wird aber in der Praxis statt unterschiedlicher Vektornormen die gleiche Norm im jeweiligen [[Vektorraum]] verwendet.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=[[Alfio Quarteroni]], Riccardo Sacco, Fausto Saleri
|Titel=Numerische Mathematik 1
|Verlag=Springer
|Datum=2002
|ISBN=3-540-67878-6}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}
* [[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]]: ''Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen.'' Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-32185-6.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=NaturalNorm|title=Natural Norm}}
* {{PlanetMath|id=MatrixPnorm|title=Matrix p-norm|author=Cam McLeman, Logan Hanks, Pedro Sanchez}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Naturliche Matrixnorm}}
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Natürliche Matrixnorm - Versionsgeschichte

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