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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit Monte-Carlo Simulationen im Allgemeinen. Für konkrete Algorithmen zur Durchführung von Monte-Carlo Simulationen siehe [[Monte-Carlo-Algorithmus]].}}
[[Datei:Pi monte carlo all.svg|mini| Die [[Kreiszahl|Kreiszahl Pi]] kann mit der Monte-Carlo-Methode angenähert bestimmt werden durch das Vierfache der Wahrscheinlichkeit, mit der ein innerhalb des Quadrats zufällig gewählter Punkt in den Kreisabschnitt fällt. Aufgrund des [[Gesetz der großen Zahlen|Gesetzes der großen Zahlen]] sinkt mit steigender Anzahl von Experimenten die Varianz des Ergebnisses. Für mehr Details siehe unten.]]

'''Monte-Carlo-Simulation''' (auch '''MC-Simulation''' oder '''Monte-Carlo-Studie''') ist ein Verfahren aus der [[Stochastik]] bzw. [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], bei dem wiederholt [[Zufallsstichprobe]]n einer Verteilung mithilfe von [[Zufallsexperiment]]en gezogen werden.<ref>{{Literatur |Autor=Dirk P. Kroese, Tim Brereton, Thomas Taimre, Zdravko I. Botev |Titel=Why the Monte Carlo method is so important today |Sammelwerk=WIREs Computational Statistics |Band=6 |Nummer=6 |Datum=2014-11 |ISSN=1939-5108 |Seiten=386–392 |Sprache=en |DOI=10.1002/wics.1314}}</ref>

Ziel ist es, analytisch nicht oder nur aufwendig lösbare Probleme mithilfe der gezogenen Stichproben [[Numerische Mathematik|numerisch]] zu lösen. Als Grundlage für Monte-Carlo-Simulationen ist vor allem das [[Gesetz der großen Zahlen]] zu sehen. Die Zufallsexperimente können entweder – etwa durch Würfeln – real durchgeführt werden oder in Computerberechnungen mittels [[Monte-Carlo-Algorithmus|Monte-Carlo-Algorithmen]]. Bei Monte-Carlo-Algorithmen werden zur [[Simulation]] von zufälligen Ereignissen [[Zufallszahl]]en oder auch [[Pseudozufallszahl]]en benutzt.

Monte-Carlo-Simulationen weisen Ähnlichkeit zu [[zellulärer Automat|probabilistischen zellulären Automaten]] auf.

== Geschichte ==
Das 1733 von [[Georges-Louis Leclerc de Buffon]] vor der Pariser Akademie der Wissenschaften vorgestellte [[Buffonsches Nadelproblem|Nadelproblem]]<ref>{{Literatur |Autor=Isaac Todhunter |Titel=A History of the Mathematical Theory of Probability: From the Time of Pascal to that of Laplace |Auflage=1. |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2014 |ISBN=978-1-108-07764-4 |Sprache=en |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139923576/type/book |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1017/cbo9781139923576}}</ref>, das mit Hilfe des Zufalls die [[#Probabilistische Bestimmung der Zahl Pi|näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl Pi]] ermöglicht, war eine der ersten Anwendungen einer „Monte-Carlo-Simulation“.

In den 1930er Jahren hatte der Physiker [[Enrico Fermi]] die ersten Ideen zu „Monte-Carlo-Simulationen“ mittels elektronischer Rechenmaschinen.<ref>{{Literatur |Autor=Iulia Georgescu |Titel=The early days of Monte Carlo methods |Sammelwerk=Nature Reviews Physics |Datum=2023-06-26 |ISSN=2522-5820 |Sprache=en |Online=https://www.nature.com/articles/s42254-023-00608-w |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1038/s42254-023-00608-w}}</ref> Als Vorgänger und „Rechner“ galt bis dahin der mechanische Analogrechner [[FERMIAC]].<ref>{{Literatur |Titel=The Fermiac or Fermi's Trolley |Sammelwerk=Il Nuovo Cimento C |Band=39 |Nummer=2 |Datum=2016-09-14 |Seiten=1–8 |Sprache=en |DOI=10.1393/ncc/i2016-16296-7}}</ref> Dies geschah zur Zeit des [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkriegs]] während der Arbeiten als Teil des [[Manhattan-Projekt]]s, am [[Los Alamos National Laboratory|Los Alamos Scientific Laboratory]].<ref>{{Literatur |Autor=Bruce Cameron Reed |Titel=Manhattan Project: The Story of the Century |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2020 |ISBN=978-3-030-45733-4 |Sprache=en |DOI=10.1007/978-3-030-45734-1}}</ref> Es ging im Rahmen der Entwicklung der amerikanischen Atombombe, nebst anderen technischen Fragestellungen und Probleme, um den [[Neutronentransport]] in nuklearen Materialien. Dabei musste in den Anfängen auch die mathematische Methode der Simulation geheim gehalten werden.

Weitere Beiträge lieferten die u. g. Personen, darunter [[Stanisław Marcin Ulam]]<ref>{{Literatur |Autor=Nicholas Metropolis, S. Ulam |Titel=The Monte Carlo Method |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=44 |Nummer=247 |Datum=1949-09 |Seiten=335 |Sprache=en |DOI=10.2307/2280232}}</ref> und [[John von Neumann]]. Beide beschäftigten sich mit den ersten elektronischen (noch [[Röhrencomputer|Röhren]]-basierten, also ohne [[Halbleitertechnik|Halbleitertechnologie]]) Rechenmaschinen, darunter der [[ENIAC]] und das Nachfolgermodell der [[MANIAC I]].

Nach der Anfangsphase der Erforschung gilt als grundlegende Veröffentlichung die Arbeit ''Equation of State Calculations by Fast Computing Machines'' von [[Nicholas Metropolis]]<ref>{{Literatur |Autor=Panos M. Pardalos |Titel=Metropolis, Nicholas Constantine |Sammelwerk=Encyclopedia of Optimization |Verlag=Springer US |Ort=Boston, MA |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-74758-3 |Seiten=2075–2075 |Sprache=en |Kommentar=Siehe die Zitationen dort. |DOI=10.1007/978-0-387-74759-0_368}}</ref>, [[Marshall Rosenbluth|Marshall N. Rosenbluth]] und dessen Ehefrau [[Arianna W. Rosenbluth]], [[Edward Teller]] und dessen Ehefrau [[Augusta H. Teller]], veröffentlicht 1953 im [[Journal of Chemical Physics]].<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller, Edward Teller |Titel=Equation of State Calculations by Fast Computing Machines |Sammelwerk=The Journal of Chemical Physics |Band=21 |Nummer=6 |Datum=1953-06-01 |ISSN=0021-9606 |Seiten=1087–1092 |Sprache=en |Online=https://pubs.aip.org/jcp/article/21/6/1087/202680/Equation-of-State-Calculations-by-Fast-Computing |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1063/1.1699114}}</ref>

Ziel war die Berechnung der Zustandsgleichung eines zweidimensionalen Systems starrer Kugeln als Modelle einer Flüssigkeit. Simuliert wurde mit 224 Teilchen und periodischen Randbedingungen. Jede Simulation bestand aus bis zu 48 Zyklen, in denen jeweils jedes Teilchen einen Bewegungsschritt ausführte. Ein Zyklus benötigte drei Minuten auf dem MANIAC I. Verwendet wurde eine Sampling-Methode mit Wichtung über den Boltzmannfaktor, das Herzstück des MC-Verfahrens im ''[[Metropolis-Algorithmus]]'', wobei die Idee nach Marshall Rosenbluth von Teller gekommen sein soll.<ref>{{Literatur |Autor=Marshall N. Rosenbluth |Titel=Genesis of the Monte Carlo Algorithm for Statistical Mechanics |Band=690 |Verlag=AIP |Datum=2003 |Seiten=22–30 |Sprache=en |Online=https://pubs.aip.org/aip/acp/article/690/1/22-30/584009 |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1063/1.1632112}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. E. Gubernatis |Titel=Marshall Rosenbluth and the Metropolis algorithm |Sammelwerk=Physics of Plasmas |Band=12 |Nummer=5 |Datum=2005-05 |ISSN=1070-664X |Seiten=057303 |Sprache=en |Online=https://pubs.aip.org/aip/pop/article/1016565 |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1063/1.1887186}}</ref> Nach Rosenbluth leisteten er und seine Frau die Hauptarbeit für den Artikel (Metropolis hätte hauptsächlich Computerzeit zur Verfügung gestellt) und sie waren die einzigen der Autoren, die das Verfahren in anschließenden Publikationen weiterverfolgten,<ref>{{Literatur |Autor=Marshall N. Rosenbluth, Arianna W. Rosenbluth |Titel=Further Results on Monte Carlo Equations of State |Sammelwerk=The Journal of Chemical Physics |Band=22 |Nummer=5 |Datum=1954-05-01 |ISSN=0021-9606 |Seiten=881–884 |Sprache=en |Online=https://pubs.aip.org/jcp/article/22/5/881/75962/Further-Results-on-Monte-Carlo-Equations-of-State |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1063/1.1740207}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Marshall N. Rosenbluth, Arianna W. Rosenbluth |Titel=Monte Carlo Calculation of the Average Extension of Molecular Chains |Sammelwerk=The Journal of Chemical Physics |Band=23 |Nummer=2 |Datum=1955-02-01 |ISSN=0021-9606 |Seiten=356–359 |Sprache=en |Online=https://pubs.aip.org/jcp/article/23/2/356/203814/Monte-Carlo-Calculation-of-the-Average-Extension |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1063/1.1741967}}</ref> sie wandten sich aber selbst ebenfalls bald darauf anderen Forschungsthemen ([[Plasma (Physik)|Plasmaphysik]]) zu.

=== Name der Methode ===
Der Name ''Monte-Carlo'' wurde von Nicholas Metropolis geprägt und hängt wie folgt mit der Methode zusammen: Stan Ulam hatte einen Onkel, der sich zum Spielen immer Geld von Verwandten geliehen hatte, denn „er musste nach Monte Carlo gehen“.<ref>{{Literatur |Autor=N Metropolis |Hrsg=Los Alamos Science Special Issue |Titel=BEGINNING of the MONTE CARLO METHOD |Datum=1987 |Seiten=125-130 |Sprache=en |Online=https://fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00326866.pdf |Format=PDF |KBytes=}}</ref> Dies ist natürlich eine Anspielung auf die [[Spielbank Monte-Carlo]] im gleichnamigen Stadtteil des Stadtstaates [[Monaco]].<ref>H. L. Anderson: [http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?00326886.pdf ''Metropolis, Monte Carlo and the MANIAC''.] (PDF, 829 kB) Los Alamos Science, Nr. 14, 1986, S. 96–108, 1986.</ref>

== Hintergrund ==
Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um den [[Erwartungswert]] einer Funktion <math>f</math> zu berechnen.<ref>Manchmal findet sich die Notation <math> E_X[f(X)]=\left\langle f\right\rangle</math>.</ref>

Im Fall diskrekter Zufallsvariablen also

: <math> E_X[f(X)] = \sum_{x \in \Omega} P(x) \, f(x), </math>

bzw. im Fall kontinuierlicher Zufallsvariablen

: <math>E_X[f(X)] =\int_{x \in \Omega} \!\! P(x) \, f(x) \;\mathrm{d}^n x </math>,

wobei hochdimensionale Integrale (''Monte-Carlo-Integration'') auftreten, falls <math>X</math> ein hochdimensionaler [[Zufallsvektor]] ist.

* <math>P(x)</math> soll im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit oder im kontinuierlichen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte sein (in der statistischen Mechanik häufig ein [[Boltzmann-Statistik|Boltzmanngewicht]])
* <math>f(x)</math> ist der Wert der Funktion <math>f</math> (bzw. Größe) bei [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] <math>x</math>.
* Die Summation bzw. Integration verläuft über den [[Ergebnisraum|Raum der möglichen Ergebnisse (Zustände)]] <math>\Omega</math> (z. B. den [[Phasenraum]] der Teilchen in einem physikalischen System).

Kern der Monte-Carlo-Simulation ist die Schätzung des Erwartungswertes <math>\hat{E}_X[f(X)]</math> anhand von [[Stichprobe]]n. Je nachdem, welcher Verteilung die Stichproben entstammen, kann der Schätzer des Erwartungswertes eine kleinere oder größere Varianz haben. Ist man an der praktischen Berechnung eines Mittelwertschätzers interessiert, so will man mit möglichst kleinem Stichprobenumfang einen Schätzer möglichst kleiner Varianz erlangen – dies kann durch Methoden der [[Varianzreduktion]] erreicht werden.
Stichproben aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung können mit [[Markov Chain Monte Carlo|Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren]] erzeugt werden.

== Konvergenz ==
Die Konvergenz von Monte-Carlo-Simulationen kann mit der [[Gelman-Rubin-Statistik]] bewertet werden.

== Anwendungen ==
Mit der Monte-Carlo-Methode können Probleme mit statistischem Verhalten simuliert werden.
* Diese Methode hat deshalb besonders in der [[Physik]] wichtige Anwendungen gefunden: beispielsweise sind in der [[Statistische Physik|Statistischen Physik]] und der Quantenmechanik Observablen eines Systems im Gleichgewicht stets als Erwartungswert beschrieben.<ref>Hoover, W. (2012). Computational Statistical Mechanics. Niederlande: Elsevier Science, Seite 80, https://books.google.de/books?id=7XSQYjZdRKMC&pg=PA80</ref>
*In der [[Integralgeometrie]] oder [[stochastische Geometrie|stochastischen Geometrie]] können Monte-Carlo Simulationen angewandt werden.
*In der [[mathematische Optimierung|mathematischen Optimierung]] tauchen Monte-Carlo-Methoden, z. B. in Form [[Evolutionärer Algorithmus|Evolutionärer Algorithmen]] auf.
* Zur numerischen Schätzung der [[Fehlerfortpflanzung]] (insbesondere bei nicht-lineare Funktionen) können Monte-Carlo Methoden verwendet werden<ref>Evaluation of measurement
data — Supplement 1 to the
“Guide to the expression of uncertainty in measurement” —
Propagation of distributions
using a Monte Carlo method https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_101_2008_E.pdf/325dcaad-c15a-407c-1105-8b7f322d651c</ref>

Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Simulation sind folgende:

=== Berechnung von Integralen ===
Zur Bestimmung von (höherdimensionalen) [[Integralrechnung|Integralen]] wird in der einfachsten Form (Simple Sampling) folgender Sachverhalt ausgenutzt:
Sei <math>\Omega\subset\mathbb{R}^n</math> eine beliebig dimensionale Menge und <math>f</math> eine integrierbare Funktion.

Das Integral sei <math>S(f):= \int_{x \in \Omega} \!\! f(x) \;\mathrm{d}^n x = \int_{x \in \Omega} \!\! \underbrace{\frac{V}{V}}_{1}f(x) \;\mathrm{d}^n x.</math>
Wird nun <math>\frac{1}{V}=:p(x)</math> als Wahrscheinlichkeitsdichte eines im Volumen <math>V</math> gleichverteilten Zufallsvektors interpretiert, so ist
:<math> S(f)=\int_{x \in \Omega} \!\! f(x) \;\mathrm{d}^n x = V\int_{x \in \Omega} \!\! f(x) p(x) \mathrm{d}^n x= V E_X[f(X)].</math>

==== Schätzung ====
Der Schätzer des Integrals der Funktion ist somit:
<math> \hat{S}(f)= V \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)</math>, falls <math>X_i\sim p</math> (gleichverteilt) und approximiert den Wert <math>S(f)</math> mit steigender Zahl an Stichproben beliebig genau.

Für ein konkretes Beispiel siehe unten.

==== Eigenschaften ====
In der Praxis werden Monte-Carlo-Verfahren vor allem für die Berechnung hochdimensionaler Integrale verwendet.
Hier sind klassische Integrationsalgorithmen stark vom [[Fluch der Dimensionalität#Numerische Integration|Fluch der Dimensionalität]] betroffen und nicht mehr anwendbar.
Allerdings sind speziell hochdimensionale Integranden meist stark lokalisiert.<ref>{{Cite book |url=http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/book.html|title=Information Theory, Inference and Learning Algorithms |last=MacKay |first=David |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |isbn=978-0-521-64298-9 |chapter=Kapitel 4.4 Typicality & Kapitel 29.1 |ref=mackay2003 |authorlink=David MacKay |chapter-url=https://www.inference.org.uk/itprnn/book.pdf format=PDF |language=en}}</ref> In diesen Fällen erlauben insbesondere ''[[MCMC-Verfahren]]'' (siehe dort) die Erzeugung von Stichproben mit einer Verteilung, die eine effiziente Berechnung solcher hochdimensionaler Integrale erlaubt.

=== Resampling ===
{{Hauptartikel|Resampling}}
Untersuchung der Verteilungseigenschaften von [[Zufallsvariable]]n unbekannten Verteilungstyps,
* Beispiel: die Ermittlung der nichtzentralen Verteilung des [[Korrelationskoeffizient]]en. Mit Hilfe von Zufallszahlen wird die [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] beliebig vieler Korrelationskoeffizienten simuliert. Eine Zusammenfassung der Koeffizienten in eine Häufigkeitstabelle ergibt eine [[empirische Verteilungsfunktion]] oder ein [[Histogramm]].
* die Eigenschaften von Schätzfunktionen bei Vorliegen von [[Ausreißer]]n in Daten. Mit Hilfe der Simulation kann gezeigt werden, dass das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] nicht mehr ein [[bester Schätzer]] für den [[Erwartungswert]] ist.
* die Schätzung von Verteilungsparametern.

=== Nachbildung von komplexen Prozessen ===
* Produktionsprozesse in einem Fertigungsunternehmen, um Engpässe und Opportunitäten in der Produktion aufzudecken
* [[Klimamodell]]e
* Rekonstruktionsverfahren in der [[Nuklearmedizin]].
* [[Risikoaggregation]] zur Bestimmung des Gesamtrisikoumfangs eines Unternehmens im [[Risikomanagement]]<ref>Gleißner; W.: Risikoanalyse, Risikoquantifizierung und Risikoaggregation, in: WiSt, 9/2017, S. 4–11</ref>
* Ableitung von Bewertungen in der [[Wertermittlung]], z. B. bei der [[Unternehmensbewertung]] oder Immobilienwirtschaft.<ref>{{Internetquelle |autor=S. Jayraman |url=http://ww2.cs.fsu.edu/~jayarama/RealEstateMCMReport.pdf |titel=A Review of Monte Carlo Methods in Real Estate |datum=2013-05-02 |format=PDF |sprache=en |abruf=2017-05-20 |kommentar=und Quellen darin}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Bernhard Gablenz]] |Titel=Monte Carlo hilft bei Unsicherheiten. |Sammelwerk=Immobilienzeitung |Band=Ausgabe 29 |Datum=2007-07-26 |Seiten=6 |Online=http://svgablenz.de/files/downloads/Das_Monte_Carlo_Verfahren__Artikel_aus_Immobilienzeitung.pdf}}</ref> Bepreisung komplexer Finanzkontrakte wie „exotische“ Optionen, bei denen keine analytische Formel für die Bewertung eines Finanzproduktes bekannt ist.
* räumliche Verteilung des [[Neutronenfluss|energieabhängigen Neutronenflusses]] in einem [[heterogen]]en Medium, etwa im [[Blanket]] eines [[Kernfusionsreaktor]]s.
* Supercomputer und MC Methoden werden u. a. für die Simulation der alternden [[Kernwaffe|Nuklearwaffen]] der USA benutzt.<ref>{{Internetquelle |url=https://wci.llnl.gov/simulation/computer-codes/mercury |titel=MERCURY |abruf=2019-08-13}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://gcn.com/articles/2014/07/10/nnsa-cray-trinity.aspx |titel=Trinity supercomputer to support nuclear stockpile simulations - |sprache=en |abruf=2019-08-13}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Nicole Hemsoth |url=https://www.nextplatform.com/2015/07/16/nnsa-stockpile-of-nuclear-security-supercomputers-continues-evolution/ |titel=NNSA Stockpile of Nuclear Security Supercomputers Continues Evolution |datum=2015-07-16 |sprache=en-US |abruf=2019-08-13}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://wci.llnl.gov/science/stockpile-stewardship-program |titel=Stockpile Stewardship Program |abruf=2019-08-13}}</ref>
* Wege eines einzelnen Regentropfens simulieren, der mit zufällig verteilten anderen Tropfen kollidiert. Nach der Simulation mehrerer konkreter Tropfen sind Aussagen über die durchschnittliche Tropfengröße möglich oder auch zu Temperatur und Tröpfchendichte, bei denen Schnee oder Hagel entstehen.
* Verteilung der Kugeln auf die Fächer beim [[Galtonbrett]].

=== Bayessche Statistik ===
{{Hauptartikel|Bayessche Statistik}}
Durch Monte-Carlo-Simulationen können komplizierte Bayessche Modelle auf Daten angepasst werden (wie z. B. in [[Approximate Bayesian Computation]]) und mithilfe der [[Posterior predictive distribution]] zur Vorhersage benutzt werden.

== Beispiele ==
[[Datei:MonteCarloIntegrationCircle.svg|mini|Illustration zur Monte-Carlo-Bestimmung von Pi. Rote Punkte liegen innerhalb der Kreisfläche, blaue außerhalb.]]
=== Probabilistische Bestimmung der Zahl Pi ===
{{Siehe auch|Kreiszahl#Statistische Bestimmung|titel1=Statistische Bestimmung der Kreiszahl}}
Man wählt hierzu zufällige Punkte in der Menge <math>[-1,+1]^2 \subset \R^2</math> [[Gleichverteilung|gleichverteilt]] aus und überprüft für jeden Punkt <math>(x,y) \in [-1,+1]^2</math>, ob dieser innerhalb des [[Einheitskreis]]es liegt, ob also die Bedingung
:<math>x^{2} + y^{2} \le 1</math>
erfüllt ist. Dies kann formal über die [[Indikatorfunktion]] getestet werden:
:<math>z=I(x^{2} + y^{2} \le 1) =\begin{cases}1 &\text{ falls } x^{2} + y^{2} \le 1\\ 0& \text{ sonst} \end{cases}\;.</math>
Ein Wert <math>z</math> ist die Realisierung einer [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen]] <math>Z \sim \mathrm{Ber}(p)</math>, wobei der [[Bernoulli-Parameter]] <math>p</math> der Verteilung gerade durch das Flächenverhältnis gegeben ist, d. h.
:<math>p=\frac{\text {Kreisfl} \mathrm{\ddot a} \text{che}}{\text{Quadratfl} \mathrm{\ddot a} \text{che}} = \frac{ r^{2} \cdot \pi }{ (2 \cdot r)^{2} } = \frac{ \pi }{ 4 } = P \left(Z =1\right)\;.</math>
Dabei ist <math>r=1</math> und <math>\pi</math> bezeichnet die [[Kreiszahl]].

Liegt eine Folge <math>z_1,\dots,z_n</math> von Realisierungen von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariable <math>Z_1,\dots,Z_n</math> vor, die jeweils Bernoulli-verteilt mit dem Bernoulli-Parameter <math>p</math> sind, so ist die relative Häufigkeit
:<math>\hat{p} =\frac{\text{Anzahl der Punkte in Kreisfläche}}{\text{Anzahl generierte Punkte im Quadrat}} = \frac{\sum_{i=1}^n z_i }{ n}</math>
der übliche Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>. Eine alternative Sichtweise ist, dass ein Schätzwert für den Erwartungswert <math>E[Z]= P(Z=1) = p</math> durch das arithmetische Mittel <math>\hat E[Z]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i</math> gegeben ist.

Somit ist <math>\hat p</math> ein Monte-Carlo-Schätzwert für <math>\pi/4</math>. Wegen <math>\pi = 4 p</math> ist <math>\hat\pi = 4 \hat p</math> ein Monte-Carlo-Schätzwert für <math>\pi</math>.

Für die so erhaltene Schätzung <math>\hat \pi</math> können [[Konfidenzintervall]]e mithilfe des [[Standardfehler]]s angegeben werden, welche die Unsicherheit der Schätzung ausdrücken.

=== Numerische Integration ===
{{Siehe auch|Numerische Integration}}
[[Datei:NumInt-MC.png|mini|[[Numerische Integration]] mit Monte Carlo: Die Stützstellen werden zufällig gleichverteilt auf dem Integrationsintervall gewählt. Neue Stützstellen sind dunkelblau, die alten hellblau eingezeichnet. Der Wert des Integrals nähert sich 3,32 an.]]
Das obige Beispiel zur Bestimmung von Pi schätzt das Flächenintegral einer Viertelkreisfläche und verwendet dazu Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen <math>Z_1,\dots Z_N</math>.

Dasselbe Ergebnis kann auch durch die oben angegebene Integrationsformel mit gleichverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> erreichen.

Um wie oben vorgestellt Pi mithilfe von Simple Sampling zu berechnen, muss man <math>\Omega:=[-1,1]^2</math> und <math>f=I_{\mathrm{Kreis}}</math> als [[Indikatorfunktion]] des Einheitskreises wählen:

Dann ist <math>S(f)=V E_{X,Y}[I_\mathrm{Kreis}(X,Y)]=\pi</math> die Fläche des Einheitskreises und der Schätzer
<math>\hat{S}(f)=V \hat{E}_{X,Y}[I_\mathrm{Kreis}(X,Y)]=V\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N I_\mathrm{Kreis}(x_i,y_i),</math>
wobei das Volumen <math>V=2\cdot2 =4</math> ist.

=== Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve ===
{{Hauptartikel|Crofton-Formel}}
Die Crofton-Formel zur Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve kann näherungsweise mit Monte-Carlo-Simulationen ausgewertet werden.

=== Miller-Rabin-Primzahltest ===
Ein Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation ist der [[Miller-Rabin-Test]], bei dem probabilistisch bestimmt wird, ob eine natürliche Zahl [[Primzahl|prim]] ist oder nicht. Die Ausgabe des Tests lautet entweder „sicher zusammengesetzt“ oder „wahrscheinlich prim“. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zusammengesetzte Zahl als „wahrscheinlich prim“ klassifiziert wird, liegt pro Durchgang unter 25 % und kann durch mehrfache Ausführung weiter gesenkt werden. Der Miller-Rabin-Test liefert keine Aussage über die Faktoren einer zusammengesetzten Zahl, ist also kein [[Faktorisierungsverfahren]].

== Codes und Simulatoren (Auswahl) ==
''Hinweis. Die Liste ist als unvollständig zu betrachten, bietet aber einige bekannte Beispiel an MCS. Es existieren ebenfalls kommerzielle Codes, oder Codes die für spezielle Prozesse entwickelt wurden, usw.''
* [[Geant4]], kurz für '''''Ge'''ometry '''an'''d '''T'''racking,'' ein vom CERN entwickeltes und veröffentlichtes Simulationsprogramm.
* ''[[MCNP]]'', kurz für '''''M'''onte-'''C'''arlo '''N'''-'''P'''article Transport Code'', ist eine seit 1957 vom [[Los Alamos National Laboratory|LANL]] entwickeltes reaktorphysikalisches Simulationsprogramm,<ref name="MCNP_2018">{{Internetquelle |url=https://mcnp.lanl.gov/ |titel=A General Monte Carlo N-Particle (MCNP) Transport Code: Monte Carlo Methods, Codes, & Applications Group |sprache=en |abruf=2023-06-17}}</ref> das in der [[Kerntechnik]] und [[Kernfusionsreaktor|Kernfusionstechnik]] häufig angewendet wird.<ref>In der bibliografischen Datenbank [[WorldCat]] sind über 10.000 Arbeiten verzeichnet, die dem Programm MCNP selbst oder Anwendungen des Programms gewidmet sind.</ref>
* [[OpenMC]], ein Community-Projekt mit der Anwendung der MC-Methode auf Neutronen und Photonen-Transport.<ref>{{Internetquelle |url=https://openmc.org/ |titel=OpenMC |hrsg=Massachusetts Institute of Technology, UChicago Argonne LLC, and OpenMC contributors |sprache=en |abruf=2023-07-04}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Paul K. Romano, Nicholas E. Horelik, Bryan R. Herman, Adam G. Nelson, Benoit Forget, Kord Smith |Titel=OpenMC: A state-of-the-art Monte Carlo code for research and development |Sammelwerk=Annals of Nuclear Energy |Reihe=Joint International Conference on Supercomputing in Nuclear Applications and Monte Carlo 2013, SNA + MC 2013. Pluri- and Trans-disciplinarity, Towards New Modeling and Numerical Simulation Paradigms |Band=82 |Datum=2015-08-01 |ISSN=0306-4549 |Seiten=90–97 |Sprache=en |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S030645491400379X |Abruf=2023-07-04 |DOI=10.1016/j.anucene.2014.07.048}}</ref>
* ''[[PYTHIA]]'' ist ein Simulationsprogramm für die Teilchenphysik und simuliert Kollisionen und dabei entstehende Teilchen.
* Serpent, MC-Simulationsprogramm des [[VTT|VTT Technical Research Centre]], Finnland<ref>{{Literatur |Autor=Jaakko Leppänen et al. |Titel=The Serpent Monte Carlo code: Status, development and applications in 2013 |Sammelwerk=Annals of Nuclear Energy |Band=82 |Datum=2015-08-01 |ISSN=0306-4549 |Seiten=142–150 |Sprache=en |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0306454914004095 |Abruf=2023-08-21 |DOI=10.1016/j.anucene.2014.08.024}}</ref>

* ''[[SPICE (Software)|SPICE]]'' ist ein Simulationsprogramm für analoge, digitale und gemischte elektronische Schaltungen. Mittels einer Monte-Carlo-Simulation bzw. Analyse ist es möglich, die Auswirkungen der Streuung der Bauteilewerte innerhalb der angegebenen Toleranz zu berechnen.

== Siehe auch ==
* [[Risikoaggregation]]

== Literatur ==
{{Siehe auch|Monte-Carlo-Algorithmus|MCMC-Verfahren}}

=== Fachartikel ===

* {{Literatur
|Autor=Dirk P. Kroese, Tim Brereton, Thomas Taimre, Zdravko I. Botev
|Titel=Why the Monte Carlo method is so important today
|Sammelwerk=WIREs Computational Statistics
|Band=6
|Nummer=6
|Datum=2014-11
|Seiten=386–392
|Sprache=en
|DOI=10.1002/wics.1314}}

=== Referenzwerke ===
* {{Literatur |Autor=George S. Fishman |Titel=Monte Carlo –Concepts, Algorithms, and Applications |Reihe=Springer Series in Operations Research |Verlag=Springer |Ort=New York / Berlin / Heidelberg |Datum=1996 |ISBN=0-387-94527-X |DOI=10.1007/978-1-4757-2553-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Dirk Kroese|Dirk P. Kroese]], Thomas Taimre, Zdravko I. Botev
|Titel=Handbook of Monte Carlo Methods
|Reihe=[[Wiley Series in Probability and Statistics]]
|BandReihe=706
|Verlag=Wiley
|Ort=Hoboken, NJ
|Datum=2011
|ISBN=978-0-470-17793-8
|Sprache=en
|Online=https://people.smp.uq.edu.au/DirkKroese/montecarlohandbook/
|Abruf=2023-07-07}}
* {{Literatur |Autor=Christian P. Robert, George Casella |Titel=Monte Carlo Statistical Methods |Auflage=2 |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Datum=2004 |ISBN=0-387-21239-6 |DOI=10.1007/978-1-4757-4145-2}}
* {{Literatur
|Autor=Reuven Y. Rubinstein, [[Dirk Kroese|Dirk P. Kroese]]
|Titel=Simulation and the Monte Carlo Method
|Reihe=[[Wiley Series in Probability and Statistics]]
|Auflage=3.
|Verlag=John Wiley & Sons, Inc
|Ort=Hoboken, New Jersey
|Datum=2017
|ISBN=978-1-118-63220-8
|Sprache=en
|Online=https://people.smp.uq.edu.au/DirkKroese/}}

=== Fachbücher ===
* {{Literatur
|Autor=Kurt Binder
|Titel=Monte Carlo and Molecular Dynamics Simulations in Polymer Sciences
|Verlag=Oxford University Press
|Datum=1995
|ISBN=0-19-509438-7
|Sprache=en
|Online=https://archive.org/details/montecarlomolecu0000unse}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kurt Binder]], [[Dieter Heermann|Dieter W. Heermann]]
|Titel=Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction
|Reihe=[[Graduate Texts in Physics]]
|Verlag=Springer International Publishing
|Ort=Cham
|Datum=2019
|ISBN=978-3-030-10757-4
|Sprache=en
|DOI=10.1007/978-3-030-10758-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Paul Glasserman]]
|Titel=Monte Carlo Methods in Financial Engineering
|Reihe=Stochastic Modelling and Applied Probability
|BandReihe=53
|HrsgReihe=B. Rozovskii, M. Yor
|Verlag=Springer New York
|Ort=New York, NY
|Datum=2003
|ISBN=1-4419-1822-1
|Sprache=en
|DOI=10.1007/978-0-387-21617-1}}

=== Ältere Werke ===

* {{Literatur
|Autor=Nikolaj P. Buslenko, Juri A. Schreider
|Titel=Die Monte-Carlo-Methode und ihre Verwirklichung mit elektronischen Digitalrechnern
|Auflage=1.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=1964
|Sprache=de}}
* {{Literatur
|Hrsg=Yuri A. Shreider
|Titel=The Monte Carlo Method
|Verlag=Pergamon Press
|Ort=Oxford
|Datum=1966
|Sprache=en
|Online=https://archive.org/details/montecarlomethod0000shre}}
* {{Literatur
|Autor=Sergej M. Ermakow
|Titel=Die Monte-Carlo-Methode und verwandte Fragen
|Auflage=
|Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1975}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Monte Carlo method|Monte-Carlo-Simulation}}
{{Wiktionary}}
* {{DNB-Portal|4240945-7}}
* {{YouTube |id=OcC05prbQ_k |titel=Die Monte-Carlo-Simulation für die Teilchenphysik. Film des Karlsruher Instituts für Technologie zur Monte-Carlo-Simulation in der Teilchenphysik}}

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4240945-7|LCCN=sh85087032|NDL=00567842|VIAF=}}
[[Kategorie:Schätztheorie]]
[[Kategorie:Testtheorie]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Computerchemie]]
[[Kategorie:Computerphysik]]
[[Kategorie:Stichprobentheorie]]

Monte-Carlo-Simulation - Versionsgeschichte

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