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Die '''Multiskalenanalyse''' ('''MRA''', englisch: '''''m'''ulti'''r'''esolution '''a'''nalysis'') oder '''-approximation''' ('''MSA''', englisch: '''''m'''ulti'''s'''cale '''a'''pproximation'') des Funktionenraums <math>L^2(\mathbb R)</math> ist eine [[Funktionalanalysis|funktionalanalytische]] Grundkonstruktion der [[Wavelet]]-Theorie, welche die Approximationseigenschaften der diskreten [[Wavelet-Transformation]] beschreibt.
Insbesondere erklärt sie die Möglichkeit und Funktionsweise des Algorithmus der [[Schnelle Wavelet-Transformation|schnellen Wavelet-Transformation]].

== Definition ==

Eine Multiskalenanalyse des Raums ''[[Lp-Raum|L²(R)]]'' besteht aus einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] geschachtelter [[Untervektorraum|Unterräume]]

:<math>\{0\}\subset\dots\subset V_{2}\subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots V_{-n}\subset\dots\subset L^2(\R)</math>,

welche sowohl Selbstähnlichkeitbedingungen in Zeit/Raum und Skala/Frequenz als auch Vollständigkeits- und Regularitätsbedingungen erfüllt.

* ''Selbstähnlichkeit'' in der Zeit verlangt, dass jeder Unterraum <math>V_k</math> invariant ist unter Verschiebungen um [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] Vielfache von <math>2^k</math>. Dies heißt, für jede Funktion <math>f\in V_k,\; m\in\Z</math> gibt es eine Funktion <math>g\in V_k</math> mit <math>f(x)=g(x+m2^k)</math>.
* ''Selbstähnlichkeit'' zwischen verschiedenen ''Skalen'' verlangt, dass alle Unterräume <math>V_k\subset V_l,\; k>l,</math> zeitskalierte Kopien voneinander sind, wobei der Skalierungs- bzw. Streckungsfaktor <math>2^{k-l}</math> beträgt. Dies heißt, für jede Funktion <math>f\in V_k</math> gibt es eine Funktion <math>g\in V_l</math> mit <math>g(x)=f(2^{k-l}x)</math>. Hat beispielsweise <math>f</math> einen [[Beschränktheit|beschränkten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]], so ist der Träger von ''<math display="inline">g</math>'' um den Faktor <math>2^{k-l}</math>zusammengestaucht. Mit anderen Worten, die Auflösung (im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm) des ''l''-ten Unterraums ist höher als die Auflösung des ''k''-ten Unterraums.

* ''Regularität'' verlangt, dass der Modell-Unterraum ''<math>V_0</math>''die [[lineare Hülle]] (algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen) der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen <math>\varphi</math> oder <math>\varphi_1,\dots,\varphi_r</math> ist. Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz-Basis, besser aber eine [[Hilbertraumbasis|Hilbert-Basis]] des Unterraums <math>V_0\subset L^2(\R)</math> bilden, woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt. Letzteres ist für Funktionen mit kompaktem Träger trivialerweise erfüllt. Die erzeugenden Funktionen werden '''Skalierungsfunktionen''' oder '''Vaterwavelets''' genannt. Oft werden sie als (stückweise) [[Stetige Funktion mit kompaktem Träger|stetige Funktionen mit kompaktem Träger]] konstruiert.

* ''Vollständigkeit'' verlangt, dass diese geschachtelten Unterräume den gesamten Raum ausfüllen, das heißt, ihre Vereinigung <math>\textstyle \bigcup_{k\in\Z}V_k</math> soll dicht in <math>L^2(\R)</math> sein; weiterhin, dass sie nicht redundant sind, das heißt, ihr Durchschnitt <math>\textstyle \bigcap_{k\in\Z}V_k</math> darf nur das Nullelement enthalten.

== Skalierungsfunktion ==

Im praktisch wichtigsten Falle, dass es nur eine Skalierungsfunktion <math>\varphi</math> mit kompaktem Träger in der MRA gibt und diese eine Hilbert-Basis im Unterraum <math>V_0</math>erzeugt, erfüllt diese eine
Zwei-Skalen-Gleichung (in der engl. Literatur: ''refinement equation'')
:<math>\varphi(x)=\sum_{n=-N}^N a_n\cdot \varphi(2x-n)</math>.

Die dort auftretende Zahlenfolge <math>a=\{\dots,0,a_{-N},\dots,a_N,0,\dots\}</math> heißt Skalierungsfolge oder -maske und muss ein diskreter [[Tiefpass]]filter sein, was in diesem Falle bedeutet, dass
:<math>\sum_{n=-N}^N a_n=2</math> und <math>\sum_{n=-N}^N (-1)^na_n=0</math>
erfüllt ist, bzw. dass die [[Fourierreihe]]
:<math>\hat a(\omega):=\frac12\sum_{k=-N}^N a_k e^{i\omega k}</math>

im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle <math>\pi</math> eine [[Nullstelle]] hat, <math>\hat a(\pi) = 0</math>.

Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs, Bedingungen an <math>a</math> festzustellen, unter denen gewünschte Eigenschaften von <math>\varphi</math>, wie [[Stetige Funktion|Stetigkeit]], [[Differenzierbarkeit]] etc. folgen. Soll <math>\varphi</math> orthogonal, d. h. senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich selbst sein, so muss
:<math>\sum_{n=-N}^N a_n^2=2</math> und <math>\sum_{n=-N}^N a_na_{n+2m}=0</math>
für <math>0\ne m\in\mathbb Z</math> gelten, mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung
<math>|\hat a(\omega)|^2+|\hat a(\omega+\pi)|^2\equiv 1</math>.

Üblicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines Laurent-Polynoms <math>\textstyle a(Z)=\sum_{n=-N}^Na_n Z^n</math> angegeben, das heißt <math>\hat a(\omega)=a(e^{i\omega})</math>. Die Normierung schreibt sich damit als <math>a(1)=2</math>, die Tiefpasseigenschaft als <math>a(-1)=0</math> oder <math>a(Z)=(1+Z)^A p(Z)</math> für ein <math>0<A\in\N</math>, die Orthogonalitätsbedingung als <math>a(Z)a(Z^{-1})+a(-Z)a(-Z^{-1})=4</math>.

''Beispiele''
* Das [[Haar-Wavelet]] hat eine Skalierungsmaske <math>a(Z)=1+Z</math>
* Das Wavelet mit Ordnung <math>A=2</math> der [[Daubechies-Wavelets|Daubechies-Familie]] hat die Skalierungsmaske
::<math>a(Z) = \frac14(1+Z)^2\left((1+Z)+\sqrt3(1-Z)\right)</math>

=== Geschachtelte Unterräume ===

Sei <math>\varphi</math> eine orthogonale Skalierungsfunktion. Dann kann ein affines Funktionensystem <math>\varphi_{j,k}(x)=2^{-j/2}\varphi(2^{-j}x-k)</math> und eine Folge von Skalierungsunterräumen <math>V_j=\operatorname{span}(\varphi_{j,k}:k\in\mathbb Z)</math> definiert werden. Damit gilt dann <math>V_{j+1}\subset V_j</math> und <math>\{\varphi_{j,k}:k\in\mathbb Z\}</math> ist eine orthonormale Basis von <math>V_j</math>.

Mit einem beliebigen ungeradem <math>K\in\mathbb Z</math> kann nun die Wavelet-Folge
<math>b=\{\dots,b_{-1},b_0,b_1,\dots\}</math> definiert werden, wobei <math>b_n:=(-1)^na_{K-n}</math>.
Damit definiert sich das Wavelet als

:<math>\psi(x):=\sum_{n=K-N}^{K+N}b_n\cdot\varphi(2x-n)</math>

und die Waveletunterräume als
:<math>W_j=\operatorname{span}\left(\psi_{j,k}(x)=2^{-j/2}\psi(2^{-j}x-k):\;k\in\mathbb Z\right)</math>.
Mit diesen ergibt sich eine als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung der Skalierungsräume

:<math>V_0=W_1\oplus V_1=W_1\oplus W_2\oplus V_2=\dots</math>
und allgemein
:<math>V_J=W_{J+1}\oplus \dots\oplus W_M\oplus V_M</math> bei <math>J<M</math>.

Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist, dass die Wavelet-Unterräume den <math>L^2(\mathbb R)</math> voll ausschöpfen, das heißt <math>\textstyle \bigoplus_{n=-\infty}^\infty W_n</math> soll ein dichter Unterraum von <math>L^2(\mathbb R)</math> sein.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Alfred Louis]], [[Peter Maaß]], [[Andreas Rieder (Mathematiker)|Andreas Rieder]]|Titel=Wavelets: Theorie und Anwendungen|Auflage=2.|Verlag=Teubner|Jahr=1998|ISBN=3-519-12094-1}}

[[Kategorie:Wavelet]]

Multiskalenanalyse - Versionsgeschichte

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