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2026-02-18T05:41:52Z

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Die '''Monstergruppe''' ist eine der 26 [[Sporadische Gruppe|sporadischen Gruppen]] in der [[Gruppentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Für die meist mit einer der beiden symbolischen Bezeichnungen <math>F_1</math> und <math>M</math> abgekürzte Monstergruppe werden häufig auch die englischen Bezeichnungen ''monster group'', ''Fischer-Griess monster group'' oder ''friendly giant group''<ref name="giant">{{Literatur |Autor=[[Robert Griess (Mathematiker)|Robert L. Griess]] |Titel=The Friendly Giant |Sammelwerk=Inventiones Mathematicae |Band=69 |Datum=1982 |Seiten=1-102 |Online=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN356556735_0069 |DOI=10.1007/BF01389186}}</ref> benutzt. Der ungewöhnliche Name dieser Gruppe kann dadurch erklärt werden, dass sie mit Abstand die mächtigste aller 26 [[Sporadische Gruppe|sporadischen Gruppen]] ist.

== Eigenschaften ==
Die sporadischen Gruppen sind jene (endlich vielen) [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], die sich nicht in eine der 18 (unendlich großen) Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen lassen. Von diesen gibt es 26 Stück, und die Monstergruppe <math>M</math> ist unter diesen die mit Abstand mächtigste mit einer [[Gruppenordnung]] von
{|
|-
| <math>\left| M \right|</math> || = 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71
|-
| || = 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000
|-
| || ≈ 8·1053
|}
Die Ordnung der nächstkleineren sporadischen Gruppe, der sogenannten [[Baby-Monstergruppe]], ist
4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 ≈ 4·1033.


Die Primteiler der Ordnung der Monstergruppe sind die [[Supersinguläre Primzahl|supersingulären Primzahlen]] ({{OEIS|A002267}}).<ref>{{MathWorld |id=SupersingularPrime |title=Supersingular Primes}}</ref><ref>{{MathWorld |id=MonsterGroup |title=Monster Group}}</ref> Die Monstergruppe ist [[Galoisgruppe]] eines [[Zerfällungskörper#Anwendungen|Polynoms]] mit rationalen Koeffizienten und kann durch Angabe dieses Polynoms vollständig charakterisiert werden.

20 der 26 sporadischen Gruppen sind [[Subquotient]]en ([[Homomorphismus#Eigenschaften|Bilder]] von [[Untergruppe]]n) von <math>M</math>. Diese 20 werden nach [[Robert Griess (Mathematiker)|Robert Griess]] als ''Happy Family'' zusammengefasst, und im Gegensatz dazu die übrigen 6 als ''Parias'' bezeichnet.<ref name="giant" />

== Entdeckungsgeschichte ==
Die Existenz der Monstergruppe wurde 1973 von [[Bernd Fischer (Mathematiker)|Bernd Fischer]] und [[Robert Griess (Mathematiker)|Robert Griess]] vermutet. 1982 gelang Griess die Konstruktion der Monstergruppe als [[Automorphismengruppe]] einer [[Kommutativgesetz|kommutativen]], nicht-[[Assoziativgesetz|assoziativen]] [[Algebra (Struktur)|Algebra]] auf einem 196883-dimensionalen [[Vektorraum|Raum]]. 1979 formulierten [[Simon Norton]] und [[John H. Conway]] eine Reihe von Vermutungen über Zusammenhänge zwischen der Monstergruppe und der [[j-Funktion]] („[[Mondscheinvermutung|monstrous moonshine]]“), für deren Beweis der englische Mathematiker [[Richard E. Borcherds]] 1998 unter anderem auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematikerkongress]] in Berlin die [[Fields-Medaille]] erhielt.

Die Eindeutigkeit des Monsters wurde 1989 von Griess, [[Ulrich Meierfrankenfeld]] und Yoav Segev bewiesen.

== Literatur ==
* [[Richard Borcherds]]: [https://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf ''What is … The Monster?''] (PDF; 55 kB) In: ''Notices of the AMS'', Band 49, Nr. 9, Oktober 2002, S. 1076–1077 (englisch)
* Mark Ronan: ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0-19-280723-6 (populärwissenschaftlich)
* [[Marcus du Sautoy]]: ''Die Mondscheinsucher. Mathematiker entschlüsseln das Geheimnis der Symmetrie''. C. H. Beck, 2008, ISBN 978-3-406-57670-6 (populärwissenschaftlich)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4451088-3}}

[[Kategorie:Endliche einfache Gruppe]]

Monstergruppe - Versionsgeschichte

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