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2025-04-19T01:14:42Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den abstrakten kategorientheoretischen Begriff des Morphismus. Für Morphismen in der algebraischen Geometrie siehe [[Morphismus (Varietät)]]. Für Morphismen algebraischer Strukturen siehe [[Homomorphismus]].}}
In der [[Kategorientheorie]] (einem Teilgebiet der [[Mathematik]]) betrachtet man sogenannte ''(abstrakte) Kategorien'', die jeweils gegeben sind durch eine [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] von ''Objekten'' und für je zwei Objekte <math>X</math> und <math>Y</math> eine Klasse von '''Morphismen''' von <math>X</math> nach <math>Y</math> (auch als '''Pfeile''' bezeichnet).

Man schreibt:

:<math>f\colon X\to Y</math>.

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Interpretiert man Mengen mit gleicher [[Mathematische Struktur|Struktur]] als Objekte und die [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]] sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer [[Konkrete Kategorie|konkreten Kategorie]]. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung von Funktionen]]. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie '''Toph''', deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen [[Homotopie]]klassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie '''Rel''', deren Objekte Mengen und deren Morphismen [[Relation (Mathematik)|Relationen]] sind.

== Beispiele ==
Konkrete Beispiele von Morphismen sind [[Homomorphismus|Homomorphismen]] der Kategorien, die in der [[Abstrakte Algebra|Algebra]] studiert werden (z. B. [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] oder [[Ring (Algebra)|Ringe]]), [[Stetige Funktion|stetige]] Funktionen zwischen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]], [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] Funktionen zwischen [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]].

Jede [[Quasiordnung]] <math>(M,\lesssim)</math> definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von <math>M</math> sind und ein Morphismus <math>x \to y</math> genau dann existiert, wenn <math>x \lesssim y</math>.

In einer [[Funktorkategorie]] sind die Morphismen die [[Natürliche Transformation|natürlichen Transformationen]] zwischen den Funktoren.

Für manche Kategorien gibt es besondere Bezeichnungen für Morphismen.
* Ein [[Homöomorphismus]] ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
* Ein [[Diffeomorphismus]] ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
* Eine [[Isometrie]] ist ein Isomorphismus in der Kategorie der [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] mit den [[Nichtexpansive Abbildung|nichtexpansiven stetigen Abbildungen]].
* Eine [[lineare Abbildung]] ist ein (Homo-)Morphismus zwischen [[Vektorraum|Vektorräumen]].

== Verknüpfung ==
Die Verknüpfung (Hintereinanderausführung, Komposition) von Morphismen, in Zeichen: <math>\circ</math>, wird oft in einem [[Kommutatives Diagramm|kommutativen Diagramm]] dargestellt, beispielsweise
: [[Datei:Commutative diagram for morphism.svg]]

== Typen ==
* Jedes Objekt <math>X</math> einer Kategorie hat einen ''[[Identische Abbildung|identischen Morphismus]]'', geschrieben <math>\operatorname{id}_X\colon X \to X,</math> der für alle Morphismen <math>f\colon X \to Y</math> ein [[Neutrales Element|rechtsneutrales Element]] und für alle Morphismen <math>g\colon Y \to X</math> ein linksneutrales Element der Komposition ist, sodass stets <math>f \circ \operatorname{id}_X = f</math> und <math>\operatorname{id}_X \circ g = g</math> gilt.
* Wenn ein Morphismus <math>f\colon X \to Y</math> eine [[Inverses Element|Rechtsinverse]] besitzt, d. h. wenn es einen Morphismus <math>g\colon Y \to X</math> mit <math>f \circ g = \operatorname{id}_Y</math> gibt, dann heißt <math>f</math> ''[[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]]''. Analog bezeichnet man mit ''[[Retraktion und Koretraktion|Schnitt]]'' (Sektion, Koretraktion) einen Morphismus, der eine Linksinverse besitzt.
* Ist <math>f\colon X \to Y</math> sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt <math>f</math> ''[[Isomorphismus]]''. In dem Fall können die Objekte <math>X</math> und <math>Y</math> als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden (Isomorphismen sind beispielsweise in der konkreten Kategorie der Mengen die [[bijektiv]]en Abbildungen).
* Ein Morphismus von <math>X</math> nach <math>X</math> heißt ''[[Endomorphismus]]'' von <math>X.</math>
* Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt ''[[Automorphismus]]''.
* Ein Morphismus <math>f\colon X \to Y</math> mit folgender Eigenschaft heißt ''[[Epimorphismus]]'':
*:Sind <math>g, h\colon Y \to Z</math> beliebige Morphismen mit <math>g \circ f = h \circ f</math>, dann ist stets <math>g = h</math> (z. B. ist jeder [[surjektiv]]e Homomorphismus ein Epimorphismus).
* Ein Morphismus <math>f\colon X \to Y</math> mit folgender Eigenschaft heißt ''[[Monomorphismus]]'':
*:Sind <math>g, h\colon W \to X</math> beliebige Morphismen mit <math>f \circ g = f \circ h</math>, dann ist stets <math>g = h</math> (z. B. ist jeder [[Injektivität|injektive]] Homomorphismus ein Monomorphismus).
* Ein Epimorphismus <math>f</math> heißt ''[[Extremer Monomorphismus und Epimorphismus|extremal]]'' wenn aus <math>f = v \circ w</math> und <math>v</math> ist ein Monomorphismus, stets folgt: <math>v</math> ist ein Isomorphismus.
* Ein Monomorphismus <math>f</math> heißt ''extremal'', wenn aus <math>f = w \circ v</math> und <math>v</math> ist ein Epimorphismus, stets folgt <math>v</math> ist ein Isomorphismus.
* Ist <math>f</math> sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist <math>f</math> ein ''[[Bimorphismus]]''. Nicht jeder Bimorphismus ist ein Isomorphismus. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.
*: Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Martin Brandenburg
|Titel=Einführung in die Kategorientheorie
|TitelErg=Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin
|Datum=2015
|ISBN=978-3-662-47067-1}}
* {{Literatur|Autor=[[Samuel Eilenberg]], [[Saunders Mac Lane]]|Titel=General theory of natural equivalences|Sammelwerk=Transactions of the American Mathematical Society|Datum=1945-09|Band=58|Nummer=2|Seiten=231–294}}
* {{Literatur |Autor=[[Saunders Mac Lane]] |Titel=[[Categories for the Working Mathematician]] |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=New York u. a. |Datum=1998 |Sprache=en |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=5 |ISBN=0-387-98403-8}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4149340-0}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Morphismus| ]]

Morphismus - Versionsgeschichte

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