imported>FishiWasTaken am 11. Juni 2025 um 12:28 Uhr

2025-06-11T12:28:22Z

Neue Seite

'''Monomorphismus''' (von {{grcS|μόνος|monos|prefix=nein}} „ein, allein“ und {{lang|grc|μορφή|morphé}} „Gestalt, Form“) ist ein Begriff aus den [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebieten der [[Algebra]] und der [[Kategorientheorie]]. In der Algebra bezeichnet er einen [[Injektive Funktion|injektiven]] [[Homomorphismus]]. In der Kategorientheorie verallgemeinert er den Begriff der injektiven [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] und erlaubt es, Objekte als ''Unterobjekte'' von anderen aufzufassen.

Man beachte, dass die [[universelle Algebra]] und die Kategorientheorie jeweils einen zu ''Monomorphismus'' [[Duale Kategorie|dualen]] Begriff, nämlich den ''[[Epimorphismus]]'', erklären, diese beiden ''Epimorphismus''-Begriffe jedoch nicht äquivalent sind.

== Monomorphismen algebraischer Strukturen ==
Ein [[Homomorphismus]] von
* [[Vektorraum|Vektorräumen]] oder allgemeiner [[Modul (Mathematik)|Moduln]]
* oder ([[Abelsche Gruppe|abelschen]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]]
* oder [[Ring (Algebra)|Ringen]] oder [[Körper (Algebra)|Körpern]]
* oder allgemein [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]],
der [[Injektivität|injektiv]] ist, heißt '''Monomorphismus'''.

=== Beispiele ===
* Die Abbildung <math>h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3</math> mit <math>h\left(x,y\right)=\left(x,y,x+y\right)</math> ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
*Die Abbildung <math>g\colon\left(\mathbb{C},+\right)\to\left(\mathbb{R},+\right)</math> mit <math>g\left(z\right) = \operatorname{Re}\left(z\right)</math> ist zwar ein [[Gruppenhomomorphismus]], aber nicht injektiv.
* Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein [[Kern (Algebra)|Kern]] trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus <math>f\colon A\to B</math> von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist
::<math>\tilde f\colon A/(\ker f)\to B</math>
:ein Monomorphismus, wenn <math>\tilde f\colon [a]\mapsto f(a)</math> die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist. Denn es gilt <math>\ker \tilde f = \lbrace \ker f \rbrace</math> und damit ist <math>\ker\tilde f</math> trivial.
* Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv, also stets Monomorphismen.

== Monomorphismen relationaler Strukturen ==
Für allgemeinere [[Struktur (erste Stufe)|Strukturen]] (im Sinne der [[Modelltheorie]]), insbesondere für relationale Strukturen, ist ein Monomorphismus definiert als injektiver [[starker Homomorphismus]].<ref>{{Literatur |Autor=Philipp Rothmaler |Titel=Einführung in die Modelltheorie |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1995 |ISBN=3-86025-461-8 |Seiten=21}}</ref> Äquivalent dazu: Die Abbildung ist ein [[Isomorphismus]] auf ihr Bild. Für den Spezialfall algebraischer Strukturen erhält man die obige Definition, da jeder Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen stark ist.

== Monomorphismen in beliebigen Kategorien ==
=== Definition ===
In der [[Kategorientheorie]] ist ein ''Monomorphismus'' ein [[Morphismus]] <math>f\colon X\to Y</math> mit folgender Eigenschaft:<ref>{{Literatur |Autor=Steve Awodey |Titel=Category theory |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=2010 |ISBN=978-0-19-923718-0 |Seiten=25}}</ref>
:Sind <math>g,h\colon T\to X</math> beliebige Morphismen mit <math>f\circ g=f\circ h</math>, dann folgt <math>g=h</math> (Man sagt auch: <math>f</math> ist links[[kürzbar]]).
<math>X</math> (zusammen mit <math>f</math>) heißt dann ein ''Unterobjekt'' von <math>Y</math>.

In Kategorien von [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] sowie in den Kategorien der Mengen oder der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete [[Kategorientheorie#Kategorien|Kategorien]] mit nicht-injektiven Monomorphismen.

In den Pfeildiagrammen der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] wird ein Monomorphismus <math>f</math> als kurze [[exakte Sequenz]]
:<math>0\longrightarrow X \;\overset{f}{\longrightarrow} \; Y</math>
oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als
:<math>X \;\overset{f}{\hookrightarrow}\; Y</math>
notiert.

=== Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus ===

Wir betrachten die Kategorie <math>\mathbf{Div}</math> der [[Teilbare Gruppe|teilbaren abelschen Gruppen]]: Die Objekte sind die [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] <math>G</math>, für die folgendes gilt:
:Für alle <math>a \in G</math> und alle <math>n \in \N</math>, <math>n > 0</math>, existiert ein <math>b \in G</math> mit <math>a = n b</math>; das Element <math>a</math> lässt sich also „durch <math>n</math> teilen“.
Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die Gruppen <math>(\mathbb{Q}, +)</math> und <math>(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}, +)</math> sind teilbare abelsche Gruppen. Die kanonische Projektion <math>\pi \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} / \mathbb{Z}</math> ist surjektiv und ein Monomorphismus in <math>\mathbf{Div}</math>, aber nicht injektiv.

Ist nämlich <math>X</math> eine beliebige teilbare Gruppe und sind <math>f, g \colon X \to \Q</math> zwei Morphismen mit der Eigenschaft <math>\pi \circ f = \pi \circ g</math>, dann gilt <math>\forall x\in X.\ f(x) - g(x) \in \operatorname{ker} \pi = \Z</math>. Wäre nun <math>f \neq g</math>, dann gäbe es ein <math>x\in X</math> mit <math>t:=f(x)-g(x)\ne 0</math>. Falls <math>t<0</math>, vertausche die Rollen von <math>f</math> und <math>g</math>; somit bleibt der Fall <math>t\in\N</math>. Weil <math>X</math> teilbar ist, gäbe es dann ein <math>y\in X</math> mit <math>x = 2ty</math>. Dann wäre aber
:<math>t = f(x)-g(x) = f(2ty)-g(2ty) = 2t(f(y)-g(y))</math>,
also <math>f(y)-g(y) = 1/2</math>, was <math>\forall x\in X.\ f(x) - g(x) \in \Z</math> widerspräche.

=== Extremale Monomorphismen ===
{{Hauptartikel|Extremer Monomorphismus und Epimorphismus}}
Ein Monomorphismus <math>f</math> heißt ''extremal'', wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:
:Ist <math>f=g\circ m</math> und <math>m</math> ist ein Epimorphismus, dann muss <math>m</math> ein Isomorphismus sein.

Weil <math>m</math> automatisch ein Monomorphismus ist, sind in Kategorien, in denen alle [[Bimorphismus|Bimorphismen]] (das sind Monomorphismen, die Epimorphismen sind) bereits Isomorphismen sind, alle Monomorphismen extremal. Dies hat man zum Beispiel in der Kategorie der Mengen und der Kategorie der Gruppen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die extremalen Monomorphismen die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettungen]]. In der Kategorie der [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]] sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen.

In der Kategorie der [[Banachraum|Banachräume]] sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen <math>f</math>, für die es ein positives <math>m</math> gibt, so dass für alle <math>x</math> aus dem Definitionsbereich gilt:
:<math>m\left\|x\right\|\leq \left\|f(x)\right\|</math>

=== Unterobjekte ===
Zu einem gegebenen Objekt <math>A</math> einer Kategorie <math>\mathcal C</math> kann man die Unterkategorie <math>\mathrm{QSub}(A)</math> der [[Kommakategorie#Kategorie der Objekte über A|Scheibenkategorie]] <math>\mathcal C/A</math> betrachten, deren Objekte allesamt Monomorphismen in <math>\mathcal C</math> sind. Parallele Pfeile sind hier immer identisch; es handelt sich also um eine [[Quasiordnung]]. Die [[partielle Ordnung]] <math>\mathrm{Sub}(A)</math> der '''Unterobjekte''' von <math>A</math> ist nun diejenige, die aus <math>\mathrm{QSub}(A)</math> durch den Übergang zu Isomorphieklassen entsteht.

== Siehe auch ==
* [[Isomorphismus]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Morphismus]]

Monomorphismus - Versionsgeschichte

imported>FishiWasTaken am 11. Juni 2025 um 12:28 Uhr