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Mit Hilfe von '''multivariaten Verfahren''' (auch '''multivariate Analysemethoden''') werden in der '''multivariaten Statistik''' mehrere [[statistische Variable]]n oder [[Zufallsvariable]]n zugleich untersucht. Beispielsweise können für Fahrzeuge die Variablen ''Anzahl der Sitze'', ''Gewicht'', ''Länge'' usw. erhoben werden. In der [[univariat]]en Analyse hingegen wird jede Variable einzeln analysiert.

Zusammenhangs- bzw. Abhängigkeitsstrukturen zwischen den Variablen, z. B. größere Anzahl von Sitzen bedingt ein größeres Gewicht, können nur mit einer multivariaten, nicht aber mit einer univariaten Analyse erkannt werden.

== Gliederung ==
Multivariate Verfahren wollen im Wesentlichen die in einem Datensatz enthaltene Zahl der Variablen und/oder Beobachtungen reduzieren, ohne die darin enthaltene Information wesentlich einzuschränken. Dazu wird die (Zusammenhangs-)''Struktur'' der Daten analysiert. Entweder gibt man eine Struktur vor und prüft, ob die Daten mit der vorgegebenen Struktur zusammenpassen (''Strukturprüfende Verfahren'': Teil der [[Mathematische Statistik|induktiven Statistik]]), oder man versucht, die Struktur aus den Daten zu extrahieren (''Strukturentdeckende Verfahren'': Teil der [[Explorative Datenanalyse|explorativen Statistik]]).

Die klassischen Verfahren sind durchweg [[Lineares Modell|lineare Modelle]], die besondere Anforderungen an die verwendeten Daten stellen. So sollten die Daten ausreißerfrei und nicht [[Asymmetrische Verteilung|asymmetrisch verteilt]] sein. Weichen die Daten von der geforderten Struktur ab, behilft man sich beispielsweise, indem man vorhandene Ausreißer entfernt oder die Daten einer nichtlinearen Transformation, etwa dem [[Logarithmus|Logarithmieren]], unterzieht.

Es existieren alternative Methoden, die iterativ gewonnene Lösungen ermöglichen. Häufig verwendete Kriterien für optimale Lösungen sind
* [[Abstand|Abstände]] zwischen Punkten in einem mehrdimensionalen Raum. Erwähnenswert ist hier vor allem der [[Mahalanobis-Abstand]].
* [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]], die minimiert bzw. maximiert werden. Die Varianz dient in der [[Informationstheorie]] als Maß für den Informationsgehalt von Daten.

Die manuelle Berechnung multivariater Verfahren ist meist sehr aufwändig. Daher erfuhren diese Methoden erst mit der Entwicklung der [[Elektronische Datenverarbeitung|EDV]] ihren Aufschwung.

Die Ergebnisse erlauben häufig keine Rückschlüsse auf zugrundeliegende Daten. Beispielsweise können bei Ergebnissen nur wenige Angaben über zugrundeliegende [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en gemacht werden.

=== Strukturentdeckende Verfahren ===
Strukturentdeckende Verfahren sind z. B.

* die [[Faktorenanalyse]], [[Hauptkomponentenanalyse]] und die [[Korrespondenzanalyse]] zur Reduktion vieler Variablen auf wenige latente Konstrukte,
* die [[Clusteranalyse]] zur Reduktion vieler Beobachtungen auf wenige Gruppen von Beobachtungen und
* die [[Multidimensionale Skalierung]] zur Berechnung niedrigdimensionaler Konfigurationen aus Distanzen oder (Un-)Ähnlichkeiten zwischen Beobachtungen.

=== Strukturprüfende Verfahren ===
{| class="wikitable" style="float:right; width:40%;"
|-
!colspan="3"| Beispiele für Strukturprüfende Verfahren
|-
! Skalenniveau der
!colspan="2"| unabhängige Variablen
|-
! abhängige Variable
! [[Kardinalskala|Metrisch]]
! [[Kategoriale Variable|Kategoriell]]
|-
! Metrisch
| [[Lineare Regression#Multiple lineare Regression|Multiple lineare Regression]]
| [[Varianzanalyse]], [[Dummy-Variable]]n-Regression
|-
! Kategoriell
| [[Diskriminanzanalyse]], [[Logistische Regression]]
| [[Log-lineares Modell]]
|}

Im Rahmen der [[Regressionsanalyse]] für eine abhängige Variable und mehrere unabhängige Variablen werden [[verallgemeinerte lineare Modelle]] eingesetzt, um den [[Skalenniveau]]s der abhängigen und unabhängigen Variablen Rechnung zu tragen. Dazu gehören z. B. die multiple lineare Regression, die [[Logistische Regression]] (Logit-Modell) und die [[Log-lineares Modell|Log-linearen Modelle]] usw.

Weitere strukturprüfende Verfahren sind

* die [[Varianzanalyse]], die eigentlich Mittelwertsunterschiede zwischen verschiedenen Gruppen prüft,
* die [[Faktorenanalyse|Konfirmatorische Faktorenanalyse]], die vorgegebene Zusammenfassungen von vielen Variablen zu wenigen latenten Konstrukten überprüft,
* die [[Strukturgleichungsmodell]]e, die zusätzlich noch Regressionmodelle zwischen latenten Konstrukten zulässt,
* die [[Künstliches neuronales Netz|Künstliche Neuronalen Netze]],
* die [[Diskriminanzanalyse]] und
* die [[Conjoint-Analyse]].

== Grafische Darstellung ==
[[Datei:Minard.png|mini|300px|Karte von Charles Minards aus dem Jahre 1869. Diese zeigt den Verlust an Soldaten, die Truppenbewegungen und die Temperaturen im Laufe von Napoleons Russlandfeldzug. Lithographie, 62 × 30 cm.]]

Für die Darstellung mehrerer Variablen wurden eine ganze Reihe von speziellen Grafikdarstellungen entwickelt. Eine der berühmtesten frühen multivariaten Grafiken ist die Karte von [[Charles Joseph Minard]] aus dem Jahre 1869 über den Russlandfeldzug Napoleons.

Menschen können nicht mehr als drei Dimensionen sehen; an einem Bildschirm in der Regel sogar nur zwei Dimensionen. Hochdimensionale Daten können daher häufig nicht ohne Informationsverluste dargestellt werden.

Spezielle Darstellungsmethoden sind:

* 3D-Streudiagramm
* [[Streudiagramm]]-Matrix ({{enS}} ''scatter plot matrix'')
* [[Chernoff-Gesichter|Chernoff- oder Flury Gesichter]]
* [[Ausreißer#Andrews’ Kurven|Andrews’ Kurven]]
* [[Parallele Koordinaten]]
* [[Netzdiagramm]]
* [[Grand Tour (Statistik)|Grand Tour]]

<gallery widths="200" heights="200" perrow="3">
Lcg 3d.gif|3D-Streudiagramm
Iris dataset scatterplot.svg|Streudiagramm-Matrix der Iris-Daten
Ggobi-flea2.png|Parallele Koordinaten Plot der Flohkäfer-Daten
Chernof Flury Faces.JPG|Chernoff- oder Flury-Gesichter. Die Gesichtsmerkmale repräsentieren die nationalen Rekorde in verschiedenen Laufdisziplinen. Jedes Gesicht entspricht einem Land.<ref>[http://mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/teachwiki/index.php/OLYMPIC_DATA_ANALYSIS Studentische Arbeit] der HU Berlin</ref>
Yale andrews curves.png|Andrews-Kurven
Ggobi-flea1.png|Grand Tour der Flohkäfer-Daten
Netzdiagramm-Beispielp.svg|Netzdiagramm
</gallery>

== Beispiele ==
Beispiele für Verwendung von Multivariaten Verfahren:
* Um psychologische Profile zu erstellen und aufgrund von Vergleichen herauszufinden, wer der wahrscheinlichste Täter/Sprecher/Autor ist ([[Kriminologie]], [[Sprachwissenschaft]]).
* Um den Text eines anonymen [[Autor]]s zu vergleichen mit Texten von bekannten Autoren und den wahrscheinlichsten Autor zu finden (eine Spielart des zuerst genannten Punktes).
* [[Data-Mining]]: Große Datenmengen in [[Datenbank]]en werden auf unbekannte Strukturen hin analysiert. Man erhofft sich hier Erkenntnisse über das Zusammenwirken verschiedener Aspekte, beispielsweise die Konsumausgaben von Kunden in Abhängigkeit vom sozialen Status durch Herausfinden von Ähnlichkeitsstrukturen.
* Entwicklung von sozialen Abstimmungsprozessen (Politische Soziologie) und der Einfluss einzelner Akteure darauf.
* [[Bonität]]sprüfungen von Schuldnern (Diskriminanzanalyse).
* Bei der [[Finanzanalyse|Wertpapieranalyse]]: Welche Unternehmenszahlen beeinflussen hauptsächlich die Ertragskraft eines [[Unternehmen]]s? (Faktorenanalyse)
* Bei der Suche nach Ursachen für die [[Eiszeitalter|Eiszeiten]] (Faktorenanalyse)
* In der [[Radioastronomie]] für die Signalanalyse bei [[Search for Extraterrestrial Intelligence|SETI]].<ref>''KLT-optimized telecomunications.'' In: Claudio Maccone: ''Deep space flight and communications''. Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-72942-6, S. 149–248; [http://cdsweb.cern.ch/record/1188203/files/MRU_114.pdf?version=1 Innovative SETI by the KLT] (PDF) abgerufen am 7. Juli 2010</ref>
* Für die Analyse von Peak-förmigen Daten eignet sich das [[Indirect Hard Modeling|Indirect-Hard-Modeling]]-Verfahren.

== Literatur ==
* Heinz Ahrens, [[Jürgen Läuter]]: ''Mehrdimensionale Varianzanalyse. Hypothesenprüfung, Dimensionserniedrigung, Diskrimination bei multivariaten Beobachtungen.'' Akademie-Verlag, Berlin 1974.
* [[Peter Atteslander]]: ''Methoden der empirischen Sozialforschung.'' 11., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Schmidt, Berlin 2006, ISBN 3-503-09740-6 (Grundlagenwissen).
* [[Klaus Backhaus]], Bernd Erichson, [[Wulff Plinke]], [[Rolf Weiber]]: ''Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung.'' 11., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-27870-2.
* Anthony P. M. Coxon, Peter M. Davies: ''The User’s Guide to Multidimensional Scaling. With Special Reference to the MDS(X) Library of Computer Programs'' Heinemann Educational Books, London 1982, ISBN 0-423-82252-7.
* Fergus Daly, David Hand, Chris Jones, Daniel Lunn, Kevin J. McConway: ''Elements of Statistics.'' The Open University u. a., Harlow u. a. 1995, ISBN 0-201-42278-6.
* [[Ludwig Fahrmeir]], [[Gerhard Tutz]]: ''Multivariate Statistical Modelling Based on Generalized Linear Models.'' 2. Auflage. Springer, New York u. a. 2001, ISBN 0-387-95187-3.
* Andreas Handl, Torben Kuhlenkasper: ''Multivariate Analysemethoden. Theorie und Praxis mit R.'' 3., wesentlich überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54753-3.
* Wojtek J. Krzanowski: ''Principles of Multivariate Analysis. A User’s Perspective'' (= ''Oxford Statistical Science Series.'' 22 (recte: 23)). Revised edition. Oxford University Press, Oxford u. a. 2000, ISBN 0-19-850708-9.
* Kantilal V. Mardia, John T. Kent, John M. Bibby: ''Multivariate Analysis'' (= ''Probability and Mathematical Statistics. A Series of Monographs and Textbooks.''). Academic Press, Amsterdam u. a. 2006, ISBN 0-12-471252-5.
* Barbara G. Tabachnick, Linda S. Fidell: ''Using Multivariate Statistics.'' 5. edition, international edition. Allyn & Bacon, Boston MA u. a. 2007, ISBN 978-0-205-46525-5.

== Weblinks ==
* Irene Rößler, Albrecht Ungerer: ''[[doi:10.18419/opus-16957|Formelsammlung zu den multivariaten Verfahren.]]'' (PDF; 1,86 MB)
* [https://docs.tibco.com/data-science/textbook ''Data Science Textbook.''] TIBCO Software Inc., Palo Alto CA 2020, (englisch) – sehr umfangreiche Darstellung der wichtigsten Multivariaten Analyseverfahren.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4040708-1}}

[[Kategorie:Multivariate Statistik|!]]
[[Kategorie:Marktforschung]]

Multivariate Verfahren - Versionsgeschichte

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