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2024-11-29T16:36:43Z

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Die '''Multinomialverteilung''' oder '''Polynomialverteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]]. Sie ist eine [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] und kann als [[Multivariate Verteilung|multivariate]] Verallgemeinerung der [[Binomialverteilung]] aufgefasst werden. Sie hat in der [[Bayessche Statistik|Bayesschen Statistik]] als konjugierte A-priori-Verteilung die [[Dirichlet-Verteilung]].

== Definition und Modell ==
Seien <math>n,k \in \mathbb{N}_0</math> und <math> p_1, \dotsc, p_k \in [0,1]</math> mit <math>p_1+ \dotsb +p_k = 1</math>. Dann ist die [[Zähldichte]] der Multinomialverteilung <math>M(n,(p_1,\dotsc,p_k))</math> gegeben durch

:<math>f(n_1, \dotsc, n_k) \;=\; \begin{cases} {n \choose n_1, \dotsc, n_k} \; p_1^{n_1} \dotsm p_k^{n_k}\text{,} & \text{wenn } n_1, \dotsc, n_k \in \mathbb{N}_0\text{ und } n_1 + \dotsb + n_k = n, \\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}</math>.

Hierbei ist <math> {n \choose n_1, \dotsc, n_k} = \frac{n!}{n_1!\dotsm n_k!}</math> der [[Multinomialkoeffizient]].

== Anwendung und Motivation ==
Die Multinomialverteilung kann ausgehend von einem [[Urnenmodell]] mit Zurücklegen motiviert werden. In einer Urne sind <math>k</math> Sorten Kugeln. Der Anteil der Sorten Kugeln in der Urne ist <math>p_i, (i \in \{1, \dotsc, k\})</math>. Der Urne wird <math>n</math>-mal jeweils eine Kugel entnommen, ihre Eigenschaft (Sorte) notiert und die Kugel danach wieder in die Urne zurückgelegt.

Man interessiert sich nun für die Anzahl <math>x_i</math> der Kugeln einer jeden Sorte <math>i</math> in dieser Stichprobe. Da <math>(X_1, \dotsc, X_k)</math> der Multinomialverteilung folgt, besitzt die Stichprobe <math>x_1, \dotsc, x_k</math> die Wahrscheinlichkeit:

:<math>P(X_1=x_1, X_2=x_2, \dotsc, X_k=x_k)= \frac {n!}{x_1! \cdot x_2! \dotsm x_k!}p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \dotsm p_k^{x_k}
</math>.

Nimmt man eine Urne mit <math>k=6</math> Sorten Kugeln mit jeweils einer Kugel pro Sorte, so erhält man den klassischen Würfel: Man wirft diesen <math>n</math>-mal, hat dabei <math>k=6</math> mögliche Ausgänge und interessiert sich dafür, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass <math>X_1</math> gerade <math>x_1</math>-mal auftritt, <math>X_2</math> gerade <math>x_2</math>-mal und so weiter. Weiter beschreiben die jeweiligen <math>p</math> die Wahrscheinlichkeiten der Würfelflächen und somit, ob es sich um einen fairen oder unfairen Würfel handelt.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Für jedes <math>i</math> ist die Zufallsvariable <math>X_i</math> [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] mit den Parametern <math>n</math> und <math>p_i</math>, hat also den Erwartungswert

:<math>\operatorname{E}(X_i) = np_i</math>

=== Varianz ===

Für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] gilt

:<math>\operatorname{Var}(X_i) = n p_i (1-p_i)</math>.

=== Kovarianz und Korrelationskoeffizient ===

Die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] zweier Zufallsvariablen <math>X_i</math> und <math>X_j</math> mit <math>i\ne j</math> berechnet sich als

:<math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = -n p_i p_j </math>,

und für den [[Korrelationskoeffizient]]en (nach Pearson) folgt:

:<math> \varrho(X_i,X_j) = -\sqrt{\frac{p_i}{1-p_i}\frac{p_j}{1-p_j}} </math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===

Die [[multivariate wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] ist
:<math>m_X(t)=\left( \sum_{i=1}^k p_i t_i \right)^n</math>

== Beispiel ==
In einer Schulklasse sind 31 Schüler, 12 aus Dorf A, 11 aus Dorf B und 8 aus Dorf C. Jeden Tag wird ein Schüler ausgelost, der die Tafel wischen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche kein Schüler aus Dorf A, zwei Schüler aus Dorf B und 3 Schüler aus Dorf C die Tafel wischen müssen?
Es ist <math> n_\mathrm{A}=0 , n_\mathrm{B}=2, n_\mathrm{C}=3 </math> und <math> p_\mathrm{A}= \frac{12}{31}, p_\mathrm{B}= \frac{11}{31}, p_\mathrm{C}= \frac{8}{31} </math>, da jeder Schüler gleich wahrscheinlich gezogen werden soll. Dann ist <math> M((0,2,3),p_\mathrm{A},p_\mathrm{B},p_\mathrm{C})=\frac{5!}{0!2!3!} \left(\frac{11}{31}\right)^2\left(\frac{8}{31}\right)^3 = \frac{10\cdot 11^2 \cdot 8^3}{31^5} \approx 0 {,}022</math>

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Binomialverteilung ===
Im Spezialfall <math>k=2</math> ergibt sich die [[Binomialverteilung]], genauer ist <math>M(n,(p,1-p))</math> die [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung]] von <math>X</math> und <math>n-X</math> für eine <math>B(n,p)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>X</math>.

=== Beziehung zur multivariaten hypergeometrischen Verteilung ===
Die Multinomialverteilung und die [[multivariate hypergeometrische Verteilung]] sind miteinander verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell hervorgehen. Einziger Unterschied ist, dass bei der multivariaten [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]] ohne Zurücklegen gezogen wird. Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich unter gewissen Umständen durch die Multinomialverteilung approximieren, siehe hierfür den Artikel über die multivariate hypergeometrische Verteilung.

== Siehe auch ==
* [[Additive Glättung]]

== Literatur ==
*[[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger'', Wiesbaden: Vieweg 1997, 11. Auflage Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-658-14738-9, {{DOI|10.1007/978-3-658-03077-3}}, S. [https://books.google.de/books?id=PfXpHDT_eDwC&pg=PA144 144-147]
* [[Ulrich Krengel]]: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik''. 8. Auflage, Vieweg, 2005. ISBN 978-3-834-80063-3
* Hans-Otto Georgii: ''Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik'', 4. Auflage, de Gruyter, 2009. ISBN 978-3-110-21526-7
* Christian Hesse: ''Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie'': eine fundierte Einführung mit über 500 realitätsnahen Beispielen und Aufgaben, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 978-3-528-03183-1.

== Weblinks ==
*[https://www.statistik-nachhilfe.de/ratgeber/statistik/wahrscheinlichkeitsrechnung-stochastik/wahrscheinlichkeitsverteilungen/diskrete-verteilung/multinomialverteilung Multinomialverteilung]
* {{MathWorld |id=MultinomialDistribution|title=Multinomial Distribution}}
{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Multinomialverteilung - Versionsgeschichte

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