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2025-01-22T15:39:51Z

Koordinaten: Exponent vergessen, ohne Klammern

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[[Datei:Nagel punkt.svg|mini|hochkant=1.25|Nagel-Punkt N]]
Der '''Nagel-Punkt''', benannt nach dem deutschen [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Christian Heinrich von Nagel]] (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|besonderen Punkten]] eines [[Dreieck]]s. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die [[Ankreis]]e die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.<ref>{{Literatur |Titel=Ebene Geometrie |Autor=Max Koecher, Aloys Krieg |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg New York |Auflage=3 |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49327-3 |Seiten=180}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den [[Inkreis]]mittelpunkt I und den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der '''Nagel-Geraden''', und es gilt <math>\overline{NS} : \overline{SI} = 2 : 1</math>, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt.<ref name="Grundmann-Nagelgerade">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=160-161}}</ref> In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]] auf.
* Der [[Spieker-Punkt]] ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.<ref name="Grundmann-Nagelgerade" />
* Der Nagelpunkt und der [[Gergonne-Punkt]] sind [[Isotomisch konjugierte Punkte|isotomisch konjugiert]].<ref name="ETC-X8">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X8 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(8) |sprache=en |abruf=2025-01-22}}</ref>

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Nagel-Punkts (<math>X_8</math>) sind (gleichwertig)
:<math>\frac{b+c-a}{a} \, : \, \frac{c+a-b}{b} \, : \, \frac{a+b-c}{c}</math> oder
:<math>\csc^2\frac{\alpha}{2} : \csc^2\frac{\beta}{2} : \csc^2\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X8" />

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind (gleichwertig)
:<math>(b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c)</math> oder
:<math>\cot\frac{\alpha}{2} : \cot\frac{\beta}{2} : \cot\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X8" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Literatur ==
* Peter Baptist: ''Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt.'' In: ''Sudhoffs Archiv'' 71, 1987, 2, S. 230–233
* [[Roger Arthur Johnson|Roger A. Johnson]]: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').
* Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: [http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0411.pdf ''Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space'']. [[Journal for Geometry and Graphics]], Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
* [[Victor Thébault]]: ''Nagel Point in the Tetrahedron''. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 ({{JSTOR|2305352}})

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/NagelPoint.html Eric W. Weisstein. „Nagel Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource]
* [https://polymathematics.typepad.com/polymath/the-.html The Nagel and Gergonne Points]
* Heinz Klemenz: [https://geosoft.ch/matrizen/MerkwuerdigePunkte.pdf ''Merkwürdiges im Dreieck'']

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

[[fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Nagel]]

Nagel-Punkt - Versionsgeschichte

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