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Der '''Mostowski-Kollaps''' (auch: '''Mostowski’scher Isomorphiesatz''') ist ein Satz aus der [[Mengenlehre]], der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker [[Andrzej Mostowski]] formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von [[Modelltheorie|Modellen]] ein wichtiges Hilfsmittel.

== Definition ==
[[Datei:Kollaps.PNG|miniatur|Sogenannter Kollaps der ungeraden auf die natürlichen Zahlen]]
Sei <math>\prec</math> eine zweistellige [[wohlfundierte Relation]] auf einer [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] <math>C</math>.
Über wohlfundierte [[Rekursion]] definiere für <math>x\in C</math> den ''transitiven Kollaps'' durch: <math>\pi(x)=\{\pi (z)\mid z\prec x\}</math>.

Für die Abbildung <math>\pi :C\rightarrow \pi(C)</math> gilt dann:
* <math>x\prec y \Rightarrow \pi (x)\in \pi (y)</math>
* <math>\pi (C)</math> ist eine [[transitive Klasse]].
Ist <math>E</math> zusätzlich extensional, das heißt, wenn aus <math>\{z \mid z\prec x\} = \{z \mid z\prec y\}</math> schon <math>x = y</math> für alle <math>x, y \in C</math> folgt, so gilt darüber hinaus:
* <math>\pi</math> ist [[Bijektion|bijektiv]]
* <math>x\prec y \Leftrightarrow \pi (x)\in \pi (y)</math>.
<math>\pi</math> stellt also einen [[Isomorphismus]] zwischen den Strukturen <math>\langle C,\prec\rangle</math> und <math>\langle \pi(C),\in\rangle</math> dar, und <math>\pi(C)</math> ist die einzige [[transitive Menge]], die (mit der Relation <math>\in</math>) zu <math>\langle C,\prec\rangle</math> isomorph ist.

== Beispiele ==
* Sei <math>C=\{1,3, 5, \dots\}</math> die Menge der ungeraden Zahlen, und <math>{\prec} = {<}</math> die übliche Ordnung. Dann ist <math>\prec</math> [[wohlfundiert]] und extensional. Es gilt: <math>\pi(C)=\omega</math> und <math>\pi(2n+1)=n</math>. Jede ungerade Zahl wird also auf die kleinste noch freie [[natürliche Zahl]] abgebildet. Daher auch der Name Kollaps.
* Ist <math><</math> eine [[Wohlordnung]] auf <math>C</math>, dann ist <math>\pi(C)</math> der Ordnungstyp von <math>(C,<)</math>, also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu <math>(C,<)</math> ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der [[Ordinalzahl]]definition angesehen werden.
* Sei <math>P</math> eine [[partielle Ordnung]], und <math>G\subset P</math> ein [[Filter (Mathematik)|Filter]]. Definiere die (wohlfundierte) Relation <math>\in_G</math> durch: <math>x\in_G y\Leftrightarrow\exists p\in G\colon (x,p)\in y</math>. Ist <math>M</math> ein [[Abzählbarkeit|abzählbares]] transitives Modell von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]] und ist <math>G</math> zusätzlich <math>M</math>-generisch, so definiert der Kollaps von <math>\langle M,\in_G\rangle</math> das Modell <math>\langle M[G],\in\rangle</math>, welches eine fundamentale Rolle in der [[Forcing]]-Methode spielt.

== Literatur ==
* Mostowski, Andrzey: ''An undecidable arithmetical statement'', Fundamenta Mathematicae 36 (1949).
* Jech, Thomas: ''Set Theory'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)]]

Mostowski-Kollaps - Versionsgeschichte

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