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2026-01-02T20:47:35Z

Eigenschaften

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Der '''Multinomialkoeffizient''' oder auch '''Polynomialkoeffizient''' ist eine Verallgemeinerung des [[Binomialkoeffizient]]en. Für nichtnegative ganze Zahlen <math>k_1, \dotsc, k_r</math> und <math>n:=k_1+\dotsb+k_r</math> ist er definiert als

: <math>{n \choose k_1, \dotsc, k_r} := \frac{n!}{k_1!\dotsm k_r!}.
</math><ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=93}}</ref>

Dabei ist <math> n! = n\cdot(n-1)\dots 2 \cdot 1 </math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math> n </math> bzw. analog <math> k_i! </math> die Fakultät von <math>k_i</math>.

Für <math> r=2 </math> und <math> k := k_1 </math> muss <math> k_2 = n - k </math> sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten <math> {n \choose k} = {n \choose k_1, k_2} = \frac{n!}{k! (n-k)!} </math>.

== Eigenschaften ==

Multinomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig.

Sie lassen sich auf verschiedene Arten darstellen, zum Beispiel auch mithilfe von Binomialkoeffizienten als

: <math>{k_1 + \cdots + k_r \choose k_1, \ldots, k_r} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_r\choose k_r} = \prod_{i=1}^r {\sum_{s=1}^i k_s \choose k_i}</math>.

== Anwendungen und Interpretationen ==

=== Multinomialsatz ===

Multinomialkoeffizienen treten auf, wenn man ein ''Multinom'', also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert. In Verallgemeinerung des [[Binomischer Satz|binomischen Satzes]] gilt nämlich nach dem [[Multinomialtheorem]] (auch ''Polynomialsatz'')

: <math>(x_1+\dotsb+x_r)^n=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}\cdot x_1^{k_1}\dotsm x_r^{k_r}</math>.

Hieraus folgt sofort:

: <math>\forall r\in\mathbb{N}: r^n=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}\cdot 1^{k_1}\dotsm 1^{k_r}=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}.</math>

=== Multinomialverteilung ===

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der [[Multinomialverteilung]]

: <math>P(X_1=k_1,X_2=k_2,\dotsc, X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dotsc, k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \dotsm p_r^{k_r}
</math>,

einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] diskreter Zufallsvariablen.

=== Kombinatorische Deutungen ===

==== Objekte in Schachteln ====

Der Multinomialkoeffizient <math>\tbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r}</math> gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, <math>n</math> (unterscheidbare) Objekte in <math>r</math> Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau <math>k_1</math> Objekte sollen, in die zweite Schachtel <math>k_2</math> Objekte usw.

===== Beispiel =====

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines [[Skat|Skatspiels]] je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um <math>n=32</math> Objekte handelt, die in <math>r=4</math> Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je <math>k_1=k_2=k_3=10</math> Objekte und in die vierte Schachtel <math>k_4=2</math> Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

: <math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640
</math>

==== Anordnung von Dingen ====

Der Multinomialkoeffizient <math>\tbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r}</math> gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von <math>n</math> Objekten an, von denen <math>k_1, k_2, \ldots, k_r</math> gleich sind.<ref>{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-27787-3 |Seiten=19}}</ref>

===== Beispiel =====

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, elf Buchstaben (<math>n=11</math>) anzuordnen, wobei das "M" einmal (<math>k_1=1</math>), das "I" sowie das "S" jeweils viermal (<math>k_2=k_3=4</math>) und das "P" zweimal (<math>k_4=2</math>) vorkommt. Diese Anzahl beträgt
: <math>\binom{11}{1,4,4,2}=\frac{11!}{1!\cdot4!\cdot4!\cdot2!}=34.650.</math>

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf [[Paarweise verschieden|paarweise verschiedene]] Objekte anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

== Pascalsche Simplizes ==

Analog zum [[Pascalsches Dreieck|pascalschen Dreieck]] der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die <math>r</math>-ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren ([[Simplex (Mathematik)|Simplizes]]) anordnen: Die [[Trinomialkoeffizient]]en führen zur [[Pascalsche Pyramide|pascalschen Pyramide]], die weiteren zu <math>r</math>-dimensionalen [[Pascalsches Simplex|pascalschen Simplizes]].

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=MultinomialCoefficient |title=Multinominal Coefficient}}
*[[Norbert Henze]]: ''[https://medienportal.bibliothek.kit.edu/details/DIVA-2019-187 Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz]'' In: KIT-Bibliothek Medienportal

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kombinatorik]]

Multinomialkoeffizient - Versionsgeschichte

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