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2026-01-05T17:37:25Z

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Der '''Nabla-Operator''' ist ein Symbol, das in der [[Vektoranalysis|Vektor-]] und [[Tensoranalysis]] benutzt wird, um kontextabhängig einen der drei [[Differentialoperator]]en [[Gradient (Mathematik)|Gradient]], [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] oder [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] zu notieren. Das Formelzeichen des [[Operator (Mathematik)|Operators]] ist das [[Nabla]]-Symbol <math>\nabla</math> (auch <math>\vec{\nabla}</math> oder <math>\underline\nabla</math>, um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen).

Der Name „Nabla“ leitet sich ab von einem [[harfe]]nähnlichen phönizischen<ref>{{Literatur |Autor=K. E. Georges |Titel=Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch |Band=Band 4 (M–Q) |Auflage=1 |Verlag=Hofenberg |Ort=Berlin |ISBN=978-3-8430-4923-8 |Kommentar=Vollständige Neuausgabe der 8. Auflage von 1913 |Hrsg=Karl-Maria Guth |Datum=2014}}</ref> Saiteninstrument, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte. Die Schreibweise wurde von [[William Rowan Hamilton]] (1805–1865) eingeführt und vom Mathematiker [[Peter Guthrie Tait]] (1831–1901) weiterentwickelt.<ref>{{Literatur | Autor=Wolfgang Werner | Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik | TitelErg=Tensoralgebra und Tensoranalysis | Seiten=352 | Band=1 | Verlag=Springer Vieweg | Ort=Wiesbaden | Jahr=2019 | ISBN=978-3-658-25271-7 | DOI=10.1007/978-3-658-25272-4}}</ref> Im Englischen wird der Operator als „del“ bezeichnet.<ref>{{MathWorld|id = Del|title = Del|author = Eric Weisstein}}</ref>

== Definition ==
Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungsoperatoren]] <math>\textstyle\frac\partial{\partial x_i}</math> sind:

:<math>
\vec\nabla =\left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots,\frac\partial{\partial x_n}\right)
</math>

Er kann dabei sowohl als Spaltenvektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilenvektor (zum Beispiel div) auftreten.<ref>Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der [[Differentialgeometrie]] und im mathematischen Formalismus der [[Relativitätstheorie]] auch als ''kovariant'' beziehungsweise ''kontravariant'' bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.</ref>
Im dreidimensionalen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] schreibt man auch:

:<math>
\vec\nabla =\left(\frac\partial {\partial x},\frac\partial {\partial y},\frac\partial {\partial z}\right) =\vec e_x\frac\partial {\partial x} +\vec e_y\frac\partial {\partial y} +\vec e_z\frac\partial {\partial z}
</math>

Dabei sind <math>\vec e_x</math>, <math>\vec e_y</math> und <math>\vec e_z</math> die [[Einheitsvektor]]en des Koordinatensystems. In allgemein [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinaten]] <math>\Theta_i</math> sind die Einheitsvektoren durch die kontravarianten Basisvektoren zu ersetzen:

:<math>
\vec\nabla =\sum_{i=1}^n\vec{g}^i\frac\partial {\partial\Theta_i}
\quad\text{mit}\quad
\vec{g}^i:=\operatorname{grad}\Theta_i
\,.
</math>

Darin ist <math>\operatorname{grad}</math> der Gradientenoperator. Bei der Anwendung dieses Nabla-Operators auf ein Vektorfeld ist zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen von den Koordinaten <math>\Theta_i</math> abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von beispielsweise <math>\textstyle\frac\partial{\partial x_i}</math> mit einer rechts davon stehenden Funktion <math>f</math> als partielle Ableitung <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i}</math> interpretiert wird.

== Darstellung anderer Differentialoperatoren ==
=== Im n-dimensionalen Raum ===
Sei <math>D\subset\mathbb R^n</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]], <math>f\colon D\to\R</math> eine differenzierbare Funktion und <math>\vec{V} = (V_1,\dots, V_n)^\top\colon D\to\R^n</math> ein differenzierbares [[Vektorfeld]]. Das hochgestellte ┬ bezeichnet die [[Transponierte Matrix|Transposition]].

Das (formale) Produkt von <math>\vec\nabla</math> mit der Funktion <math>f</math> ergibt deren Gradienten:

:<math>
\vec\nabla f =\operatorname{grad} f =\left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top\,.
</math>

Das transponierte (formale) [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] „<math>\otimes</math>“ von <math>\vec\nabla</math> mit dem Vektorfeld <math>\vec V</math> ergibt dessen Gradienten oder [[Jacobi-Matrix]]:

:<math>
(\vec\nabla\otimes\vec V)^\top =\operatorname{grad}\vec V = J_{\vec V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_1}{\partial x_1} &\ldots &\frac{\partial V_1}{\partial x_n}\\
\vdots &\ddots &\vdots\\
\frac{\partial V_n}{\partial x_1} &\ldots &\frac{\partial V_n}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
\,.</math>

Das (formale) [[Skalarprodukt]] mit dem Vektorfeld <math>\vec V</math> ergibt dessen Divergenz:

:<math>
\vec\nabla\cdot\vec V =\operatorname{div}\vec{V} =\sum_{i=1}^n\frac{\partial V_i}{\partial x_i}\,.
</math>

Sie ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] des Gradienten.

=== Laplace-Operator ===
Das (formale) Skalarprodukt <math>\vec\nabla^2</math> von <math>\vec\nabla</math> mit sich selbst ergibt den [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>, denn es gilt

:<math>
\nabla^2 =\vec\nabla\cdot\vec\nabla =\sum_{i = 1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} =\Delta\,.
</math>

Manche Autoren verwenden das Symbol <math>\nabla^2</math> oder <math>\vec\nabla \vec\nabla</math> auch für die [[Hesse-Matrix]], deshalb sollte immer der Kontext angegeben werden.
=== Richtungsableitung ===
Bei einem gegebenen Vektor <math>\vec H</math> kann mit dem Operator

:<math>
\operatorname{D}_{\vec H}:=\vec{H}\cdot\vec{\nabla}
=\sum_{i = 1}^n H_i\frac{\partial}{\partial x_i}
</math>

die [[Richtungsableitung]] von differenzierbaren Funktionen <math>f</math> in Richtung des Vektors <math>\vec H</math> berechnet werden:

:<math>
\operatorname{D}_{\vec H} f
=(\vec{H}\cdot\vec{\nabla})f
=\vec{H}\cdot\vec{\nabla}f
=\vec H\cdot\operatorname{grad}(f)
=\operatorname{grad}(f)\cdot\vec H
</math>

siehe den [[Gradient (Mathematik)#Zusammenhang mit der Richtungsableitung|Zusammenhang zwischen Gradient und Richtungsableitung]]. Ist die Funktion ein Vektorfeld <math>\vec V</math>, dann berechnet sich das Produkt aus der Jacobi-Matrix des Feldes und dem Vektor:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{D}_{\vec H}\vec{V}
&=
\underbrace{(\vec{H}\cdot\vec{\nabla})\vec V}
=\vec H\cdot(\vec\nabla\otimes\vec V)
=(\vec\nabla\otimes\vec V)^\top\cdot\vec H
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\underbrace{\mathrm{grad}(\vec V)}\cdot\vec H
\\&=
\begin{pmatrix}
H_1\frac{\partial}{\partial x_1}V_1 +& \ldots &
+ H_n\frac{\partial}{\partial x_n}V_1\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
H_1\frac{\partial}{\partial x_1}V_n+&\ldots&
+H_n\frac{\partial}{\partial x_n}V_n
\end{pmatrix}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_1}{\partial x_1} &\ldots &
\frac{\partial V_1}{\partial x_n}\\
\vdots &\ddots &\vdots\\
\frac{\partial V_n}{\partial x_1} &\ldots &
\frac{\partial V_n}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}H_1\\ \vdots \\ H_n\end{pmatrix}
\end{align}
</math>

siehe [[Vektorgradient]] und die [[#Anwendung in der Kontinuumsmechanik|Anwendung in der Kontinuumsmechanik]] unten.

=== Im dreidimensionalen Raum ===

Sei <math>D\subset\mathbb R^3</math> nun eine offene Teilmenge, <math>f\colon D\to\R</math> eine differenzierbare Funktion und <math>\vec{V}=(V_x, V_y , V_z)^\top\colon D\to\R^3</math> ein differenzierbares Vektorfeld. Die Indizes …x,y,z bezeichnen hier die Vektorkomponenten und keine Ableitungen. Im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit den kartesischen Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das [[Skalarfeld]] <math>f</math> ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

:<math>
\operatorname{grad}f =\vec\nabla f =
\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)^\top =
\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x +\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y +\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z\,.
</math>

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind <math>\vec e_x,\,\vec e_y,\,\vec e_z</math> die [[Einheitsvektor]]en des <math>\R^3</math>.

Der Nabla-Operator angewandt auf das [[Vektorfeld]] <math>\vec{V}</math> ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

:<math>
\operatorname{div}\vec{V} =
\vec{\nabla}\cdot\vec{V} =
\frac{\partial V_x}{\partial x} +\frac{\partial V_y}{\partial y} +\frac{\partial V_z}{\partial z},
</math>

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale [[Kreuzprodukt]] als

:<math>
\operatorname{rot}\vec{V} =
\vec{\nabla}\times\vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_y}{\partial z}\\
\frac{\partial V_x}{\partial z} -\frac{\partial V_z}{\partial x}\\
\frac{\partial V_y}{\partial x} -\frac{\partial V_x}{\partial y}
\end{pmatrix}
</math>

also wieder ein Vektorfeld.

[[Zylinderkoordinaten]] <math>(\rho,\varphi,z)</math> und [[Kugelkoordinaten]] <math>(r,\theta,\varphi)</math> sind Beispiele für krummlinige Koordinaten. Die Formeln für den [[Gradient (Mathematik)#Zylinder- und Kugelkoordinaten|Gradienten in Zylinder- und Kugelkoordinaten]] ergeben sich aus den Nabla-Operatoren

:<math>
\begin{align}
\text{in Zylinderkoordinaten:}\quad&
\vec\nabla
=
\vec{e}_\rho\frac{\partial}{\partial\rho}
+\frac1\rho\vec{e}_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}
+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}
\\
\text{bzw. Kugelkoordinaten:}\quad&
\vec\nabla
=
\vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r}
+\frac{1}{r}\vec{e}_\theta\frac{\partial}{\partial\theta}
+\frac{1}{r\sin\theta}\vec{e}_{\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}
\,.\end{align}
</math>

Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist wie oben erwähnt zu beachten, dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen wie auch hier von den Koordinaten abhängen und ebenfalls zu differenzieren sind. Beispielsweise ergibt sich für die Divergenz eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten, wo die Basisvektoren <math>\vec{e}_\rho</math> und <math>\vec{e}_\varphi</math> vom Winkel φ abhängen und <math>\tfrac{\partial}{\partial\varphi}\vec{e}_\rho=\vec{e}_\varphi,\,\tfrac{\partial}{\partial\varphi}\vec{e}_\varphi=-\vec{e}_\rho</math> gilt:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{div}\vec V =&\vec\nabla\cdot\vec V
=\left(\vec{e}_\rho\frac{\partial}{\partial\rho}
+\frac1\rho\vec{e}_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}
+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(V_\rho\vec{e}_\rho+V_\varphi\vec{e}_\varphi+V_z\vec{e}_z)
\\=&
\frac{\partial}{\partial\rho}V_\rho
+\frac1\rho\vec{e}_\varphi\cdot\frac{\partial}{\partial\varphi}
(V_\rho\vec{e}_\rho+V_\varphi\vec{e}_\varphi+V_z\vec{e}_z)
+\frac{\partial V_z}{\partial z}
\\=&
\frac{\partial}{\partial\rho}V_\rho
+\frac1\rho\vec{e}_\varphi\cdot\left(
\frac{\partial V_\rho}{\partial\varphi}\vec{e}_\rho
+V_\rho\vec{e}_\varphi
+\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}\vec{e}_\varphi
-V_\varphi\vec{e}_\rho
+\frac{\partial V_z}{\partial\varphi}\vec{e}_z
\right)
+\frac{\partial V_z}{\partial z}
\\=&
\frac{\partial V_\rho}{\partial\rho}+\frac1\rho V_\rho
+\frac1\rho\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}
+\frac{\partial V_z}{\partial z}
\,.\end{align}
</math>

== Notation mit Subskript ==

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein [[Subskript]] angedeutet. Für eine Funktion <math>f(\vec{r},t)</math> mit <math>\vec{r}=(x_1, x_2,\dotsc, x_n)</math> beispielsweise ist

:<math>
\vec\nabla_{\vec{r}} f =\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top
</math>

im Gegensatz zu

:<math>
\vec\nabla f =\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n},\frac{\partial{f}}{\partial t}\right)^\top
\,.
</math>

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d. h. die einzeilige [[Jacobi-Matrix]]) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Gelegentlich tritt alternativ für die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol <math>\vec\nabla_{\vec{r}}</math> die Schreibweise <math>\tfrac{\partial}{\partial\vec{r}}</math> auf.<ref>Jürgen Schnakenberg: ''Elektrodynamik.'' John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3-527-40369-8, S. 31 ff., ({{Google Buch |BuchID=abAt1paigIIC |Seite=31}}).</ref>

== Darstellung als Quaternion ==
{{Hauptartikel|Quaternion}}

Sir [[William Rowan Hamilton]]<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur |Autor=H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert |Titel=Zahlen |Band=Band 1 ''Grundwissen und Mathematik'' |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin u. a. |Datum=1983 |ISBN=978-3-540-12666-9 |Online={{Google Buch |BuchID=Dp-gBgAAQBAJ |Seite=141}} |DOI=10.1007/978-3-642-96783-2}}</ref> definierte den Nabla-Operator als ''reine Quaternion''

:<math>\nabla:=\mathrm{i}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{j}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mathrm{k}\,\frac{\partial}{\partial z}</math>

mit den komplex-imaginären Einheiten <math>\mathrm{i}</math>, <math>\mathrm{j}</math> und <math>\mathrm{k}</math>, die durch die ''Hamilton-Regeln'' <math>\mathrm{i^2 = j^2 = k^2 = i\,j\,k = -1}</math> nicht [[Kommutativgesetz|kommutativ]] verknüpft sind. Beispielsweise gilt <math>\mathrm{j\,k = -k\,j = i}</math>.

Anwendung auf eine reellwertige Funktion <math>f</math> (formale Multiplikation) liefert die quaternionische Entsprechung für deren Gradient und Laplace-Ableitung:

:<math>\begin{align}
\nabla f=&
\mathrm{i}\,\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{j}\,\frac{\partial f}{\partial y}
+\mathrm{k}\,\frac{\partial f}{\partial z}=\operatorname{grad}f
\\
\nabla\nabla f
=&
\nabla\cdot\nabla f
=-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
=-\Delta f
\end{align}</math>

Anwendung auf eine reine Quaternion <math>q = \mathrm{i}\,u + \mathrm{j}\,v + \mathrm{k}\,w</math> (formale Multiplikation) liefert:

:<math>\begin{align}
\nabla q
=&
-\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial w}{\partial z}
+\mathrm{i}\,\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)
+\mathrm{j}\,\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)
+\mathrm{k}\,\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)
\\=&-\nabla\cdot q+\nabla\times q
=-\operatorname{div}q+\operatorname{rot}q
\end{align}</math>

Die hier benutzten Definitionen des Skalarprodukts und Kreuzprodukts von Quaternionen sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

== Rechenregeln ==
Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die [[Produktregel]] anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind <math>\psi</math> und <math>\varphi</math> differenzierbare Skalarfelder (Funktionen) und <math>\vec A</math> sowie <math>\vec B</math> differenzierbare Vektorfelder, so gilt:

:<math>
\vec{\nabla}\varphi(\psi)
=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\psi}\vec{\nabla}\psi
</math> (Kettenregel für Gradient)

:<math>
\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi
</math> (Produktregel für Gradient)

:<math>
\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)
</math>

:<math>
\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi
</math>

:<math>
\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)
</math>

:<math>
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div(grad}\varphi)=\Delta\varphi
</math> (siehe auch [[Laplace-Operator]])

:<math>
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div(rot}\vec A)=0
</math>

:<math>
\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot(grad}\varphi)=0
</math>

:<math>
\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times\vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi
</math>

:<math>
\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B
</math>

:<math>
\vec\nabla\times (\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{rot(rot}\vec A)=\operatorname{grad(div}\vec A) -\Delta\vec A
</math> (siehe auch [[vektorieller Laplace-Operator]])

Weitere Rechenregeln siehe unter [[Gradient (Mathematik)|Gradient]], [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]].

== Anwendung in der Kontinuumsmechanik ==
In der [[Kontinuumsmechanik]] wird der Nabla-Operator dazu verwendet, zusätzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradienten eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines [[Tensorfeld]]es zu definieren. Hier kann der Nabla-Operator gelegentlich auch nach links wirken.<ref>{{Literatur | Autor=P. Haupt | Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials | Auflage=2 | Verlag=Springer | Datum=2002 | ISBN=978-3-540-43111-4 | Sprache=en}}</ref>

Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation für die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen. Sei also <math>D\subset\mathbb R^3</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]], <math>\vec{V} = (V_x, V_y, V_z)^\top\colon D\to\R^3</math> ein differenzierbares [[Vektorfeld]] mit Komponenten Vx,y,z, die wie üblich nach dem Schema x→1, y→2 und z→3 durchnummeriert werden, und <math>\mathbf{T}\colon D\to\R^{3\times 3}</math> ein differenzierbares Tensorfeld zweiter Stufe mit Komponenten <math>T_{ij}\,,\;i,j=1,2,3</math> bezüglich eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]].

Das transponierte dyadische Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld <math>\vec{V}</math> ergibt – wie oben dargelegt – den [[Gradient eines Vektorfeldes|Gradienten eines Vektorfeldes]]

:<math>
(\vec{\nabla}\otimes\vec{V})^\top
=
\operatorname{grad}(\vec{V})
:=\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vec{V}}{\partial x_j}\otimes\vec{e}_j
=\sum_{i=1}^3\vec{e}_i\otimes\operatorname{grad}(V_i)
=
\sum_{i,j=1}^3\frac{\partial V_i}{\partial x_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
</math>

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Der so definierte Gradient stimmt mit der [[Fréchet-Ableitung]] überein:

:<math>
\operatorname{grad}(\vec{V})\cdot\vec{h}
=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})\right|_{s=0}
=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})-\vec{V}(\vec{x})}{s}\quad\text{für alle}\;\vec{x},\vec{h}\in D
</math>

und nähert das Vektorfeld in der Nähe eines Punktes <math>\vec x</math> linear an:

:<math>\vec V(\vec y)-\vec V(\vec x)
=\mathrm{grad}(\vec V)\cdot(\vec y-\vec x)
+\mathcal{O}(|\vec y-\vec x|)
</math> wenn <math>\vec y\to\vec x</math>

Das [[Landau-Symbole|Landau-Symbol]] <math>\mathcal{O}(x)</math> stellt eine Größe dar, die langsamer wächst als ihr Argument <math>x</math>.

Das linksseitige Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensorfeld zweiter Stufe ergibt formal die Divergenz des Tensorfeldes:<ref name="hbphys">{{Literatur | Autor=C. Truesdell | Herausgeber=S. Flügge | Titel=Festkörpermechanik II | Sammelwerk=Handbuch der Physik | Band=Bd. VIa/2 | Verlag=Springer | Jahr=1972 | ISBN=3-540-05535-5}}</ref>

:<math>
\vec\nabla\cdot(\mathbf{T}^\top)=\operatorname{div}(\mathbf{T})
=\sum_{k=1}^3\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_k}\cdot\vec{e}_k
=\sum_{i,j}^3\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}\vec{e}_i
</math>

also ein Vektorfeld. Sie entspricht der Definition

:<math>\mathrm{div}(\mathbf{T})\cdot\vec c
=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right)
\quad\text{für alle}\;\vec c\in\mathbb V</math>.

Es wird auch die nicht-transponierte Version benutzt, <math>\vec\nabla\cdot\mathbf{T}</math>, die bei [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] Tensoren zum selben Ergebnis führt.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem transponierten Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation:<ref name="hbphys" />

:<math>
\vec{\nabla}\times(\mathbf{T}^\top)
=\operatorname{rot}(\mathbf{T})
=\sum_{i,j,l=1}^3\vec{e}_i\times
\frac{\partial T_{lj}}{\partial x_i}(\vec{e}_j\otimes\vec{e}_l)
=
\sum_{i,j,k,l=1}^3
\epsilon_{ijk}\frac{\partial T_{lj}}{\partial x_i}(\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
</math>

also ein Tensorfeld zweiter Stufe. Darin ist ϵijk = (êi × êj) · êk das [[Permutationssymbol]]. Obige Form der Rotation entspricht der Definition

:<math>\mathrm{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec c
=\mathrm{rot}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right)
\quad\text{für alle}\;\vec c\in\mathbb V</math>

Es wird auch die Form ohne Transposition benutzt, <math>\vec\nabla\times\mathbf{T}</math>, die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis führt.

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Tensoranalysis]]
* [[Konvektive Koordinaten#Differentialoperatoren und Nabla-Operator]]
* [[Poincaré-Lemma]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Formelsammlung Physik: Nabla-Operator}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig
| Titel=Taschenbuch der Mathematik
| Auflage=5.
| Verlag=Harri Deutsch
| Datum=2001
| ISBN=3-8171-2005-2
| Seiten=
| Kommentar=Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.}}
* {{Literatur
| Autor=Jänich
| Titel=Vektoranalysis
| Verlag=Springer
| Datum=1992
| ISBN=3-540-55530-7
| Seiten=
| Kommentar=Enthält nur die grundlegende Definition.}}
* {{Literatur
| Autor=Großmann
| Titel=Mathematischer Einführungskurs für die Physik
| Verlag=Teubner
| Ort=Stuttgart
| Datum=1991
| ISBN=
| Kommentar=siehe insbesondere Abschnitt 3.6}}
* {{Literatur
| Autor=H. Altenbach
| Titel=Kontinuumsmechanik
| Verlag=Springer
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| Kommentar=siehe Abschnitt 2.3 Tensoranalysis}}

[[Kategorie:Vektoranalysis]]
[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]

Nabla-Operator - Versionsgeschichte

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