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2026-04-22T09:48:20Z

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{{Dieser Artikel|erläutert den quantenmechanischen Begriff. Weitere Bedeutungen sind unter [[Multiplizität (Begriffsklärung)]] aufgeführt.}}
{{Redundanztext
|3=Entartung (Quantenmechanik)
|4=Multiplizität
|12=f|2=September 2016|1=[[Benutzer:Biggerj1|biggerj1]] ([[Benutzer Diskussion:Biggerj1|Diskussion]]) 19:02, 9. Sep. 2016 (CEST)}}
Unter '''Multiplizität''' oder [[Entartungsgrad]] versteht man in der [[Quantenmechanik]] die Anzahl der [[orthogonal]]en Zustände, die zu einer bestimmten [[Observable]]n einen bestimmten [[Eigenwert]] gemeinsam haben. Diese Zustände sind also [[Entartung (Quantenmechanik)|entartete]] [[Eigenzustand|Eigenzustände]] zu dieser Observablen.

== Grundprinzip am Beispiel des Spins ==

Ein Beispiel ist die '''Spinmultiplizität''', die sich auf die Observable [[Spin-Bahn-Kopplung#LS-Kopplung bei mehreren Elektronen|Gesamtspin]] einer [[Atomhülle]] bezieht. Im einfachsten Beispiel, dem [[Wasserstoffatom]], kann das [[Elektron]] im [[Grundzustand]] einen von zwei orthogonalen [[Spin]]<nowiki/>zuständen einnehmen. Ohne äußeres [[Magnetfeld]] haben die beiden Zustände denselben Eigenwert für die [[Energie]] und können also energetisch nicht unterschieden werden, d. h., sie bilden ein zweifach entartetes [[Energieniveau]]; die Multiplizität ist hier 2, das Niveau ist ein Dublett. In einem Magnetfeld spaltet das Niveau durch den [[Zeeman-Effekt]] in zwei Niveaus auf.

Ganz entsprechend heißt bei zwei Elektronen der Zustand mit Gesamtspin <math>S=0</math> '''Singulett''', denn er spaltet nicht auf, und der Zustand mit Gesamtspin <math>S=1</math> '''Triplett''', denn er spaltet im Magnetfeld dreifach auf.

Allgemein hat ein System mit Gesamtspin <math>S</math> die Spinmultiplizität <math>2S+1</math>. Die <math>2S+1</math> unabhängigen Zustände (und alle ihre [[Linearkombination]]en) haben in vielen Fällen dieselbe Energie, unterscheiden sich aber z. B. in der Orientierung des Spins bezüglich einer [[Quantisierungsachse|ausgezeichneten Achse]]. Dies wird durch die <math>2S+1</math> verschiedenen Eigenwerte <math>m_S</math> der z-Komponente des Spins ausgedrückt (siehe z. B. [[Richtungsquantelung]] in einem [[Magnetismus|Magnetfeld]]):
:<math>m_S = \underbrace {-S, -S+1, \ldots, S-1, S}_{2S+1 \, \text{Werte: Multiplizität}}.</math>

Ein [[Energieniveau]] mit Spinmultiplizität <math>2S+1</math> kann sich bei Auftreten zusätzlicher [[Fundamentale Wechselwirkung|Wechselwirkungen]] in maximal <math>2S+1</math> Niveaus aufspalten. In den [[Linienspektrum|Linienspektren]] von Atomen führt dies zu einer [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]].

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Spin-Multipletts
! class = "hintergrundfarbe5" | Spinquantenzahl <math>S</math>
! class = "hintergrundfarbe5" | magn. QZ des Spins <math>m_S</math>
! class = "hintergrundfarbe5" | Multiplizität <math>2S+1</math>
! class = "hintergrundfarbe5" | Bezeichnung
! class = "hintergrundfarbe5" | Typ
|-
| 0
| 0
| class = "hintergrundfarbe8" | 1
| Singulett
| Skalar[[boson]]
|-
| 1/2
| −1/2, +1/2
| class = "hintergrundfarbe8" | 2
| Dublett
| [[Fermion]]
|-
| 1
| −1, 0, +1
| class = "hintergrundfarbe8" | 3
| Triplett
| Vektorboson
|-
| 3/2
| −3/2, −1/2, +1/2, +3/2
| class = "hintergrundfarbe8" | 4
| Quartett
| Fermion
|-
| 2
| −2, −1, 0, +1, +2
| class = "hintergrundfarbe8" | 5
| Quintett
| Tensorboson
|}

== Multiplizität des Spins in Atomen und Molekülen ==
Bei Systemen aus mehreren [[Elektron]]en und/oder [[Atomkern]]en wird zwischen der Spin-Multiplizität der Elektronen und der Spin-Multiplizität der Atomkerne unterschieden.

=== Multiplizität des Elektronenspins ===
{{Hauptartikel|Elektronenspin}}
==== Einelektronen-Systeme ====
Der Eigendrehimpuls eines Elektrons hat als [[Quantenzahl]] eines Elementarteilchens mit dem [[Spin]] <math>\textstyle S = \frac{1}{2}</math> projiziert auf eine beliebige Raumrichtung zwei mögliche Einstellungen: parallel oder antiparallel. Es liegt demnach ein elektronischer ''Dublett''-Zustand vor. Die Multiplizität des Einelektronen-Systems ist <math>\textstyle2S+1 = 2</math>.
* Beispiel: Das Elektron eines einzelnen [[Wasserstoff]]-Atoms H• (So könnte es auch als Beispiel für ein ''Radikal'' mit null gepaarten Elektronen in der Tabelle unten stehen.)

==== Mehrelektronen-Systeme ====
Bei [[Atom]]en (bzw. [[Ion]]en) mit mehreren Elektronen und bei [[Molekül]]en muss zunächst die Gesamtspin-Quantenzahl <math>S</math> des gesamten elektronischen Systems ermittelt werden. Für ein Atom mit <math>n</math> Elektronen ist <math>S</math> gegeben durch
:<math>S = \left|\sum_{i=1}^n m_{s_i}\right|,</math>
wobei <math>m_{s_i}</math> die Spinquantenzahl des <math>i</math>-ten Elektrons ist. Da die individuellen Spins gepaarter Elektronen aufgrund entgegengesetzter Ausrichtung nicht zum Gesamtspin beitragen, reicht es aus, die ''ungepaarten'' Elektronen zu zählen. Ihre individuellen Spin-Quantenzahlen <math>s = +1/2</math> addieren sich zur Gesamtspin-Quantenzahl <math>S = n_\text{ungepaart}/2.</math>

Als einfaches Beispiel kann das [[Heliumatom]] als 2-Elektronensystem dienen, dafür sind die Zustände <math>S = 0</math> als Singulett (Parahelium) und <math> S = 1 </math> als Triplett (Orthohelium) möglich.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | System
! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Beispiel
! class = "hintergrundfarbe5" colspan = 2 | Elektronen im [[Grundzustand]]
! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Gesamtspin-Quantenzahl <math>S</math>
! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Multiplizität <math>2S+1</math>
! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Grundzustand
|- class = "hintergrundfarbe5"
| gepaart
| ungepaart
|- style="border-bottom: 2pt black solid"
| die meisten Moleküle
| Wasserstoff-Molekül H-H
| alle (hier 1x2)
| 0
| 0/2 = 0
| class = "hintergrundfarbe8" | 2x0+1 = 1
| Singulett
|-
| [[Radikal (Chemie)|Radikale]]
| [[Stickstoffmonoxid]] •N=O bzw. N-O•
| hier 5x2
| 1
| 1/2
| class = "hintergrundfarbe8" | 2x(1/2)+1 = 2
| Dublett
|-
| Biradikale
| [[Sauerstoff]]-Molekül •O-O•
| hier 5x2
| 2
| 2/2 = 1
| class = "hintergrundfarbe8" | 2x1+1 = 3
| Triplett
|-
| [[Metallion]]en, vor allem der [[Nebengruppe]], und [[Komplexchemie|Komplexe]]
|
| …x2
| <math>\ge 2</math>
| <math>\ge 1</math>
| class = "hintergrundfarbe8" | <math>\ge 3</math>
| Triplett, Quartett, …
|}

Der Zahlenwert der Multiplizität wird in den [[Termsymbol]]en links hochgestellt angegeben, die häufig zur Kennzeichnung der [[Quantenmechanischer Zustand|Quantenzustände]] von Atomen und Molekülen verwendet werden.

* Beispiel: Für Wasserstoffatome (H) im Grundzustand ist das Termsymbol 2S1/2 (Multiplizität 2).

==== Bedeutung: Auswahlregeln, Interkombinationsverbot ====
Die Spinmultiplizität spielt eine wichtige Rolle für die [[Auswahlregel]]n in der [[Spektroskopie]] bei Mehrelektronensystemen.
So erfolgen elektrische Übergänge besonders gut, wenn die Kopplung der Spins und damit die Multiplizität erhalten bleibt (erlaubter Übergang, z. B. [[Fluoreszenz]] aus dem ersten angeregten Singulett-Zustand in den Singulett-Grundzustand).

Dagegen gelten Prozesse, bei denen sich die Multiplizität ändert ([[Intersystem Crossing|Interkombination]]), nach dem in der Spektroskopie üblichen Sprachgebrauch als ''verboten'' (''Interkombinationsverbot''). Genauer ist damit ausgedrückt, dass sie meist nur in geringem Ausmaß bzw. „langsam“ (d. h. statistisch selten) stattfinden, wie z. B. in der [[Phosphoreszenz]] (Übergang aus dem tiefsten angeregten Triplett-Zustand in den Singulett-Grundzustand).

=== Multiplizität des Kernspins ===
Der Spin der Nukleonen und ihr Bahndrehimpuls ergeben den Gesamtspin <math>I</math> des Kerns. Dieser wird meist als [[Kernspin]] bezeichnet, obwohl auch die Bahndrehimpulse der Nukleonen beitragen.<ref>{{Literatur|Autor=Theo Mayer-Kuckuk|Titel=Kernphysik: Eine Einführung|Verlag=Springer-Verlag|Jahr=2013|ISBN=3322848760|Seiten=55|Online={{Google Buch|BuchID=nJUiBgAAQBAJ|Seite=55}}|Kommentar=Bei der Multiplizität ist ein Tippfehler: Es muss <math>J>I</math> anstelle von <math>J<I</math> heißen}}</ref> Der Gesamtdrehimpuls <math>F</math> des Atoms ergibt sich aus Kerndrehimpuls <math>I</math> und Hüllendrehimpuls <math>J</math> und kann die Werte <math>I+J, I+J-1, \ldots, \left|I-J\right|</math> annehmen, sodass die Multiplizität <math>2I+1</math> für <math>I\geq J</math> und <math>2J+1</math> für <math>J>I</math> ist.

== Multiplizität des Isospins ==
{{Hauptartikel|Isospin}}

In der [[Kernphysik|Kern-]] und [[Teilchenphysik]] wird der Formalismus auch für Multipletts von Atomkern-Zuständen und Elementarteilchen verwendet. Dies ist sinnvoll, weil [[Proton]] und [[Neutron]] bzw. up-[[Quark (Physik)|Quark]] und down-Quark sehr ähnliche Massen haben und sich bezüglich der [[Starke Wechselwirkung|starken Wechselwirkung]] (Kernkräfte) gleich verhalten. Man kann sie daher als zwei (elektrische) Ladungszustände ''eines'' Teilchens beschreiben.

=== Kernphysik ===

Beim Vergleich der Anregungsspektren von [[Isobar (Kernphysik)|isobaren]] Atomkernen findet man in den verschiedenen Kernen analoge Zustände. Zum Beispiel gibt es in den Kernen <math display="inline">{}^{14}_{\ 6}\mathrm C_8</math>, <math display="inline">{}^{14}_{\ 7}\mathrm N_7</math> und <math display="inline">{}^{14}_{\ 8}\mathrm O_6</math> Zustände mit gleichen Spin- und [[Parität (Physik)|Paritäts]]<nowiki />quantenzahlen und näherungsweise gleichen Energieabständen. Diese interpretiert man als Isospintripletts. Andere Zustände, die nur in <math display="inline">{}^{14}_{\ 7}\mathrm N_7</math> vorkommen, sind Singuletts.

=== Teilchenphysik ===

Proton und Neutron und bilden ein Isospindublett (zwei Zustände des [[Nukleon]]s). Ebenso gibt es weitere [[Hadron]]en, die Multipletts bilden. Zu Details siehe [[Meson]] und [[Baryon]].

== Multiplizität des Schwachen Isospins ==
{{Hauptartikel|Schwacher Isospin}}

In der Theorie der [[Elektroschwache Wechselwirkung|elektroschwachen Wechselwirkung]] bilden linkshändige elementare Fermionen ([[Quark (Physik)|Quark]]s und [[Lepton]]en) Dubletts, auf die dieser Formalismus ebenfalls anwendbar ist. Ein Beispiel ist das Dublett aus [[Elektron]] (e−) und [[Neutrino#Drei Generationen von Neutrinos und Antineutrinos|Elektron-Neutrino]] (<math>\nu_\mathrm e</math>).

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor=Walter Greiner | Titel=Theoretische Physik: Quantenmechanik – Einführung | Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2005| ISBN=978-3-8171-1765-9 | Online={{Google Buch | BuchID=q93fXYTmcYkC | Seite=381 }}}}
* {{Literatur | Autor=Hermann Haken, Hans Christoph Wolf | Titel=Atom- und Quantenphysik | Verlag=Springer |Datum=2003| ISBN=978-3-642-18519-9 | Online={{Google Buch | BuchID=xCif8kBEXp0C | Seite=321 }}}}
* {{Literatur | Autor= [[Bogdan Povh|B. Povh]], [[Klaus Rith|K. Rith]], Ch. Scholz, F. Zetsche, W. Rodejohann| Titel= Teilchen und Kerne – Eine Einführung in die physikalischen Konzepte| Auflage=9. | Verlag= SpringerSpectrum| Ort=Berlin | Jahr=2013 | ISBN= 978-3-642-37821-8|Seiten=}}

== Siehe auch ==
* [[Zeeman-Effekt]]
* [[Kernspinresonanz]]
* [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie in der Thermodynamik]]
* [[Spinpolarisation]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Multiplizitat}}
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Spektroskopie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Multiplizität - Versionsgeschichte

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