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2026-02-17T13:41:48Z

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In der [[Mathematik]] fasst man häufig mehrere [[Index (Mathematik)|Indizes]] zu einem einzigen '''Multiindex''' zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex <math>\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> ein [[Tupel]] [[Natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]].

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus [[Notation|notationstechnischen]] Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine [[Potenzreihe]] mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen [[Analysis]] und Theorie der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] verwendet.

== Konventionen der Multiindex-Schreibweise ==
In diesem Abschnitt seien <math>\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1 , \ldots , \alpha_n),\ \boldsymbol{k} = (k_1, \ldots , k_n),\ \boldsymbol{\ell} = (\ell_1, \ldots , \ell_n) \in \N^n_0</math> jeweils <math>n</math>-Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:
:<math>\begin{array}{ccl}
\boldsymbol{k}=\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1=\ell_1 \; , \; \ldots \; ,\; k_n=\ell_n \\\\
\boldsymbol{k}\le\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1\le\ell_1\; ,\; \ldots\; ,\; k_n\le\ell_n \\\\
\boldsymbol{k}+\boldsymbol{\ell} & := & (k_1+\ell_1 \; ,\; \ldots \; ,\; k_n+\ell_n) \\\\
\boldsymbol{k}! & := & k_1!\cdots k_n! \\\\
{\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} & := & \frac{\boldsymbol{\alpha}!}{(\boldsymbol{\alpha-k})!\,\boldsymbol{k}!}={\alpha_1 \choose k_1}\cdots {\alpha_n \choose k_n} \\\\
|\boldsymbol{k}| & := & k_1+\cdots+k_n \\\\
\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} & := & x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} \\\\
\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} & := & D_1^{k_1}\cdots D_n^{k_n}\,,
\end{array}</math>
wobei <math>\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n</math> und <math>\boldsymbol{D}</math> einen [[Differentialoperator]] bezeichnet.

== Anwendungsbeispiele ==
=== [[Potenzreihe]] ===
Eine Mehrfachpotenzreihe <math>\sum_{k_1 \ge 0} \cdots \sum_{k_n\ge 0} a_{k_1,\ldots,k_n} (z_1-z_1^o)^{k_1} \cdots (z_n-z_n^o)^{k_n}</math>
lässt sich kurz schreiben als <math>\sum_{\boldsymbol{k}\ge 0} a_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}^o)^{\boldsymbol{k}}</math>.

=== [[Potenzfunktion]] ===
Ist <math>\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n</math> und sind <math>\boldsymbol{k},\boldsymbol{m}\in\mathbb{N}^n</math>, so gilt
<math>\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!}
=\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}}{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})!}</math> und
<math>\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!}=\frac{|\boldsymbol{x}|^{m-|\boldsymbol{k}|}}{(m-|\boldsymbol{k}|)!}</math>.

=== [[Geometrische Reihe]] ===
Für <math>-\boldsymbol{1}<\boldsymbol{x}<\boldsymbol{1}</math> gilt
<math>\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}=\frac{1}{(\boldsymbol{1}-\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{1}}}</math>, wobei
<math>\boldsymbol{1}=(1,\ldots,1)</math> ist.

=== [[Binomischer Lehrsatz]] ===
Sind <math>\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n</math> und ist <math>\boldsymbol{m}\in\mathbb{N}^n</math>, so gilt
<math>(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}}
{\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{y}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}</math>
bzw. <math>\frac{(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}
\frac{\boldsymbol{y}^{\boldsymbol{j}}}{\boldsymbol{j}!}</math>.

=== [[Multinomialtheorem]] ===
Für <math>\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n</math> und <math>m\in\mathbb{N}</math> ist
<math>(x_1+\cdots+x_n)^m=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} {m \choose k_1,\ldots,k_n} x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}</math>
bzw. <math>\frac{(x_1+\cdots+x_n)^m}{m!}=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} \frac{x_1^{k_1}}{k_1!} \cdots \frac{x_n^{k_n}}{k_n!}</math>,
was sich kurz schreiben lässt als <math>\frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!}
=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}</math>.

=== Leibniz-Regel ===
Ist <math>\boldsymbol{m}\in\mathbb{N}^n</math> und sind <math>f,g \colon \R^n \to \R</math> m-mal [[Differenzierbarkeit|stetig differenzierbare]] Funktionen, so gilt
:<math>(fg)^{(\boldsymbol{m})}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} {\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} f^{(\boldsymbol{k})} g^{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})}</math>
beziehungsweise
:<math>\frac{(fg)^{(\boldsymbol{m})}}{\boldsymbol{m}!}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{f^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!}
\frac{g^{(\boldsymbol{j})}}{\boldsymbol{j}!}</math>.
Diese Identität heißt [[Produktregel|Leibniz-Regel]].

Und sind <math>f_1,\ldots,f_n \colon \R \to \R </math> m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist
:<math>\frac{(f_1\cdots f_n)^{m}}{m!}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!}</math>,
wobei <math>\boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}=(f_1,\ldots,f_n)^{\big((k_1),\ldots,(k_n)\big)}=f_1^{(k_1)}\cdots f_n^{(k_n)}</math> ist.

=== [[Cauchy-Produkt]] ===
Für Mehrfachpotenzreihen <math>f(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} a_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}} \; , \; g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} b_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}</math> gilt
<math>f(\boldsymbol{z})\, g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0}
\left(\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{\ell}} a_{\boldsymbol{k}} \, b_{\boldsymbol{j}} \right) \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}</math>.

Sind <math>f_1(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{1\ell} z^{\ell} \; , \; \ldots \; , \; f_n(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{n\ell} z^{\ell}</math> Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt <math>f_1(z)\cdots f_n(z)
=\sum_{\ell=0}^\infty \left(\sum_{|\boldsymbol{k}|=\ell} a_{\boldsymbol{k}}\right) z^\ell</math>, wobei <math>a_{\boldsymbol{k}} = a_{1k_1} \cdots a_{nk_n}</math> ist.

=== [[Exponentialreihe]] ===
Für <math>\boldsymbol{z}=(z_1,...,z_n)\in\mathbb{C}^n</math> gilt <math>e^{z_1+...+z_n}
=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_0^n} \frac{\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}</math>.

=== [[Binomische Reihe]] ===
Sind <math>\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n</math> und sind alle Komponenten von
<math>\boldsymbol{x}</math> betragsmäßig <math><1\,</math>, so gilt <math>(\boldsymbol{1}+\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0}
{\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} \, \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}</math>.

=== [[Binomialkoeffizient|Vandermondesche Konvolution]] ===
Ist <math>\boldsymbol{m}\in\mathbb{N}^n</math> und sind <math>\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in\mathbb{C}^n</math>, so gilt
<math>{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}}
{\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}} {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}}
{\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}} {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{j}}</math>.

Ist <math>m\in\mathbb{N}</math> und <math>\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb{C}^n</math>, so gilt
<math>{|\boldsymbol{\alpha}| \choose m}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} {\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}}</math>.

=== Cauchysche Integralformel ===
In mehreren Veränderlichen <math>z_1,\ldots,z_n\,</math> lässt sich die [[cauchysche Integralformel]]
:<math>\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(z_1,\ldots,z_n)}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math>

kurz schreiben als

:<math>a_{\boldsymbol{k}}:=\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z})}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^{\boldsymbol{1}}}
\oint_{\partial \boldsymbol{U}} \frac{f(\boldsymbol{\xi})}{(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{z})^{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{1}}} \, \boldsymbol{d\xi}</math>,

wobei <math>\partial \boldsymbol{U}=\partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung <math>|a_{\boldsymbol{k}}|\le \tfrac{M}{\boldsymbol{r}^{\boldsymbol{k}}}</math>, wobei <math>\textstyle M=\max_{\boldsymbol{\xi}\in\partial\boldsymbol{U}} |f(\boldsymbol{k})|</math> ist.

=== Taylor-Reihe ===
Ist <math>f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> eine [[analytische Funktion]] oder <math>f\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Abbildung]], so kann man <math>f</math> mit Hilfe eines Entwicklungspunktes <math>\boldsymbol{z}_0\in\mathbb{R}^n</math> oder <math>\boldsymbol{z}_0\in\mathbb{C}^n</math> in einer [[Taylorreihe]]
:<math>f(\boldsymbol{z})=\sum_{\boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_0^n} \frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z}_0)}{\boldsymbol{k}!} (\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_0)^{\boldsymbol{k}}</math>
darstellen.

=== Hurwitz-Identität ===
Für <math>x,y\in\mathbb{C}</math> mit <math>x\neq 0</math> und <math>\boldsymbol{a}=(a_1,...,a_n)\in\mathbb{C}^n</math> gilt
<math>(x+y)^n=\sum_{\boldsymbol{0}\le\boldsymbol{k}\le\boldsymbol{1}} x\, (x+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{|\boldsymbol{k}|-1}\, (y-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{n-|\boldsymbol{k}|}</math>.

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität <math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\, x\, (x+ak)^{k-1}\, (y-ak)^{n-k}</math>.

Letztere erhält man im Fall <math>\boldsymbol{a}=(a,a,...,a)</math>.

== Literatur ==
* Otto Forster: ''Analysis.'' Band 2: ''Differentialrechnung im'' '''R'''<sup>''n''</sup>. ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (''Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik'').
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.

[[Kategorie:Mathematik]]

Multiindex - Versionsgeschichte

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