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Ein '''monotoner Operator''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik]] aus dem Teilgebiet der nichtlinearen [[Funktionalanalysis]]. Sie sind besondere (nicht lineare) Operatoren und eine Verallgemeinerung der [[Monotone Funktion|monotonen reellen Funktionen]] einer Variable.

== Definition ==
Es seien <math>V</math> ein [[normierter Raum]] und <math>M \subset V</math> eine [[konvexe Teilmenge]] von <math>V</math>. Ein (nicht linearer) [[Operator (Mathematik)|Operator]] <math>F \colon M \rightarrow V^*</math> heißt monoton, falls für alle <math>x,y \in M</math> die Ungleichung

:<math>\langle x-y,F(x)-F(y)\rangle \geq 0</math>

gilt. Hierbei bezeichnet <math>V^*</math> den [[Topologischer Dualraum|topologischen Dualraum]] von <math>V</math> und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math> die [[duale Paarung]] <math>V \times V^* \rightarrow \mathbb{K},\,(x,f)\mapsto f(x) </math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. E. Showalter |Titel=Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2014 |ISBN=978-1-4704-1280-7 |Seiten=37 |Sprache=en}}</ref>

Diesen Begriff kann man wörtlich auf allgemeinere Raumklassen, insbesondere auf [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]], übertragen. Weiter kann dieser Begriff auf mengenwertige Funktionen <math>F\colon M\rightarrow \mathcal{P}(V^*)</math> ausgedehnt werden. Eine solche Funktion heißt dann monoton, falls für alle <math>x,y \in M</math> und <math>f\in F(x), g\in F(y)</math> die Ungleichung
:<math>\langle x-y,f-g\rangle \geq 0</math>
gilt.<ref>Regina S. Burachik, Alfredo N. Iusem: ''Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators'', Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-69755-0</ref>

== Anwendung ==
Der Begriff des monotonen Operators hat viele Anwendungen in der nichtlinearen [[Funktionalanalysis]], insbesondere bei nichtlinearen [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]].<ref>Klaus Deimling: ''Nonlinear Functional Analysis.'' 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Kap 3.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Heinz H. Bauschke & Patrick L. Combettes |Titel=Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=2011 |ISBN=978-1-4419-9466-0}}
* {{Literatur |Autor=R. E. Showalter |Titel=Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2014 |ISBN=978-1-4704-1280-7 |Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Monotoner Operator - Versionsgeschichte

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