https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Napoleon-PunktNapoleon-Punkt - Versionsgeschichte2026-06-05T19:30:35ZVersionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale KopieMediaWiki 1.43.8https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Napoleon-Punkt&diff=379116&oldid=previmported>Wfstb: Ein Link genügt2025-07-05T16:10:53Z<p>Ein Link genügt</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>Die beiden '''Napoleon-Punkte''', benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser [[Napoléon Bonaparte]], gehören zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] im [[Dreieck]].<br />
<br />
== Definition ==<br />
[[Datei:Napoleon-Punkt-1 005.svg|mini|hochkant=1.25|1. Napoleon-Punkt N, Dreieckszentren in blau]]<br />
Der ''1.&nbsp;Napoleon-Punkt'' ist folgendermaßen definiert:<br />
<br />
Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks werden nach außen drei [[Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] gezeichnet. Verbindet man die [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkte]] dieser Dreiecke mit den gegenüberliegenden Ecken des ursprünglichen Dreiecks, so schneiden sich die [[Verbindungsgerade]]n in einem Punkt, dem 1. Napoleon-Punkt des gegebenen Dreiecks.<ref name="Grundmann-Napoleonpunkte">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=79-80}}</ref><br />
<br />
Zeichnet man die gleichseitigen Dreiecke jeweils auf die andere Seite (nach innen), so erhält man entsprechend den ''2. Napoleon-Punkt''.<ref name="Grundmann-Napoleonpunkte" /><br />
<br />
== Eigenschaften ==<br />
<br />
* Die Verbindungslinien zwischen den Schwerpunkten der aufgesetzten Dreiecke bilden immer ein gleichseitiges Dreieck (das [[Napoleon-Dreieck]]), unabhängig von der Länge der Grundseiten. Dieses Dreieck hat den gleichen Schwerpunkt wie das ursprüngliche Dreieck ABC.<br />
* Die beiden Napoleon-Punkte liegen auf der [[Kiepert-Hyperbel]].<ref>{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=207}}</ref><br />
<br />
== Koordinaten ==<br />
<br />
Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] der Napoleon-Punkte sind<br />
:<math>\csc \left(\alpha\pm\frac{\pi}{6}\right) : \csc \left(\beta\pm\frac{\pi}{6} \right) : \csc \left(\gamma\pm\frac{\pi}{6} \right).</math><ref name="ETC-X17">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X17 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(17), X(18) |sprache=en |abruf=2025-01-27}}</ref><br />
Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind<br />
:<math>a \cdot \csc \left(\alpha\pm\frac{\pi}{6} \right) : b \cdot \csc \left(\beta\pm\frac{\pi}{6} \right) : c \cdot \csc \left(\gamma\pm\frac{\pi}{6} \right).</math><ref name="ETC-X17" /><br />
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den ersten Napoleon-Punkt (<math>X_{17}</math>), die Minuszeichen für den zweiten (<math>X_{18}</math>).<br />
<br />
== Weblinks ==<br />
* {{MathWorld |id=NapoleonPoints |title=Napoleon Points}}<br />
* [http://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=tmwiki:napoleonpunkt Napoleon-Punkt] – eine Visualisierung des 1.&nbsp;Napoleon-Punktes mit dem dynamischen Geometrieprogramm [[GeoGebra]]<br />
<br />
== Einzelnachweise ==<br />
<references /><br />
<br />
{{SORTIERUNG:Napoleonpunkt}}<br />
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]<br />
[[Kategorie:Napoleon Bonaparte als Namensgeber]]</div>imported>Wfstb