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Der [[Mathematik|mathematische]] Begriff '''Montel-Raum''' bezeichnet eine spezielle Klasse [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexer Räume]]. Ihren Namen tragen sie nach dem [[Satz von Montel]] aus der [[Funktionentheorie]]. Viele lokalkonvexe Räume aus der Theorie der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] sind Montelräume.

== Definition ==
Ein [[lokalkonvexer Raum]] heißt '''Montel-Raum''', wenn er [[tonnelierter Raum|quasitonneliert]] ist und der [[abgeschlossene Menge|Abschluss]] jeder [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkten]] Menge [[kompakter Raum|kompakt]] ist.

== Beispiele ==
* Ein [[normierter Raum]] ist genau dann Montelraum, wenn er endlich-dimensional ist.
* Ist <math>G\subset {\mathbb C}</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und ist <math>H(G)</math> der Raum der [[Holomorphie | holomorphen]] Funktionen auf G mit den [[Halbnorm]]en <math>\textstyle p_K(f) := \sup_{z\in K}|f(z)|</math>, wobei <math>K\subset G</math> die [[kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen von G durchläuft, so hat nach dem [[Satz von Montel]] jede in <math>H(G)</math> beschränkte Menge einen kompakten Abschluss. Da <math>H(G)</math> als [[Fréchet-Raum]] auch [[tonnelierter Raum|quasitonneliert]] ist, erweist sich <math>H(G)</math> als Montel-Raum.
* Sei <math>\Omega\subset {\mathbb R}^n</math> offen und <math>{\mathcal E}(\Omega)</math> der Raum der [[Glatte Funktion|beliebig oft differenzierbaren Funktionen]] <math>f\colon\Omega\rightarrow {\mathbb R}</math> mit den Halbnormen <math>\textstyle p_{K,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K}|D^\alpha f(x)|</math>, so ist <math>{\mathcal E}(\Omega)</math> ein Montel-Raum. Dabei wurde für <math>\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> die [[Multiindex]]-Schreibweise verwendet.
* Sei <math>\Omega\subset {\mathbb R}^n</math> offen und <math>{\mathcal D}(\Omega)\subset {\mathcal E}(\Omega)</math> der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten [[Träger (Mathematik)|Träger]] in <math>\Omega</math>. Für kompaktes <math>K\subset \Omega</math> sei <math>{\mathcal D}_K(\Omega)</math> der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von <math>{\mathcal E}(\Omega)</math> induzierten [[Teilraumtopologie]]. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf <math>{\mathcal D}(\Omega)</math>, die alle Einbettungen <math>{\mathcal D}_K(\Omega) \subset {\mathcal D}(\Omega)</math> stetig macht. <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> mit dieser Topologie ist der ''Raum der [[Testfunktion]]en'' und ist ein Beispiel für einen nicht-[[metrisierbar]]en Montel-Raum.
* Sei <math>{\mathcal S}({\mathbb R}^n)</math> der Raum aller Funktionen <math>f \colon {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}</math>, für die alle Suprema <math>\textstyle p_{k,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in {\mathbb R}^n} |(1+|x|^2)^m D^\alpha f(x)|</math> endlich sind. Dabei wurde wieder von der [[Multiindex]]-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum <math>{\mathcal S}({\mathbb R}^n)</math> mit den Halbnormen <math>\{p_{k,m};\,k,m\in{\mathbb N}_0\}</math> heißt Raum der [[Distribution (Mathematik)|schnell fallenden Funktionen]] und ist ein Montel-Raum.
* [[Vollständiger Raum|Vollständige]] [[tonnelierter Raum|quasitonnelierte]] [[Schwartz-Raum (allgemein)|Schwartz-Räume]] sind Montel-Räume.
* Jeder lokalkonvexe Raum mit der ''feinsten lokalkonvexen Topologie'', das heißt mit der von allen [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvexen]], [[Absorbierende Menge|absorbierenden]] Mengen als [[Nullumgebungsbasis]] erzeugten Topologie, ist ein Montel-Raum.

== Eigenschaften von Montelräumen ==
* Montel-Räume sind [[reflexiver Raum|reflexiv]] und daher [[tonnelierter Raum|tonneliert]].
* Montel-Räume sind ''quasivollständig'', d. h. jedes beschränkte [[Netz (Topologie)|Cauchy-Netz]] konvergiert. Es gibt [[Vollständiger Raum|unvollständige]] Montel-Räume.
* [[Direktes Produkt|Direkte Produkte]] (mit der [[Produkttopologie]]) und [[Direkte Summe|direkte Summen]] (mit der [[Finaltopologie]]) von Montel-Räumen sind wieder Montel-Räume.
* Im Allgemeinen sind weder abgeschlossene Unterräume noch [[Faktorraum|Quotienten]] von Montel-Räumen wieder Montel-Räume.
* Ist E ein Montel-Raum, so auch der [[Dualraum#Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums|starke Dualraum]] E'. Insbesondere sind also die in der [[Distribution (Mathematik)|Distributionstheorie]] auftretenden Räume <math>{\mathcal E}'(\Omega)</math>, <math>{\mathcal D}'(\Omega)</math> und <math>{\mathcal S}'({\mathbb R}^n)</math> Montel-Räume.

== Quellen ==
* Klaus Floret, [[Joseph Wloka]]: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 56, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1968, {{doi|10.1007/BFb0098549}}.
* H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
* H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
* R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8

[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Montel-Raum - Versionsgeschichte

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