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2025-02-14T15:45:48Z

Sphärische Multipolentwicklung

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Die '''Multipolentwicklung''' ist in der Physik ein Verfahren zur Lösung der [[Poisson-Gleichung]] in drei [[Raumdimension]]en, bei der die Lösungsfunktion als [[Laurent-Reihe]] entwickelt wird. Die Entwicklungskoeffizienten dieser Laurent-Reihe heißen '''Multipolmomente'''. Sie wird hauptsächlich in der [[Elektrostatik]] und der [[Magnetostatik]] verwendet, kann aber auf jedes andere Gebiet der Physik, in dem die Poisson-Gleichung auftritt, verallgemeinert werden.

Die Motivation der Multipolentwicklung liegt darin, das Verhalten von [[Elektrisches Potential|elektrischem Potential]] und [[Magnetisches Vektorpotential|magnetischem Vektorpotential]] (oder beliebigen anderen [[Potential (Physik)|Potentialen]] wie dem [[Gravitationspotential]]) in großer Entfernung von Ladungen oder Strömen zu betrachten. Dazu wird angenommen, dass diese das Potential induzierenden Ladungen oder Ströme nur auf einen kleinen Bereich des Raumes beschränkt sind, und die [[Greensche Funktion]] des [[Laplace-Operator]]s, der in der Poisson-Gleichung auftritt, als [[Taylor-Reihe]] entwickelt.

== Grundlagen ==
Die Poisson-Gleichung lässt sich allgemein als
:<math>\Delta \phi(\vec r) = -f(\vec r)</math>
schreiben, wobei <math>\Delta</math> der Laplace-Operator, <math>f</math> eine Dichte und <math>\phi</math> ein Potential ist (das Minus ist Konvention). Die formale Lösung dieser Gleichung ist:
:<math>\phi(\vec r) = \frac{1}{4\pi} \int \mathrm d^3 \vec r' \frac{f(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}</math>
Ist <math>f(\vec r)</math> in einem Volumen lokalisiert, kann für Orte <math>\vec r</math>, die weit außerhalb dieses Volumens liegen, <math>r \gg r'</math>, der Bruch in einer Taylor-Reihe in <math>\vec r'</math> um <math>\vec r' = 0</math> entwickelt werden:
:<math>\frac{1}{\left|\vec r-\vec r'\right|}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\vec r '\cdot \vec \nabla'\right)^{n}\left.\frac{1}{\left|\vec r-\vec r'\right|}\right|_{\vec r' =0}</math>
Dabei bedeutet <math>\vec \nabla'</math>, dass der [[Nablaoperator]] <math>\vec \nabla</math> nur auf die gestrichenen Koordinaten <math>\vec r'</math> und nicht auf <math>\vec r</math> wirkt. Nach Bilden der Ableitungen wird diese an der Stelle <math>\vec r' = 0</math> ausgewertet. Durch Umformen erhält man:
:<math>\frac{1}{\left|\vec {r}-\vec {r}'\right|} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\vec {r}'\cdot\vec \nabla\right)^{n}\frac{1}{r}</math>

Aus dimensionalen Überlegungen ergibt sich, dass jeder Term in der Taylor-Reihe in <math>\vec r'</math> zu einem Term <math>r^{-1}</math> im Hauptteil der Laurent-Reihe in <math>r</math> führt. Mit anderen Worten, mit zunehmendem Abstand vom betrachteten Volumen, werden die höheren Ordnungen der Multipolmomente immer vernachlässigbarer, da sie immer stärker abfallen.

Die genaue Form der Entwicklung und der Multipole hängt davon ab, in welchem [[Koordinatensystem]] sie betrachtet werden.

=== Kartesische Multipolentwicklung ===
Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird die Entwicklung in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] durchgeführt. Dort ist
:<math>\vec r' \cdot \vec \nabla = r'_i \partial_i</math>,
wobei [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wird. Dann muss bei einem Summanden <math>n</math>-ter Ordnung ein Tensor <math>n</math>-ter Stufe, nämlich <math>\textstyle \prod_{k=1}^n \partial_{i_k} \frac{1}{r}</math> berechnet werden:
:<math>\begin{align}
\frac{1}{\left|\vec {r}-\vec {r}'\right|}
&= \frac{1}{r} - r'_i \partial_i \frac{1}{r} + \frac{1}{2} r'_i r'_j \partial_i \partial_j \frac{1}{r} + \mathcal O(r'^3) \\
&= \frac{1}{r} + r'_i \frac{r_i}{r^3}+\frac{1}{2} r'_i r'_j \frac{3r_i r_j - r^2\delta_{ij}}{r^{5}} + \mathcal O(r'^3)
\end{align}</math>

Das Symbol <math>\delta_{ij}</math> repräsentiert das sogenannte [[Kronecker-Delta]].

Die formale Lösung <math>\phi(\vec{r})</math> der Poisson-Gleichung, ist unter Verwendung der Identität <math>r'_i r'_j r^2 \delta_{ij} = r'^2 r_i r_j \delta_{ij}</math> wie folgt darstellbar:

:<math>\begin{align}
\phi (\vec r) &= \frac{1}{4\pi} \bigg[\frac{1}{r}\underbrace{\int f(\vec r')\, \mathrm d^3 \vec r'}_{\text{Monopol-}}+\frac{r_i}{r^3}\underbrace{\int \mathrm d^3 \vec r' \, r'_i f(\vec {r}')}_{\text{Dipol-}}+\frac{1}{2}\frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}}\underbrace{\int\mathrm d^3 \vec r' \, \left(3r'_{i} r'_{j} - r'^{2}\delta_{ij}\right) f(\vec r') }_{\text{Quadrupolmoment}} + \dots \bigg] \\
&= \frac{1}{4\pi} \left[\frac{1}{r} q + \frac{r_i}{r^3} p_i + \frac{1}{2} \frac{r_i r_j}{r^5} Q_{ij} + \dots\right]\end{align}
</math>

=== Sphärische Multipolentwicklung ===
In der sphärischen Multipolentwicklung wird nicht in den einzelnen Koordinaten entwickelt, sondern im Abstand. Dazu wird der Term in [[Kugelkoordinaten]] umgeschrieben. Es ist
:<math>\vec r' \cdot \vec \nabla' = r' \partial_{r'}</math>
und
:<math>\frac{1}{|\vec r - \vec r'|} = \frac{1}{r} \frac{1}\sqrt{1 + \frac{r'^2}{r^2} - 2 \frac{r'}{r} \cos(\theta - \theta')}</math>.
Da dies die [[erzeugende Funktion]] der [[Legendre-Polynome]] <math>P_l</math> ist, kann die Entwicklung damit geschlossen angegeben werden:
:<math>\frac{1}{|\vec r - \vec r'|} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(\cos(\theta - \theta')) \frac{r'^l}{r^{l+1}}= \frac{1}{r} + \cos(\theta - \theta') \frac{r'}{r^2} + \frac 12 (3 \cos^2(\theta - \theta') - 1) \frac{r'^2}{r^3} + \mathcal O(r'^3)</math>

Mithilfe des [[Kugelflächenfunktionen#Additionstheorem|Additionstheorems für Kugelflächenfunktionen]] lässt sich das Legendre-Polynom in <math>\cos(\theta - \theta')</math> als Summe über [[Kugelflächenfunktionen]] <math>Y_{lm}</math> schreiben und damit in <math>\theta</math> und <math>\theta'</math> entkoppeln:
:<math>P_l(\cos(\theta - \theta')) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta',\varphi') Y_{lm}(\theta,\varphi) </math>

Das Einsetzen in die Gleichung für <math>\phi</math> führt zu:
:<math>\phi = \frac{1}{4\pi} \sum_{l= 0}^\infty \sum_{m= -l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}(\theta,\varphi) \frac{1}{r^{l+1}} \int \mathrm d^3 \vec r' \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}^*(\theta',\varphi') f(\vec r') r'^l</math>

Das sphärische Multipolmoment <math>q_{lm}</math> ist dann definiert als
:<math>q_{lm}=\int \mathrm d^3 \vec r' \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}^*(\theta',\varphi') f(\vec r') r'^l</math>.
Durch [[Koeffizientenvergleich]] sieht man, dass der Term <math>l = 0</math> dem Monopolmoment entspricht, der Term <math>l= 1</math> dem Dipolmoment usw.

=== Umrechnung ===
Die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen Multipolmomenten erfolgt, indem die Kugelflächenfunktionen in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Für das Monopolmoment erhält man
:<math>q_{00} = q</math>
und für die drei Dipolmomente
:<math>q_{10} = p_3 \quad q_{1 \pm 1} = \frac{\mp p_1 + \mathrm i p_2}{\sqrt 2}</math>.
Für höhere Momente ist die Umrechnung nichttrivial, da in der sphärischen Multipolentwicklung <math>2l+1</math> Terme auftreten, der korrespondierende Tensor jedoch <math>3^l</math> Komponenten hat. Da die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e unabhängig vom Koordinatensystem sein muss, sieht man dadurch, dass nicht alle kartesischen Multipolmomente unabhängig voneinander sind. Unter anderem ist der Quadrupoltensor [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und [[Spur (Mathematik)|spurfrei]], was die Freiheitsgrade einschränkt. Da die Anzahl der sphärischen Multipolmomente nur linear anwächst und die der kartesischen exponentiell, ist für höhere Momente die Angabe der kartesischen Multipolmomente nicht zweckdienlich.

== Anwendungen ==
=== Elektrostatik ===
In der [[Elektrostatik]] lässt sich die Poisson-Gleichung für das Potential aus der ersten [[Maxwell-Gleichung]] ableiten. In der [[Coulomb-Eichung]] lautet sie
:<math>\Delta \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
mit dem [[Elektrisches Potential|elektrischen Potential]] <math>\phi</math>, der (elektrischen) [[Ladungsdichte]] <math>\rho</math> und der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0</math>. Die ersten drei Momente des elektrostatischen Potentials sind die [[Gesamtladung]] <math>Q</math>, das [[Elektrisches Dipolmoment|elektrische Dipolmoment]] <math>\vec p</math> und die [[Quadrupolmoment#Elektrischer Quadrupol|Quadrupolmomente]] <math>Q_{ij}</math>.

=== Magnetostatik ===
In der [[Magnetostatik]] führen die Maxwell-Gleichungen in Coulomb-Eichung zu Poisson-Gleichungen für das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] <math>\vec A</math>
:<math>\Delta \vec A = - \mu_0 \vec j</math>
mit der [[Elektrische Stromdichte|elektrischen Stromdichte]] <math>\vec j</math> und der [[Permeabilität des Vakuums]] <math>\mu_0</math>. Der magnetische Monopol verschwindet, da in einer räumlich lokalisierten Stromverteilung immer genauso viel hinein wie hinaus fließt. Der Term führender Ordnung ist daher das [[Magnetisches Dipolmoment|magnetische Dipolmoment]]. Um die Tensorstruktur im Dipolmoment zu vereinfachen, kann die Identität
:<math> r_i \int \mathrm d^3 \vec r' \, r'_i j_n(\vec r') = - \frac 12 \varepsilon_{lkn} r_l \int \mathrm d^3 \vec r' \, \varepsilon_{ijk} r'_i j_j</math>
verwendet werden. Damit wird
:<math>\vec A = \mu_0 \frac{\vec \mu \times r}{r^3} + \mathcal O(r^{-3})</math>
mit dem magnetischen Dipolmoment
:<math>\vec \mu = \frac 12 \int \mathrm d^3 \vec r' \, \vec r' \times \vec j(\vec r')</math>.

=== Gravitation ===
In der Gravitation ergibt es sich, dass keine negativen Massen als Ladungen existieren. Dennoch können formal gravitative Multipole definiert werden. Beginnend mit der Poisson-Gleichung aus dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonschen Gravitationsgesetz]]
:<math>\Delta \Phi = - 4 \pi G \rho</math>
mit der [[Gravitationskonstante]] <math>G</math> und der [[Massendichte]] <math>\rho</math> ist der gravitative Monopol die Gesamtmasse <math>M</math> und der gravitative Dipol der [[Massenmittelpunkt]] <math>\vec r_S</math>.

== Literatur ==
*{{Literatur | Autor = [[Torsten Fließbach|T. Fließbach]] | Titel = Elektrodynamik | Verlag = Spektrum Akademischer Verlag | ISBN = 3-82742021-0 }}
*{{Literatur | Autor = [[John David Jackson (Physiker)|J. D. Jackson]] | Titel = Klassische Elektrodynamik | Verlag = de Gruyter Verlag | ISBN = 3-11018970-4 }}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4170738-2}}

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Potentialtheorie]]

Multipolentwicklung - Versionsgeschichte

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