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2021-11-27T07:45:06Z

Alternierende Multilinearformen

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Eine <math>p</math>-'''Multilinearform''' <math>\omega</math> ist in der Mathematik eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die <math>p</math> [[Funktion (Mathematik)|Argumenten]] <math>v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}</math> aus <math>K</math>-[[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V_1, \ldots, V_p</math> einen Wert <math>\omega(v_1,\ldots,v_p) \in K</math> zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume [[Modul (Mathematik)|Moduln]] sind, spricht man von einer [[Multilineare Abbildung|multilinearen Abbildung]].

== Definition ==

Eine Abbildung
:<math>
\begin{align}
\omega:\ V_1\times \cdots \times V_p & \rightarrow K \\
(v_1,\ldots,v_p) \ & \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right)
\end{align}
</math>
heißt Multilinearform, wenn für alle <math>v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}</math> und alle <math>i \in \{1, \ldots, p\}</math> folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle <math>\lambda \in K</math> gilt
:<math>\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)</math>
und für alle <math>w \in V_i</math>
:<math>\omega\left(v_1,\ldots,v_i+w,\ldots,v_p\right) = \omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\omega\left(v_1,\ldots,w,\ldots,v_p\right)</math>.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen <math>\mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p)</math> bildet einen <math>K</math>-Vektorraum. Im Fall <math>V_1 = \cdots = V_p =: V</math> schreibt man <math>\mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V)</math>.

== Alternierende Multilinearformen ==
Eine Multilinearform <math>\omega \in \mathcal{J}^p(V)</math> heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

:<math>\omega\left(\dots,v,\dots,v,\dots\right)= 0</math>
für alle <math>v \in V</math>.<ref name="eom">{{EoM
| Titel = Multilinear mapping
| Autor = [[Arkadi Lwowitsch Onischik|Arkady L'vovich Onishchik]]
| Url = http://eom.springer.de/m/m065300.htm
}}</ref>

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wechselt, also

:<math>\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)</math>
für alle <math>v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\}</math> und <math>i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j</math>. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] von <math>K</math> nicht 2 ist, also zum Beispiel für <math>K = \mathbb{R}</math>.<ref name="eom" />

Ist allgemeiner <math>\pi \in S_p</math> eine beliebige [[Permutation]] der Indizes, dann gilt
:<math>\omega\left(v_{\pi(1)}, \dotsc, v_{\pi(p)}\right) = \operatorname{sign}(\pi) \cdot \omega\left(v_{1}, \dotsc, v_{p}\right)</math>,
wobei <math>\operatorname{sign}(\pi)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen <math>\Omega^p(V)</math> ist ein [[Untervektorraum]] von <math>\mathcal{J}^p(V)</math>. Wichtig ist der Spezialfall <math>\ p = \dim V</math>. Dann ist <math>\Omega^p(V)</math> ein eindimensionaler Unterraum von <math>\mathcal{J}^p(V)</math>, und seine Elemente heißen [[Determinantenfunktion]]en.

Auf dem durch alle <math>\Omega^p(V), p=0,1,2,\ldots</math> erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer [[Algebra über einem Körper|Algebra]] definieren. Diese Algebra heißt [[Graßmann-Algebra]].

== Beispiele ==

#[[Linearform]]en sind genau die 1-Multilinearformen.
#[[Bilinearform]]en sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von <math>K</math> nicht 2 ist).
#Bildet man aus <math>n</math> Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], so ist die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also <math>\omega </math> definiert durch<br /><math>\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):=
\det\begin{pmatrix}
v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\
v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\
v_{1z} & v_{2z} & v_{3z}
\end{pmatrix}
</math><br />eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren <math>v_1,v_2,v_3</math> folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:<br /><math>
v_1=\begin{pmatrix}
v_{1x} \\
v_{1y} \\
v_{1z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_2=\begin{pmatrix}
v_{2x} \\
v_{2y} \\
v_{2z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_3=\begin{pmatrix}
v_{3x} \\
v_{3y} \\
v_{3z}
\end{pmatrix}</math>.
#Kovariante [[Tensor]]en sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume <math>V_i</math> identisch sind (also <math>V_i=V</math>), ist die <math>p</math>-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor <math>p</math>-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden <math>p</math>-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren <math>p</math>-ter Stufe.
#Eine [[Differentialform]] ordnet einem Punkt einer [[Mannigfaltigkeit]] eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen [[Tangentialraum]] zu.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra.'' Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
* [[Hans-Joachim Kowalsky]], [[Gerhard O. Michler]]: ''Lineare Algebra.'' De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Multilinearform - Versionsgeschichte

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