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2017-09-19T18:05:18Z

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Ein wachsender oder '''monotoner Dichtequotient''', auch wachsender oder '''monotoner Likelihood-Quotient''' genannt, ist eine Eigenschaft einer [[Verteilungsklasse]] oder eines [[Statistisches Modell|statistischen Modells]] in der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Für Modelle mit wachsendem Dichtequotienten lässt sich das [[Neyman-Pearson-Lemma]] verallgemeinern und liefert somit die Existenz [[gleichmäßig bester Schätzer]].

== Definition ==
Gegeben sei ein statistisches Modell <math> (X, \mathcal A, (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}) </math> mit <math> \Theta \subset \R </math>. Des Weiteren existiere für alle <math> \vartheta \in \Theta </math> die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]en <math> f_\vartheta (x ) </math>. Definiere
:<math> R_{\vartheta \colon \overline \vartheta}:= \frac{f_{\overline \vartheta}(x)}{f_\vartheta(x)} </math>

die Dichtequotientenfunktion.

Existiert nun für alle <math> \vartheta < \overline \vartheta </math> eine Statistik
:<math> T \colon X \to \R </math>,

so dass die Dichtequotientenfunktion eine monoton wachsende Funktion in <math> T </math> ist, so heißt das statistische Modell ein Modell mit wachsendem Dichtequotienten in <math> T </math>.

Es existiert also eine monoton wachsende Funktion <math> g_{\vartheta \colon \overline \vartheta} </math>, so dass
:<math> R_{\vartheta \colon \overline \vartheta}=g_{\vartheta \colon \overline \vartheta} \circ T </math>

ist.

== Verwendung ==
In Modellen mit monotonem Dichtequotient lässt sich das [[Neyman-Pearson-Lemma]] auf [[einseitiger Test|einseitige Tests]] verallgemeinern. Dabei sind einseitige Tests von der Form
:<math> \Theta_0= \{\vartheta \in \Theta \, | \, \vartheta \leq \vartheta_0\} \text{ und } \Theta_1 =\{\vartheta \in \Theta \, | \, \vartheta > \vartheta_0\} </math>

oder umgekehrt, wobei <math> \Theta \subset \R </math> und <math> \vartheta_0 </math> eine vorgegebene Zahl ist. Somit existiert in diesem Fall ein [[gleichmäßig bester Test]] zu einem vorgegebenen Niveau <math> \alpha </math>, der auch explizit angegeben werden kann.

Eine große Verteilungsklasse mit monotonem Dichtequotient ist beispielsweise die einparametrige [[Exponentialfamilie]].

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
*{{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}
*{{Literatur|Autor=[[Hans-Otto Georgii]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}

[[Kategorie:Mathematische Statistik]]
[[Kategorie:Verteilungsklasse]]

Monotoner Dichtequotient - Versionsgeschichte

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