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In der [[Mathematik]] stellt das '''Multinomialtheorem''' (auch ''Multinomialformel'' oder ''Multinomialsatz'') oder '''Polynomialtheorem''' eine Verallgemeinerung des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatzes]] auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die [[Binomialkoeffizient]]en als [[Multinomialkoeffizient]]en verallgemeinert.

== Formel ==

Das Multinomialtheorem besagt, dass

: <math>(x_1+x_2+\ldots+x_n)^k\,=\sum_{k_1+\ldots+k_n=k \atop k_1, \ldots, k_n \geq 0}{k\choose k_1,\ldots,k_n}\,\cdot\, x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}.</math>

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die [[Multinomialkoeffizient|Multinomialkoeffizienten]]

: <math>{k\choose k_1,\,\ldots,\,k_n} = \frac{k!}{k_1!\cdot\,\ldots\,\cdot k_n!}</math>,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die [[Multiindex]]notation mit Multiindex <math>\alpha</math>:

: <math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^k = \sum_{|\alpha|=k} {{k} \choose \alpha}\cdot x^\alpha.</math>

Dabei identifiziert man <math>x</math> mit dem Vektor <math>(x_1, \ldots, x_n) \in \R^n</math>.

== Beispiel ==
<math>(x+y+z)^3={3\choose 3,0,0}\, x^3 + {3\choose 2,1,0}\, x^2 y + {3\choose 2,0,1}\, x^2 z + {3\choose 1,2,0}\, x y^{2} + {3\choose 1,1,1}\, xyz + {3\choose 1,0,2}\, xz^2+ {3\choose 0,3,0}\, y^3 + {3\choose 0,2,1}\, y^2z + {3\choose 0,1,2}\, yz^2+ {3\choose 0,0,3}\, z^3</math>

Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

<math>(x+y+z)^3= x^3 + 3 x^2 y + 3 x^2 z + 3 x y^{2} + 6 xyz + 3 xz^2+ y^3 + 3 y^2z + 3 yz^2+ z^3</math>.

== Anwendung ==
Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung
: <math>n^k = (1 + \cdots + 1)^k = \sum_{|\beta| = k} \frac{|\beta|!}{\beta!} \ge \frac{|\alpha|!}{\alpha!}</math> für alle <math>\alpha</math> mit <math>|\alpha| = k</math>,
also
: <math>|\alpha|! \le n^{|\alpha|}\cdot\alpha!</math>.

== Herleitung ==
Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt <math>(x_1+\ldots + x_n)^k</math> aus, so liest es sich als
:<math>(x_1+\ldots + x_n)\cdot(x_1+\ldots + x_n)\cdots (x_1+\ldots + x_n)</math>.
Beim Ausmultiplizieren der <math>k</math> gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe <math>(x_1+\ldots+x_n)</math> genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form <math>x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n} </math> mit <math>k_1+k_2+\ldots k_n=k</math>. Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt <math>x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n} </math> entsteht dadurch, dass aus <math>n</math> Klammerausdrücken <math>k_1</math>-mal die Zahl <math>x_1</math>ausgewählt wurde, <math>k_2</math>-mal die Zahl <math>x_2</math>ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade <math>\tbinom{k}{k_1,\ldots, k_n}</math> Möglichkeiten.

==Formelle Beweise==
Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer [[Taylorentwicklung#Taylorreihe in mehreren Variablen|mehrdimensionalen Taylorentwicklung]] erster Ordnung oder durch [[vollständige Induktion]] über <math>n</math> unter Zuhilfenahme des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatzes]] beweisen.

== Siehe auch ==
* [[Multinomialverteilung]]

== Literatur ==
* {{EoM|Autor=S.A. Rukova|Titel=Multinomial coefficient|Url=http://eom.springer.de/M/m065320.htm|id=}}
* Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: ''Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise''. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 ({{Google Buch|BuchID=Ss3wkCjLWEIC|Seite=79|Linktext=Auszug|Land=}})
* Dominique Foata, Aimé Fuchs: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung''. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 ({{Google Buch|BuchID=12A5uArN6jAC|Seite=41|Linktext=Auszug|Land=}})

== Weblinks ==
*[[Norbert Henze]]: ''[https://medienportal.bibliothek.kit.edu/details/DIVA-2019-187 Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz]'' In: KIT-Bibliothek Medienportal

[[Kategorie:Algebra]]

Multinomialtheorem - Versionsgeschichte

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