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2024-08-15T17:07:58Z

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Ein '''nüchterner Raum''' ist ein in der [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Theorie]] der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] betrachteter Raum, der sich dadurch auszeichnet, dass seine abgeschlossenen, irreduziblen Mengen (siehe unten) einfach zu beschreiben sind. Die Bezeichnung nüchtern ([[englische Sprache|engl.]] sober) geht auf [[Michael Artin|M. Artin]], [[Alexander Grothendieck|A. Grothendieck]] und [[Jean-Louis Verdier| J.Verdier]] zurück.<ref>M. Artin, A. Grothendieck, J. Verdier: ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie'', 1963–1964</ref><ref>C. E. Aull, R. Lowen: ''Handbook of the History of General Topology'', Band 1, Kluwer Academic Publishers 1997, ISBN 0-7923-4479-0, Seite 325</ref>

== Begriffe ==
Eine [[Leere Menge|nicht-leere]], [[abgeschlossene Menge]] <math>A</math> eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] <math>X</math> heißt [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzibel]], wenn sie nicht Vereinigung zweier echter, abgeschlossener Teilmengen ist, das heißt, ist <math>A=A_1\cup A_2</math> mit zwei abgeschlossenen Teilmengen <math>A_1,A_2 \subset A</math>, so muss <math>A=A_1</math> oder <math>A=A_2</math> sein.

Ein Beispiel ist der Abschluss <math>A=\overline{\{x\}}</math> eines Punktes <math>x \in X</math>, denn ist <math>A=A_1\cup A_2</math> wie oben, so muss eine der Mengen <math>A_i</math> den Punkt <math>x</math> enthalten und damit auch dessen Abschluss, das heißt, es folgt <math>A=A_i</math>.
Im Allgemeinen sind irreduzible Mengen nicht von dieser Form, und wenn sie von dieser Form sind, dann muss der Punkt <math>x</math> nicht unbedingt eindeutig sein.
Das motiviert die folgende Definition:

== Definition ==
Ein topologischer Raum heißt nüchtern, falls jede abgeschlossene, irreduzible Teilmenge Abschluss genau eines Punktes ist.

Das bedeutet genauer: Ein topologischer Raum <math>X</math> heißt nüchtern, falls jede abgeschlossene, irreduzible Teilmenge <math>A\subset X</math> von der Form <math>A=\overline{\{x\}}</math> mit einem eindeutig bestimmten Punkt <math>x\in X</math> ist.<ref>Michel Marie Deza, Elena Deza: ''Encyclopedia of Distances'', 2. Auflage, Springer Verlag, ISBN 978-3-642-30957-1, Seite 62.</ref>

Der eindeutig bestimmte Punkt <math>x</math> mit <math>A=\overline{\{x\}} </math> heißt der [[Generischer Punkt|generische Punkt]] von <math>A</math>.

== Beispiele ==
* Jeder [[Hausdorffraum]] ist nüchtern, denn die abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen sind genau die einelementigen Teilmengen.
* Der zweielementige Raum <math>X=\{x,y\}</math> mit den offenen Mengen <math>\emptyset, X</math> und <math>\{x\}</math> ist nüchtern, denn <math>X=\overline{\{x\}}</math> und <math> \{y\} = \overline{\{y\}}</math> sind die einzigen abgeschlossenen, irreduziblen Mengen. Dies ist daher ein Beispiel eines nüchternen Raums, der nicht hausdorffsch ist, denn er ist nicht einmal ein [[T1-Raum|T1-Raum]].
* Der topologische Raum <math>X=\N</math> mit der [[Kofinite Topologie|kofiniten Topologie]] ist ein T1-Raum, der nicht nüchtern ist. Da neben dem Gesamtraum nur die endlichen Mengen abgeschlossen sind, ist der Gesamtraum zwar abgeschlossen und irreduzibel aber nicht gleich dem Abschluss eines Punkts, das heißt, <math>X</math> ist nicht nüchtern.
* Das [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] <math>X=\mathrm{Spec}(R)</math> eines [[Ring (Algebra)|kommutativen Ringes]] mit Einselement ist mit der [[Zariski-Topologie]] nüchtern. Umgekehrt ist jeder [[quasi-kompakt]]e, nüchterne Raum von dieser Gestalt.<ref>M. Hochster: ''Prime ideal structure in commutative rings'', Trans. Amer. Math. Soc. 142, (1969), Seiten 43–60. (Hier heißen die entsprechenden Räume spektral).</ref>

== Eigenschaften ==
=== T0-Eigenschaft und alternative Definitionen ===
Nüchterne Räume sind [[T0-Raum|T0-Räume]], denn für je zwei verschiedene Punkte <math>x</math> und <math>y</math> ist wegen der Eindeutigkeitsbedingung obiger Definition <math>\overline{\{x\}} \not= \overline{\{y\}}</math>, das heißt, es ist <math>x\notin \overline{\{y\}}</math> oder <math>y\notin \overline{\{x\}}</math>, woraus man leicht die T0-Eigenschaft erhält.

Manche Autoren verzichten in der Definition eines nüchternen Raumes auf die Eindeutigkeitsbedingung und fordern stattdessen die T0-Eigenschaft.<ref>Jean Goubault-Larrecq: ''Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology'', Cambridge University Press 2013, ISBN 978-1-107-03413-6, Kapitel 8.2 ''Sober spaces and sobrification'', Definition 8.2.4</ref> Das erweist sich als äquivalent, da die Eindeutigkeitsbedingung aus der T0-Eigenschaft folgt.

Eine weitere alternative Definition erhält man, wenn man zu Komplementen übergeht und dann die Definitionsbedingung mittels offener Mengen formuliert:<ref>S. Mac Lane, I. Moerdijk: ''Sheaves in Geometry and Logic'', Springer-Verlag 1992, ISBN 0-387-97710-4, Kapitel IX, Paragraph 2, Definition 2</ref>

Ein topologischer Raum <math>X</math> heißt nüchtern, wenn es für jede echte, offene Teilmenge <math>P\subset X</math> mit der Eigenschaft, dass für alle offene Mengen <math>U,V\subset X</math> aus <math>U\cap V\subset P</math> schon <math>U\subset P</math> oder <math>V\subset P</math> folgt, ein eindeutiges <math>x\in X</math> existiert, so dass <math>P=X\setminus \overline{\{x\}}</math> gilt.

=== Einordnung in die Trennungsaxiome ===
Da nüchterne Räume nach obigem T0 sind, ist Nüchternheit wie T1 eine zwischen T0 und T2 (Hausdorff-Eigenschaft) gelegene Eigenschaft. T1 und Nüchternheit gestatten keine direkte Vergleichbarkeit, denn nach obigen Beispielen gibt es Räume, die eine der Eigenschaften haben aber die jeweils andere nicht. Wie die folgenden kategoriellen Eigenschaften zeigen, ist Nüchternheit allerdings eher eine Abgeschlossenheitseigenschaft als eine [[Trennungseigenschaft]].

=== Kategorielle Eigenschaften und Sobrification ===
Es sei <math>\mathcal{Sob}</math> die [[Kategorie (Mathematik)|Unterkategorie]] der nüchternen Räume in der Kategorie <math>\mathcal{T\!\!op}</math> aller topologischen Räume. Dann hat der [[Vergissfunktor]] <math>V: \mathcal{Sob} \rightarrow \mathcal{T\!\!op}</math> einen [[Adjunktion (Kategorientheorie)|linksadjungierten Funktor]] <math>S: \mathcal{T\!\!op} \rightarrow \mathcal{Sob}</math>, der in der englischsprachigen Literatur „Sobrification“ heißt, was sich sinngemäß mit Herstellung von Nüchternheit übersetzen ließe.<ref>P. T. Johnstone: ''Topos Theory'', Academic Press 1977, ISBN 0-12-387850-0, Satz 7.22</ref>

Die Konstruktion des Funktors <math>S</math> sieht wie folgt aus. Ist <math>X</math> ein beliebiger, topologischer Raum, so sei <math>S(X)</math> die Menge aller irreduziblen, abgeschlossenen Teilmengen. Für jede offene Menge <math>U\subset X</math> sei
:<math>U^S:=\{A\in S(X)\mid A\cap U \not= \emptyset\} \subset S(X)</math>.
Dann bilden die <math>U^S</math> die offenen Mengen einer Topologie, die <math>S(X)</math> zu einem nüchternen Raum macht. Die kanonische Abbildung
:<math>j_X:X\rightarrow S(X),\quad x\mapsto \overline{\{x\}}</math>
ist stetig. Ist <math>f:X\rightarrow Y</math> stetig, so sei
:<math>S(f):S(X)\rightarrow S(Y),\quad A \mapsto \overline{f(A)}</math>.
Diese Definitionen machen <math>S</math> zu obigem Sobrification-Funktor.

Die oben genannte Linksadjungiertheit zum Vergissfunktor <math>V</math> bedeutet folgende [[universelle Eigenschaft]]:
Ist <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>f:X\rightarrow V(Y)</math> eine stetige Abbildung, wobei <math>Y</math> ein nüchterner Raum sei, so gibt es genau eine stetige Abbildung <math>\overline{f}:S(X) \rightarrow Y</math>, so dass <math>f=V(\overline{f})\circ j_X</math>.

Ist <math>X</math> nüchtern, so ist <math>j_X:X\rightarrow S(X)</math> ein [[Homöomorphismus]], das heißt, der Übergang zu <math>S(X)</math> bringt nichts Neues. In diesem Sinne ist die Anwendung des Funktors <math>S</math> eine Abschlussabbildung und nüchterne Räume können als die bzgl. <math>S</math> abgeschlossenen Räume angesehen werden.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Nüchterner Raum - Versionsgeschichte

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