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2026-03-28T10:55:00Z

Chaospendel

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Ein '''Multipendel''' ist ein [[Pendel]], an dessen Arm weitere Pendel gehängt sind. Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der [[Chaostheorie]] entwickelt hat. Es wird deshalb auch Chaospendel genannt.

== Modellvorstellung ==

Das Modell des Multipendels <math>n</math>-ter Stufe ist ein idealisiertes System eines Fadenpendels, an dessen schwingendem Massenpunkt <math>n-1</math> weitere baugleiche Fadenpendel gekoppelt sind. Die verbindenden Fäden zwischen Aufhängepunkt und den Massenpunkten werden als vollkommen unelastische, massenlose Stäbe betrachtet. Das gesamte System wird als reibungsfrei aufgefasst.

== Bewegungsgleichungen des Multipendels ''n''-ter Stufe ==

[[Datei:Multipendel.JPG|mini|200px|Aufbau: Multipendel]]

Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel <math>n</math>-ter Stufe lassen sich mit dem [[Lagrange-Formalismus]] zweiter Art herleiten.

=== Generalisierte Koordinaten ===

Mittels Trigonometrie erhält man:

<math>x_1=l_1 \sin\varphi_1</math>

<math>y_1=-l_1 \cos\varphi_1</math>

<math>x_2=l_1 \sin\varphi_1 + l_2 \sin\varphi_2</math>

<math>y_2=-l_1 \cos\varphi_1 - l_2 \cos\varphi_2</math>

...

<math>x_n=l_1 \sin\varphi_1 + ... + l_n \sin\varphi_n</math>

<math>y_n=-l_1 \cos\varphi_1 - ... - l_n \cos\varphi_n</math>

Folglich können die kartesischen Koordinaten <math>(x_k|y_k)</math> der Massenpunkte <math>m_k</math> für <math>k</math> ∈ {1,...,<math>n</math>} und ihre zeitlichen Ableitungen in folgender Form geschrieben werden:

<math>x_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \sin\varphi_i</math>

<math>\dot{x}_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i</math>

<math>y_k = -\sum_{i=1}^{k} l_i \cos\varphi_i</math>

<math>\dot{y}_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i</math>

=== Lagrange-Funktion ===

Kinetische Energie <math>T</math> und Potential <math>V</math> ergeben:

<math>T(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{m_k}{2} (\dot{x}_k^2+\dot{y}_k^2)</math>

<math>V(\varphi_1,...,\varphi_n) = g \sum_{k=1}^{n} m_k y_k</math>

Somit ist die Lagrange-Funktion <math>L=T-V</math>:

<math>L(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} m_k \left[\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i\right)^2\right] + g \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} m_k l_i \cos\varphi_i</math>

=== Bewegungsgleichungen ===

Die Bewegungsgleichungen des Multipendels ''n''-ter Stufe ergeben sich aus

<math>{d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{\varphi}_j}} - {\partial{L}\over \partial{\varphi_j}} = 0</math>

bzw.

<math>{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{\varphi}_j}} - {\partial{}\over \partial{\varphi_j}} (T-V) = 0</math>

für <math>j</math> ∈ {1,...,<math>n</math>}.

Die Bewegungsgleichungen für die [[generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] (<math>{\varphi_{1}},...,{\varphi_{n}}</math>) stellen ein nichtlineares System von <math>n</math> [[Differentialgleichungen]] zweiter Ordnung dar, welches für <math>n>1</math> analytisch nicht lösbar ist.

Es kann bei <math>2n</math> bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise den [[Anfangswertproblem|Startwerten]]

<math>\left( \varphi_1(t=0),...,\varphi_n(t=0),\dot{\varphi}_1(t=0),...,\dot{\varphi}_n(t=0) \right),</math>

mittels [[Liste numerischer Verfahren#Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen|numerischer Verfahren]] gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können [[Kleinwinkelnäherung]]en vorgenommen werden.

Für Stufen <math>n>1</math> entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf.

== Bewegungsgleichungen für ein- bis dreistufige Pendel ==

=== [[Mathematisches Pendel]] ===

Für <math>n=1</math> ergibt sich der einfache Fall des [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]].

Hier ergeben sich kinetische Energie <math>T</math> und Potential <math>V</math> zu

<math>T(\varphi,\dot{\varphi}) = \frac{m}{2} l^2 \dot{\varphi}^2</math>

<math>V(\varphi) = -m g l \cos\varphi</math>

mit <math>m:=m_1, l:=l_1, \varphi:=\varphi_1</math>.

Entsprechend ist die [[Bewegungsgleichung]]:

<math>\ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \sin\varphi=0</math>

Mit der [[Kleinwinkelnäherung]] <math>\sin\varphi\approx\varphi</math> lässt sich die Gleichung vereinfachen:

<math>\ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi=0</math>

Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist

<math>\varphi(t)=\varphi(0) \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t + \alpha\right)</math>,

sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter <math>\alpha</math> gilt:

<math>\alpha=\arcsin\left(-\frac{\dot{\varphi}(0)}{\varphi(0)} \sqrt{\frac{l}{g}} \right)</math>

Das Pendel schwingt entsprechend [[Harmonische Schwingung|harmonisch]] mit der Periode:

<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}</math>

=== [[Doppelpendel]] ===

Der Fall <math>n=2</math> stellt das [[Doppelpendel]] dar.

Hier ergeben sich kinetische Energie <math>T</math> und Potential <math>V</math> zu:

<math>T(\varphi_1,\varphi_2,\dot{\varphi}_1,\dot{\varphi}_2) = \frac{m_1}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{m_2}{2} \left( l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_1-\varphi_2) \right)</math>

<math>V(\varphi_1,\varphi_2) = -(m_1+m_2) g l_1 \cos\varphi_1 - m_2 g l_2 \cos\varphi_2</math>

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

<math>m_{2}l_{2}\ddot{\varphi}_{2}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}\ddot{\varphi}_{1}+m_{2}l_{2}\dot{\varphi}_{2}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin\varphi_{1}=0</math>

und

<math>l_{2}\ddot{\varphi}_{2}+l_{1}\ddot{\varphi}_{1}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)-l_{1}\dot{\varphi}_{1}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+g\sin\varphi_{2}=0</math>

Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine [[Glocke]] mit Klöppel.

=== Tripelpendel ===

Der Fall <math>n=3</math> stellt das '''Tripelpendel''' dar.

Hier ergibt sich die kinetische Energie <math>T</math> zu:

<math>T(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\dot{\varphi}_1,\dot{\varphi}_2,\dot{\varphi}_3) = \frac{m_1+m_2+m_3}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{m_2+m_3}{2} l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + \frac{m_3}{2} l_3^2 \dot{\varphi}_3^2 + (m_2+m_3) l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_1-\varphi_2)</math>

<math>+ m_3 l_1 l_3 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_3 \cos(\varphi_1-\varphi_3) + m_3 l_2 l_3 \dot{\varphi}_2 \dot{\varphi}_3 \cos(\varphi_2-\varphi_3)</math>

Für das Potential <math>V</math> gilt:

<math>V(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) = -(m_1+m_2+m_3) g l_1 \cos\varphi_1 - (m_2+m_3) g l_2 \cos\varphi_2 - m_3 g l_3 \cos\varphi_3</math>

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

<math>m_{3}l_{3}\ddot{\varphi}_{3}\cos(\varphi_{1}-\varphi_{3})+ (m_2+m_{3})l_{2}\ddot{\varphi}_{2}\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2}) + (m_1+m_2+m_{3})l_{1}\ddot{\varphi}_{1} + m_3 l_3 \dot{\varphi}_{3}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3})</math>

<math>+ (m_2+m_3) l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{2}) + (m_1+m_2+m_3) g \sin\varphi_1=0</math>

und

<math>m_{3}l_{3}\ddot{\varphi}_{3}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + (m_2+m_{3})l_{2}\ddot{\varphi}_{2}+ (m_2+m_{3})l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{2}) - (m_2+m_3) l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})</math>

<math>+ m_3 l_3 \dot{\varphi}_{3}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + (m_2+m_3) g \sin\varphi_2=0</math>

und

<math>l_{3}\ddot{\varphi}_{3} + l_{2}\ddot{\varphi}_{2} \cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{3}) - l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) - l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3}) + g \sin\varphi_3=0</math>

=== Simulation der [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] ===

<gallery>
Mathematisches pendel.gif|Simulation: <math>n=1</math>
Mathematisches doppelpendel.gif|Simulation: <math>n=2</math>
Mathematisches dreifachpendel.gif|Simulation: <math>n=3</math>
</gallery>

== Literatur ==
* Georg Hamel: ''Theoretische Mechanik''. Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7
* Friedhelm Kuypers: ''Klassische Mechanik''. 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1
* Landau / Lifschitz: ''Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik''. 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9

== Weblinks ==
* [http://blog.tinowagner.com/2008/04/02/doppelpendel/ Doppelpendel-Simulation in Java und Python]

== Quellen ==
* L. D. Landau, E. M. Lifschitz: ''Volume 1 of Course of Theoretical Physics''. 3rd Edition 1976, ISBN 0-7506-2896-0, §5, S. 11 f. (englisch)
* [https://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels] (englisch)

[[Kategorie:Pendel]]
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]

Multipendel - Versionsgeschichte

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