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2024-09-19T07:51:27Z

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Die '''Nakajima-Zwanzig-Gleichung''' (benannt nach den beiden Physikern [[Sadao Nakajima (Physiker)|Sadao Nakajima]] und [[Robert Zwanzig]]) ist eine [[Integralgleichung#Dualität von Integral- und Differentialgleichungen|Integrodifferentialgleichung]], welche die [[Zeitentwicklung]] des „relevanten“ Anteils eines [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Systems beschreibt. Sie wird im [[Dichteoperator]]formalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der [[Mastergleichung]] angesehen werden.

Die Gleichung ist Teil der [[Mori-Zwanzig-Theorie]] in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] irreversibler Prozesse (benannt zusätzlich nach [[Hazime Mori]]). Dabei wird mit Hilfe eines Projektionsoperators die Dynamik in einen langsamen, kollektiven Anteil zerlegt (''relevanter Anteil'') und in einen schnell fluktuierenden ''irrelevanten'' Anteil. Ziel ist es, dynamische Gleichungen für den kollektiven Anteil zu entwickeln.

== Herleitung ==
Beginnend<ref>Die Herleitung findet sich ähnlich wie hier z. B. in H.-P. Breuer, F. Petruccione: ''The theory of open quantum systems.'' Oxford University Press, 2002, S. 443ff.</ref> mit der quantenmechanischen [[Liouville-Gleichung]] (von Neumann Gleichung)
:<math>{d}_{t} \rho = \frac{i}{\hbar}[\rho,H] = L \rho </math>
mit dem Liouvilleoperator <math>L</math> definiert durch <math>L A = \frac{i}{\hbar}[A,H]</math>.

Der [[Dichteoperator]] (Dichtematrix) <math>\rho</math> wird durch den [[Projektion (lineare Algebra)|Projektionsoperator]]
<math>\mathcal{P}</math>
in zwei Anteile
<math>\rho =\left( \mathcal{P}+\mathcal{Q} \right)\rho </math>
zerlegt, mit <math>\mathcal{Q}\equiv 1-\mathcal{P}</math>. Der Projektionsoperator <math>\mathcal{P}</math> projiziert auf den oben angesprochenen ''relevanten'' Anteil, für den eine [[Bewegungsgleichung]] abgeleitet werden soll.

Die Liouville - von Neumann Gleichung kann also durch
:<math>{{d}_{t}}\left( \begin{matrix}
\mathcal{P} \\
\mathcal{Q} \\
\end{matrix} \right)\rho =\left( \begin{matrix}
\mathcal{P} \\
\mathcal{Q} \\
\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
\mathcal{P} \\
\mathcal{Q} \\
\end{matrix} \right)\rho +\left( \begin{matrix}
\mathcal{P} \\
\mathcal{Q} \\
\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
\mathcal{Q} \\
\mathcal{P} \\
\end{matrix} \right)\rho </math>
dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch
:<math>\mathcal{Q}\rho ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\rho (t=0)+\int_{0}^{t}{dt'{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\rho (t-{t}')}</math>

gelöst. Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

:<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\rho =\mathcal{P}L\mathcal{P}\rho +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\rho (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int_{0}^{t}{dt'{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\rho (t-{t}')}</math>

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet<ref>Dies kann man machen, wenn man annimmt, dass der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist, also der Projektor für t=0 die Identität ist.</ref> und der Abkürzung
:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>,
<math>\mathcal{P}\rho \equiv {{\rho }_{rel}}</math>
sowie der Ausnutzung von
<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
erhält man die endgültige Form
::<math>{\text{d}}_{t}{\rho }_{rel}=\mathcal{P}L{{\rho}_{rel}}+\int_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\rho }_{rel}}(t-{t}')}</math>

== Literatur ==
* E. Fick, G. Sauermann: ''The Quantum Statistics of Dynamic Processes.'' Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-50824-4.
* Heinz-Peter Breuer, Francesco Petruccione: ''Theory of Open Quantum Systems.'' Oxford 2002, ISBN 0-19-852063-8.
* Hermann Grabert: ''Projection operator techniques in nonequilibrium statistical mechanics.'' (= Springer Tracts in Modern Physics. Band 95). 1982.
* R. Kühne, P. Reineker: ''Nakajima-Zwanzig's generalized master equation: Evaluation of the kernel of the integro-differential equation.'' In: ''Zeitschrift für Physik B (Condensed Matter).'' Band 31, 1978, S. 105–110. {{doi|10.1007/BF01320131}}

=== Originalarbeiten ===
* {{Literatur|Autor=Sadao Nakajima|Titel=On Quantum Theory of Transport Phenomena|Sammelwerk=Progress of Theoretical Physics|Band=20|Nummer=6|Seiten=948–959|Jahr=1958}}
* {{Literatur|Autor=Robert Zwanzig|Titel=Ensemble Method in the Theory of Irreversibility|Sammelwerk=Journal of Chemical Physics|Band=33|Nummer=5|Seiten=1338–1341|Jahr=1960}}

== Quellen ==
* [https://wiki.physikerwelt.de/wiki/Nakajima-Zwanzig-Gleichung Originalartikel]

== Anmerkungen und Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Nakajima-Zwanzig-Gleichung - Versionsgeschichte

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